2021-2022学年【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（一）同步练习（Word含解析）

5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（一）-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册同步练习（含解析）
一、单选题
函数，xR的最小正周期为
A. B. C. D.
函数是
A. 周期为的偶函数 B. 周期为的奇函数
C. 周期为的奇函数 D. 周期为的偶函数
函数的部分图象大致是图中的
A. B.
C. D.
下列函数中，不是偶函数的是
A. B. C. D.
下列函数中，最小正周期为的偶函数是
A. B. C. D.
若函数是奇函数，则的一个可能值为
A. 0 B. C. D.
若的定义域是，则的定义域为
A. R B. C. D.
已知，则
A. 0 B. 505 C. 1010 D. 2020
二、多选题
下列是定义在R上的四个函数图象的一部分，其中是周期函数的是
A. B.
C. D.
下列函数中，以为周期的函数是
A. B.
C. D.
三、填空题
设函数，则________．
设函数，，以为最小正周期．若，则________．
若函数的最小正周期不小于2，则正整数的最大值为________．
已知为偶函数，当时，，则在R上的表达式为________．
已知定义在R上的函数满足若，则________．
已知函数是以为周期的奇函数，且，则．
四、解答题
判断函数的奇偶性，并说明理由．
已知，若，求的值．
已知是定义在R上的奇函数，满足，且，则在区间上的零点至少有几个？
求下列函数的最小正周期


答案和解析
1.【答案】D
【解析】
【分析】
依据函数的最小正周期求解．
【解答】
解：，
它的最小正周期．
故选D．
2.【答案】A
【解析】
【分析】
依据函数的周期可求它的周期，
然后依据诱导公式对的解析式化简，可判定它的奇偶性．
【解答】
，
又，
它是偶函数．
故选．
3.【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了函数的奇偶性、函数图象的应用的相关知识，试题难度一般
【解答】
解：函数的定义域是，
，
则函数是偶函数，其图象关于y轴对称，排除选项C和D；
当时，，，
则，此时，
此时函数的图象位于x轴的上方，排除选项B，
故选A．

4.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查三角函数的图象和性质及函数的奇偶性，比较基础．
直接利用奇偶性的定义依次判断即可．
【解答】
解：对于A：，定义域为R，，所以是偶函数．
对于B：令，定义域为R，，所以是偶函数，
对于C：令，定义域为R，，所以是奇函数，
对于D：令，定义域为R，，所以是偶函数，
故选C．
5.【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查三角函数的图象和性质，要求熟练掌握三角函数的周期性、单调性和奇偶性，属于基础题．
分别根据函数的单调性奇偶性和周期性进行判定即可得到结论．
【解答】解：对于A，函数的最小正周期为的偶函数．
对于B，函数是最小正周期为的奇函数．不满足条件；
对于C，函数是最小正周期为的偶函数，不满足条件；
对于D，是最小正周期为的偶函数，不满足条件．
故选A．
6.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查三角函数的奇偶性，属基础题．
由题意可知，函数是奇函数，， ，，即可求出的一个可能取值．
【解答】
解：函数是奇函数，所以， ，
当时，的一个可能值为．
故选B．
7.【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查了函数定义域求解，属于基础题．
由题意可得满足，即可求解．
【解答】
解：的定义域是，
满足，
，
的定义域为R．
故选A．
8.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查正弦函数周期，考查基本分析判断与求解能力，属基本题．
先求函数周期，再计算一个周期函数值的和，最后将和转化到对应周期上的和，解得结果．
【解答】
解：根据题意，，其周期为5，
又由，，，，，
则；又由函数的周期为5，
则，
，
，
，
，
则；
故选A．

9.【答案】ABC
【解析】
【分析】本题考查了函数的周期性和对称性的相关知识，试题难度较易
【解答】解：对于D，时的图象与其他区间图象不同，不是周期函数，
A、B、C均为周期函数．
10.【答案】ABC
【解析】
【分析】
本题考查三角函数周期公式，考查三角函数的恒等变换，属于基础题．
利用二倍角公式及两角和与差的三角公式化简，根据周期求解即可．
【解答】
解：的周期，满足题意；
是周期为的函数，满足题意；
，周期，满足题意；
，周期，不满足题意；；
故选ABC．
11.【答案】
【解析】
【分析】本题考查了函数的周期性和对称性的相关知识，试题难度较易
【解答】解：的周期，
．
12.【答案】
【解析】
【分析】本题考查了同角三角函数的基本关系、函数的图象与性质的相关知识，试题难度较易
【解答】
解：的最小正周期为，，
．
．
由，
．
．

13.【答案】3
【解析】
【分析】
本题考查了三角函数的周期性及其求法，熟练掌握周期公式是解本题的关键，属基础题．
根据最小正周期不小于2列出不等式，求出正整数的最大值即可．
【解答】
解：函数的最小正周期不小于2，
，即，
则正整数的最大值为3．
故答案为3．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查函数奇偶性的应用，利用函数奇偶性求函数解析式，属基础题．
根据函数奇偶性的性质，将，转化为，即可求的表达式．
【解答】
解：当时，，
当时，，
，
是定义在R上的偶函数，
，
，
故答案为．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了函数的周期性及其应用，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于基础题．
利用所给的函数关系进行整理代换，得出函数是周期函数，然后利用周期性即可确定的值．
【解答】
解：定义在R上的函数满足，
则函数是周期为3的函数，又，
．
故答案为．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数的周期性和奇偶性，，，
【解答】
解：根据函数y是奇函数，，又因为函数y的周期是，所以，
故答案为：．
17.【答案】解：函数，
所以函数的定义域为R，关于原点对称，
，
所以函数是偶函数．
【解析】本题考查正弦函数的性质与函数的奇偶性的判断，注意运用定义解决，属于基础题．
先求定义域，再计算，与比较，即可得到函数的奇偶性．
18.【答案】解：令，定义域是R．
由，
则为一个奇函数，
又，
，
，
．
【解析】本题考查的知识点为奇函数及函数的值，属基础题．其中构造函数，然后将问题转化为利用奇函数的定义求值，是解答本题的关键．
19.【答案】解：，得到函数的周期是3，
是定义在R上的奇函数且周期是3，，
又，
即．
，，
又，则．
从而，
故函数在区间内零点的个数至少有7个解．
【解析】本题主要考查函数零点的应用，利用函数的奇偶性和周期性是解决本题的关键，属中档题．
由，得到函数的周期是3，又是奇函数，，然后利用求零点个数．
20.【答案】解：因为，所以函数的最小正周期．
因为，所以函数 的最小正周期．
因为，所以，
因此函数的最小正周期．
由函数的图象知：函数的最小正周期．
因为，
所以，因此函数的最小正周期．
【解析】本题考查了正弦函数的图象与性质，函数的图象与性质，二倍角公式及其应用和辅助角公式，属于中档题．
，利用函数周期的计算公式，计算得结论；
利用余弦的二倍角公式，结合函数周期的计算公式，计算得结论；
利用正弦函数图象，结合周期函数的图象性质得结论；
利用余弦的二倍角公式和辅助角公式得，再利用函数周期的计算公式，计算得结论．
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