4.2指数函数 课件-2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册（20张PPT）

(共20张PPT)
4.2　指数函数
　　一般地,函数① y=ax(a>0,且a≠1) 叫做指数函数,其中指数x是自变量,定
义域是② R .
1 | 指数函数
　　指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象和性质
2 | 指数函数的图象和性质
a>1 0图象
定义域 R 值域 ③　(0,+∞) 性 质 过定点 过定点(0,1),即x=0时,y=1 单调性 在R上是④　增函数 在R上是⑤ 减函数
1.函数y=-2x是指数函数. ( 　)
提示:因为指数幂2x的系数为-1,所以函数y=-2x不是指数函数.
2.函数y=2x+1是指数函数. ( 　)
提示:因为指数不是x,所以函数y=2x+1不是指数函数.
3.因为a0=1(a>0,且a≠1),所以函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象恒过点(0,1). (　√　)
4.若0.1a>0.1b,则a>b. ( 　)
提示:因为指数函数y=0.1x在R上是减函数,所以由0.1a>0.1b,得a5.y=3x与y= 的图象关于y轴对称. (　√　)
提示:因为y= =3-x,所以由两函数解析式的关系知其图象关于y轴对称.
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” .
6.y= 是指数衰减型函数模型. (　√　)
提示:指数函数y=ax(a>0,且a≠1)中,当a>1时,是指数增长型函数模型,当0是指数衰减型函数模型.
1 |与指数函数有关的复合函数的定义域、值域问题
　　大家对“水痘”应该不陌生,它与其他的传染病一样,有一定的潜伏期,这段
时间里,病原体在机体内不断地繁殖.病原体的繁殖方式有很多种,分裂就是其中
的一种.我们来看某种球菌的分裂过程:由1个分裂成2个,2个分裂成4个,4个分裂
成8个,……
问题
1.2个这样的球菌分裂x次后,得到的球菌的个数y与分裂次数x的关系式是什么
提示:y=2x+1.
2.上述求出的关系式中x的范围是什么 函数的值域是什么
提示:x∈N*;值域是{22,23,24,…}.
与指数函数有关的复合函数的定义域、值域的求法:
(1)函数y=af(x)的定义域与f(x)的定义域相同;
(2)求函数y=af(x)的值域,需先确定f(x)的值域,再根据指数函数y=ax的单调性确定函
数y=af(x)的值域;
(3)求函数y=f(ax)的定义域,需先确定y=f(u)的定义域,即u的取值范围,亦即u=ax的值
域,由此构造关于x的不等式(组),确定x的取值范围,即y=f(ax)的定义域;
(4)求函数y=f(ax)的值域,需先利用函数u=ax的单调性确定其值域,即u的取值范围,
再确定函数y=f(u)的值域,即y=f(ax)的值域(以上a满足a>0,且a≠1).
求下列函数的定义域和值域:
(1)y= ;
(2)y=4x-2x+1;
(3)y= (a>0,且a≠1).
解析 (1)由题意知1- ≥0,
∴ ≤1= ,
∴x≥0,∴此函数的定义域为[0,+∞).
∵ ≤1,且 >0,
∴0< ≤1.
∴0≤1- <1,
∴0≤y<1,
∴此函数的值域为[0,1).
(2)函数的定义域为R.
令2x=t,则t>0,
y=(2x)2-2x+1=t2-t+1= + ,
∵t>0,∴当t= ,即x=-1时,y取得最小值 ,
∴函数的值域为 .
(3)由ax+1>0恒成立,得函数y= (a>0,且a≠1)的定义域为R.
解法一(换元法):设ax=t,则t∈(0,+∞),
y= = =1- .
∵t>0,∴t+1>1,
∴0< <1,∴-2<- <0,
∴-1<1- <1,
即函数y= 的值域为(-1,1).
解法二(反解法):由y= (a>0,且a≠1),得ax=- .
∵ax>0,∴- >0,∴-1即函数y= 的值域为(-1,1).
1.形如y=af(x)(a>0,且a≠1)的函数的单调性的判断方法:当a>1时,函数u=f(x)的单调
递增(减)区间即为函数y=af(x)的单调递增(减)区间;当0(增)区间即为函数y=af(x)的单调递增(减)区间.
2.形如y=f(ax)(a>0,且a≠1)的函数的单调性的判断方法:通过内层函数u=ax的取值
范围确定外层函数y=f(u)的定义域,在此定义域内讨论外层函数的单调区间,再根
据复合函数“同增异减”的规律确定复合函数的单调区间.
2 |如何解决与指数函数有关的复合函数的单调性问题
求下列函数的单调区间:
(1)y= ; (2)y= -8· +17.
思路点拨
先换元,再利用复合函数“同增异减”的规律确定复合函数的单调性.
解析 (1)令u=x2-2x+3,则由二次函数的性质可知该函数在(-∞,1]上为减函数,在
[1,+∞)上为增函数,又y= 在R上为减函数,∴函数y= 的单调增区间为
(-∞,1],单调减区间为[1,+∞).
(2)设u= (u>0),则y=u2-8u+17(u>0)在(0,4]上单调递减,在[4,+∞)上单调递增.
令 ≤4,得x≥-2,∴y= -8· +17的单调增区间是[-2,+∞).
令 ≥4,得x≤-2,∴y= -8· +17的单调减区间是(-∞,-2].
易错警示
由y=f(u)及u=g(x)的单调性来解决函数y=f(g(x))的单调性时,应将y=f(u)的中间变
量u的范围转化为x的范围,进而得到函数y=f(g(x))的单调区间,解题时注意不要将
中间变量u的范围作为函数y=f(g(x))的单调区间.
3| 如何比较指数幂大小
比较指数幂大小的方法

(1)设a=0.60.6,b=0.61.5,c=1.50.6,则a,b,c的大小关系是 ( C　)
A.aC.b(2)下列大小关系正确的是 ( B　)
A.0.43<30.4<π0　 B.0.43<π0<30.4
C.30.4<0.43<π0　 D.π0<30.4<0.43
解析 (1)∵1.50.6>1.50=1,0.60.6<0.60=1,∴1.50.6>0.60.6.∵函数y=0.6x在(-∞,+∞)上是
减函数,且1.5>0.6,∴0.61.5<0.60.6,∴1.50.6>0.60.6>0.61.5,即b(2)0.43<0.40=1=π0=30<30.4,故选B.
1.指数方程的解法
(1)对于af(x)=b型的指数方程,通常将方程两边化为同底数幂的形式,用指数相等进
行求解.
(2)解复杂的指数方程时,常用换元法转化为解一元二次方程.用换元法时要特别
注意“元” 的范围,用一元二次方程求解时,要注意对二次方程根的取舍.
2.简单指数不等式的解法
(1)形如af(x)>ag(x)的不等式,可借助y=ax(a>0,且a≠1)的单调性求解;
(2)形如af(x)>b的不等式,可将b化成以a为底数的幂的形式,再借助y=ax(a>0,且a≠1)
的单调性求解;
(3)形如ax>bx的不等式,可借助函数y=ax与y=bx(a,b>0,且a,b≠1)的图象求解.
4 | 如何解指数方程与不等式
解下列方程或不等式:
(1)22x+2+3×2x-1=0;
(2) < (a>0,且a≠1).
解析 (1)∵22x+2+3×2x-1=0,
∴4×(2x)2+3×2x-1=0.
令t=2x(t>0),则原方程可化为4t2+3t-1=0,
解得t= 或t=-1(舍去),
∴2x= ,解得x=-2.
(2)分情况讨论:
①当0∴x2-3x+1>x2+6,
∴-3x>5,解得x<- ;
②当a>1时,函数y=ax在R上是增函数,
∴x2-3x+1- .
综上所述,当01时,原不等式的解集为
.