2021-2022学年高二上学期人教A版（2019）数学选择性必修第二册4.1数列的概念检测（Word含解析）

专题4.1数列的概念检测卷
一、单选题
1．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
2．数列，，， ，…的一个通项公式是（ ）
A． B．
C． D．
3．数列…的一个通项公式（ ）
A． B． C． D．
4．设数列中，（且），则（ ）
A． B． C．2 D．
5．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，他所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，而是逐项差数之差或者高次差相等.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有一个高阶等差数列，其前7项分别为1，5，11，21，37，61，95，则该数列的第8项为（ ）
A．99 B．131 C．139 D．141
6．设数列满足：，，记数列的前项之积为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．在数列中，，则（ ）
A．25 B．32 C．62 D．72
8．已知，，若对任意恒成立，则实数的最小值是( )
A． B．
C． D．
二、多选题
9．(多选)下列关于数列的说法正确的是（ ）
A．按一定次序排列的一列数叫作数列
B．若{an}表示数列，则an表示数列的第n项，an=f(n)表示数列的通项公式
C．同一个数列的通项公式的形式不一定唯一
D．同一个数列的任意两项均不可能相同
10．（多选）下列式子可以作为数列，0，，0，，0，…的通项公式的是（ ）
A． B．
C． D．
11．斐波那契数列，因数学家莱昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例而引入，故又称“兔子数列”．指的是这样的一个数列：，，，，，，，，，在数学上定义，，（，），则下列选项正确的是（ ）
A．（，）
B．
C．设的前项和为，若，则
D．（）
12．（多选）设数列满足，记数列的前项和为，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．观察数列的特点，用一个适当的数填空：，________，，…．
14．已知数列满足若，则________.
15．已知数列满足，，则___________.
16．已知函数（，，）图象上的一个最高点是，这个最高点到其相邻的最低点间图象与轴交于点.设，则数列的前2021项和为___________.
四、解答题
17．已知数列满足，且.求数列的通项公式；
18．已知数列满足，求数列的通项公式．
19．在数列中，，点在函数的图象上.
（1）求，，的值；
（2）猜想数列的一个通项公式.
20．已知数列的通项公式为.
（1）求这个数列的第10项；
（2）是不是该数列中的项？为什么？
（3）在区间内是否有数列中的项？若有，求出有几项；若没有，请说明理由.
21．已知数列的通项公式为.
（1）数列的第几项最大，最大项为多少？
（2）若，求正整数m的最小值.
22．已知数列，n∈N*．
（1）求这个数列的第10项；
（2）是不是该数列中的项，为什么？
（3）求证：该数列是递增数列；
（4）在区间内有无数列中的项？若有，有几项？若没有，请说明理由．
参考答案
1．D
【分析】
由题设数列的通项公式，直接写出，即可判断各项的正误.
【详解】
由题设，，故A、B、C错误，D正确；
故选：D
2．C
【分析】
将分别代入四个选项检验，利用排除法即可得正确选项.
【详解】
对于A：，，，不符合题意，故选项A不正确；
对于B：，不符合题意，故选项B不正确；
对于D：，不符合题意，故选项D不正确；
对于C：，，，, 符合题意，故选项C正确；
故选：C.
3．B
【分析】
根据所给的这个数列的特点，先写出9，99，999，9999，的通项公式，由此可得数列的通项．
【详解】
解：根据题意，数列9，99，999，9999，的通项是，
所以的通项是；
故选：B
4．A
【分析】
根据递推关系求前4项，易知数列周期为3，进而求.
【详解】
由已知得：，可求，
∴数列周期为3，
，
故选：A．
5．D
【分析】
根据题中所给高阶等差数列定义，找出其一般规律即可求解.
【详解】
设该高阶等差数列的第8项为，
根据所给定义，用数列的后一项减去前一项得到一个数列，得到的数列也用后一项减去前一项得到一个数列，即得到了一个等差数列，如图：
由图可得，则.
故选：D
6．B
【分析】
由的值确定数列周期为，利用周期的性质得出.
【详解】
因为，，
所以，
，
，
，
，
，
可知数列是以为周期的周期数列，
所以
，
故选：B.
7．B
【分析】
令，故函数在上单调递减，在上单调递增，进而得当时，是单调递减数列，当时，是单调递增数列，再根据函数单调性去绝对值求和即可.
【详解】
解：令函数，
由对勾函数的性质得函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，是单调递减数列，当时，是单调递增数列，
所以
所以
故选：B
8．B
【分析】
结合已知条件分离参数，然后构造新数列，通过分类讨论为奇数或偶数，求新数列的最值即可求解.
【详解】
依题意，，所以，即，
所以对于恒成立，
不妨令，
当为偶数时，，当增大，增大，且，
当为奇数是，，当增大，减小，故当时，取得最大值，所以，故实数的最小值.
故选:B.
9．ABC
【分析】
根据数列的定义，可判断A、B、C的正误，常数数列各项可相等，可得D错误，即可得答案.
【详解】
根据数列的定义，我们把按定次序排列的一列数叫作数列，可得A正确；
若{an}表示数列，则an表示数列的第n项，an=f(n)表示数列的通项公式，可得B正确；
同一个数列的通项公式的形式不一定唯一，
例如，也可写成，可得C正确；
因为一个数列的每一项的值是可以相同的，比如说常数数列，可得D错误，
故选：ABC
10．ABC
【分析】
利用各选项中的通项公式逐一计算其前6项，再比较判断作答.
【详解】
对于A，由知，其前6项依次为，0，，0，，0，A正确；
对于B，由知，其前6项依次为，0，，0，，0，B正确；
对于C，由知，其前6项依次为，0，，0，，0，C正确；
对于D，由知，其前6项依次为0，，0，，0，，D不正确正确.
所以选项A，B，C中的通项公式均可作为数列，0，，0，，0，…的通项公式.
故选：ABC
11．ABC
【分析】
利用递推公式逐一判断即可.
【详解】
，故正确；
，故正确；
，，，迭加得，故正确；
，故错误．
故选：ABC
12．ABD
【分析】
依题意当时，求出，再利用作差法得到，即可得到的通项公式，再利用裂项相消法求数列的前项和即可；
【详解】
解：由题意，当时，得，
令，
则当时，
所以，
即．又时，也成立，
∴，故数列的通项公式为，
∴
，即有．
故选：ABD．
13．3
【分析】
根据数列前几项中根号下的数都是由小到大的奇数，即可求得结果．
【详解】
由于数列的前几项中根号下的数都是由小到大的奇数，所以需要填空的数为．
故答案为：3
14．
【分析】
根据递推公式，可知，，，，…，故数列是以为周期的周期数列，由此即可求出结果.
【详解】
因为
所以，，，…
故数列是以为周期的周期数列，
又知，所以.
故答案为：.
15．
【分析】
由得，根据累乘法求解公式即可求解通项．
【详解】
∵，∴，
∴．
故答案为：
16．
【分析】
由最高的坐标求出的值，再由最高点和相邻的平衡点求得最小正周期，进而可得，再由最高点求出，可得的解析式，进而可得，再计算的值，由周期性即可求解.
【详解】
因为图象上的一个最高点是，
所以，
因为最高点到其相邻的最低点间图象与轴交于点，
所以，则，解得，
可得，所以，，
因为，所以，，可得，
所以，
，，，，
，，
，，
所以，
因为周期为，，
所以，
故答案为：.
17．
【分析】
由题意，左右同除得：，利用累加法即可求得数列的通项公式；
【详解】
由，两边同时除以得：
当时有：，，，
累加可得：，
所以，
所以，
又时，满足，
从而；
18．
【分析】
先根据前项和与通项的关系得，再检验时也满足条件即可求得答案.
【详解】
因为①，
所以②，
①-②得，即,
当时，，满足，
所以
19．（1），，；（2）.
【分析】
（1）由已知可得：，代入，即可求得，，的值；
（2）由前4项的值即可归纳.
【详解】
（1）因为点在函数的图象上，
所以，
又，所以，
，
.
（2）由（1）中数列的前4项的规律，
可归纳出数列的一个通项公式为.
20．（1）；（2）不是，理由见解析；（3）有，只有一项.
【分析】
先化简通项，（1）中令，计算即得解；（2）中令，结合即得解；（3）令，结合即得解
【详解】
.
（1）令，得第10项.
（2）令，得.
此方程无正整数解，∴不是该数列中的项.
（3）令，则，
解得.又，∴.
∴区间内有数列中的项，且只有一项.
21．（1）第2，3项最大，最大项为38；（2）最小值是9.
【分析】
（1）将数列的通项公式变形为，根据二次函数的性质可求得数列的最大项.
（2）由函数的图象开口向下，且对称轴方程为，可得数列从第3项起单调递减.再计算出，，可求得正整数m的最小值.
【详解】
解：（1）因为，且，所以当或时，最大.
又，
故数列的第2，3项最大，最大项为38.
（2）因为函数的图象开口向下，且对称轴方程为，
所以可知数列从第3项起单调递减.
又，，，，
所以若，则.
所以正整数m的最小值是9.
22．（1）；（2）不是，理由见解析；（3）证明见解析；（4）有且只有一项．
【分析】
（1）根据数列的通项公式求解第10项即可；
（2）将数值代入数列的通项公式求解相应的n即可；
（3）运用数列的后一项减前一项判断数列的单调性可得出结果；
（4）根据数列的通项公式列不等式求解n的取值范围，从而得出结果.
【详解】
（1）因为an＝＝＝，
令n＝10，得第10项a10＝；
（2）令＝，得9n＝300．
此方程无正整数解，∴不是该数列中的项；
（3）证明：∵an＝＝＝1－，
∴an＋1－an＝－
＝＝＞0，n∈N*，
∴{an}是递增数列；
（4）令∴∴，∴∴当且仅当n＝2时，上式成立，
故区间内有数列中的项，且只有一项为a2＝．
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