第四章 图形的相似 单元质量检测试卷A（含答案）

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北师大版2021-20202年九年级（上）第四章图形的相似检测试卷A
(时间120分钟，满分120分)
一、选择题（共12小题；每小题3分，共36分）
1. 如图，下列选项中可能与其相似的是
A. B.
C. D.
2. 下列说法中正确的是　　
A. 位似图形可以通过平移而相互得到
B. 位似图形的对应边平行且相等
C. 位似图形的位似中心不只有一个
D. 位似中心到对应点的距离之比都相等
3. 同学们在物理课上做“小孔成像”实验．如图，蜡烛与带“小孔”的纸板之间的距离为 ，当蜡烛火焰的高度 是它在光屏上所成的像 高度的一半时，带“小孔”的纸板与光屏的距离是
A. B. C. D.
4. 如图，以 ，， 为顶点的三角形与以 ，， 为顶点的三角形相似，则这两个三角形的相似比为
A. B. C. D.
5. 下列选项中的两个图形不一定相似的是
A. 两个斜边不等的等腰直角三角形 B. 两个边长不等的菱形
C. 两个边长不等的等边三角形 D. 两个边长不等的正方形
6. 如图，路灯距离地面 米．若身高 米的小明站在距离路灯底部（点 ） 米的点 处，则小明的影子 的长为
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
7. 如图，在 中，， 于点 ，则图中的相似三角形共有
A. 对 B. 对 C. 对 D. 对
8. 矩形的两边长分别为 和 ，把它按如图方式分割成三个全等的小矩形，每一个小矩形与原矩形相似，则 的值为
A. B. C. D.
9. 如图，直线 ，直线 分别交直线 ，， 于点 ，，，直线 分别交直线 ，， 于点 ，，，直线 ， 交于点 ，则下列结论错误的是
A. B. C. D.
10. 在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示，以线段 为边作正方形 ，取 的中点 ，连接 ，延长 至 ，使得 ，以 为边作正方形 ，则点 即是线段 的黄金分割点．若记正方形 的面积为 ，矩形 的面积为 ，则 与 的大小关系是
A. B. C. D. 不能确定的
11. 商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价 ，最高销售限价 以及实数 确定实际销售价格 ，这里 被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数 恰好使得 ，据此可得，最佳乐观系数 的值等于
A. B. C. D.
12. 要做甲、乙两个形状相同（相似）的三角形框架，已有三角形框架甲，它的三边长分别为 ，，，三角形框架乙的一边长为 ，那么符合条件的三角形框架乙共有
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
二、填空题（共6小题；每小题4分，共24分）
13. 在平面直角坐标系中，个顶点的坐标分别为，，，，，．以原点为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，得到，则点的对应点的坐标是 ．
14. 如图，校园内有一棵与地面垂直的树，数学兴趣小组两次测量它在地面上的影子，第一次是阳光与地面成 角时，第二次是阳光与地面成 角时，两次测量的影长相差 米，则树高 米．（结果保留根号）
15. 如图，矩形 在矩形 内， 与 ， 与 之间的距离都为 ， 与 ， 与 之间的距离都为 ，已知 ，，当 时，．
16. 如图，在 中，，．点 从点 出发，沿 以 的速度向点 移动，点 从点 出发，沿 以 的速度向点 移动．如果 ， 两点同时出发，那么经过 后， 与 相似．
17. 如图，在 中，点 为 上一点，且 ，过点 作 交 于点 ，连接 ，过点 作 交 于点 ．若 ，则 ．
18. 如图，点 ， 分别是 的边 ， 上的动点，则下面条件中能使 与 相似的有 ．
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ．
三、解答题（共7小题；共60分）
19. （8分）如图，一位同学想利用树影测量树高（），他在某一时刻测得高为 的竹竿影长为 ，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上（），他先测得墙上的影高（）为 ，又测得地面部分的影长（）为 ，试问树有多高
20. （8分）已知 能与 ，， 这三个数组成比例，求 的值．
21. （8分）已知 ，相似比为 ，，求 ．
22. （8分）如图，，， 相交于点 ，．求证：．
23.（8分） 如图，在矩形 和矩形 中，，，，矩形 的面积为 ，那么这两个矩形相似吗 请说明理由．
24. （8分）如图，已知 ，．求证：．
25. （12分）请回答：
（1）【基础巩固】如图①，在 中， 为 上一点，，求证：；
（2）【尝试应用】如图②，在平行四边形 中， 为 上一点， 为 延长线上一点，，若 ，，求 的长；
（3）【拓展提高】如图③，在菱形 中， 是 上一点， 是 内一点，，，，，，求菱形 的边长．
答案
第一部分
1. C
2. D 【解析】【分析】位似是相似的特殊形式，根据性质可知，位似图形的对应边平行但不一定相等，位似图形的位似中心只有一个，平移图形是全等图形，也没有位似中心．位似中心到对应点的距离之比都相等，从而判断正确答案为．
【解析】解：位似是相似的特殊形式，
位似图形的对应边平行但不一定相等，
位似图形的位似中心只有一个，
平移图形是全等图形，也没有位似中心．
位似中心到对应点的距离之比都相等
正确答案为．
故选：．
【点评】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比．
3. B
4. A
5. B
6. B
7. C
8. B
9. C 【解析】因为 ，
所以 ，A中结论正确，不符合题意；
，B中结论正确，不符合题意；
，C中结论错误，符合题意；
，
所以 ，D中结论正确，不符合题意．
故选C．
10. C
【解析】 点 是线段 的黄金分割点，
，
，
，
．
11. D 【解析】，
，
又 ，
，
，解得 ．
，
．
12. C
第二部分
13. ，或，
【解析】【分析】根据位似变换的性质、坐标与图形性质计算．
【解析】解：以原点为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，点的坐标为，，
点的坐标为，或，，即，或，，
故答案为：，或，．
【点评】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．
14.
15.
16. 或
17.
18. ①②④⑤
【解析】①当 时，
，
；
②当 时，
，
；
③当 时，无法证明 与 相似；
④当 时，；
⑤当 时，
，
，
又 ，
；
⑥当 时，无法证明 与 相似．
第三部分
19. 如图，延长 ，，交于点 ，
设 ，，
因为某一时刻测得长为 的竹竿影长为 ，墙上的影高 为 ，
所以 ，
解得 ，
所以树的影长为 ，
所以 ，
解得 ．
答：树高为 米．
20. 分三种情况讨论：
（），；
（），；
（），．
21. ，
相似比为 ，
，
．
22. 因为 ，
所以 ，．
所以 ．
所以 ．
23. 这两个矩形相似．理由如下：
，矩形 的面积为 ，
．
，，，
，．
．
四边形 和四边形 是矩形，
，，，，．
．
这两个矩形相似．
24. ，
．
，
，即 ．
．
25. （1） ，，
，
，
．
（2） 四边形 是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
（3） 如图，分别延长 ， 相交于点 ，
四边形 是菱形，
，，
，
四边形 为平行四边形，
，，，
，
，
，
又 ，
，
，
，
又 ，
，
，
，
，
，
．
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