2021-2022学年鲁教版六年级数学上册3.7探索与表达规律 提升练习 （word版含解析）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年鲁教版六年级数学上册3.7探索与表达规律 提升练习 （word版含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 354.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-24 21:23:35 | ||
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文档简介
2021-2022学年鲁教版六年级数学上册《3.7探索与表达规律》同步课后提升练习（附答案）
1．把所有正偶数从小到大排列，并按如下规律分组：（2），（4，6，8），（10，12，14，16，18），（20，22，24，26，28，30，32）……现有等式Am（i，j）表示正偶数m是第i组第j个数（从左往右数），如A8（2，3），则A2088等于（ ）
A．（31，16） B．（32，18） C．（33，20） D．（34，22）
2．观察依次排列的一串单项式x，﹣2x2，4x3，﹣8x4，16x5，…，按你发现的规律继续写下去，第8个单项式是（ ）
A．﹣128x7 B．﹣128x8 C．﹣256x7 D．﹣256x8
3．对于正数x，规定f（x）＝，例如f（4）＝，，则f（2021）+f（2020）+…+f（2）+f（1）+f（）+…的结果是（ ）
A． B．4039 C． D．4041
4．如图各正方形中的四个数字之间都有相同的规律，根据这种规律，m的值是（ ）
A．74 B．104 C．126 D．144
5．如图所示：下列各三角形中的三个数均有相同的规律，由此规律最后一个三角形中，y的值是（ ）
A．380 B．382 C．384 D．386
6．如图，在数轴上，A1，P两点表示的数分别是1，2，A1，A2关于点O对称，A2，A3关于点P对称，A3，A4关于点O对称，A4，A5关于点P对称…依此规律，则点A14表示的数是（ ）
A．21 B．﹣21 C．25 D．﹣25
7．观察下列等式（式子中的“!”是一种数学运算符号）1!＝1，2!＝2×1，3!＝3×2×1，4!＝4×3×2×1，…，那么计算的值是（ ）
A．2018 B．2019 C．2020 D．2021
8．将从1开始的自然数按规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第4列的数是（ ）
A．2025 B．2023 C．2022 D．2021
9．对于正数x，规定f（x）＝，例如f（2）＝，则f（）+…+f（）+f（1）+f（2）+…+f（9）的值是（ ）
A．8 B．8.5 C．9 D．9.5
10．按一定规律排列的单项式a，﹣3a2，5a3，﹣7a4，9a5，…第n个单项式是（ ）
A．（﹣1）n（2n﹣1）an B．（﹣1）n+1（2n+1）an
C．（﹣1）n（2n+1）an D．（﹣1）n+1（2n﹣1）an
11．若a≠2，则我们把称为a的“友好数”，如3的“友好数”是，﹣2的“友好数”是，已知a1＝3，a2是a1的“友好数”，a3是a2的“友好数”，a4是a3的“友好数”，……，依此类推，则a2021＝（ ）
A．3 B．﹣2 C． D．
12．按一定规律排列的单项式：﹣，，﹣，，…，则第n个单项式是（ ）
A．（﹣1）n﹣1 B．（﹣1）n
C．（﹣1）n﹣1 D．（﹣1）n
13．计算：31﹣1＝2，32﹣1＝8，33﹣1＝26，34﹣1＝80，35﹣1＝242，…，归纳并计算结果中的个位数字的规律，猜测32021的个位数字是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．9
14．将正整数按如图所示的位置顺序排列：
根据排列规律，则2021应在（ ）
A．A处 B．B处 C．C处 D．D处
15．已知“！”是一种数学运算符号，并且1！＝1，2！＝2×1＝2，3！＝3×2×1＝6，4！＝4×3×2×1＝24，…，若公式 nm＝（n＞m），则C125＝（ ）
A．60 B．792 C．812 D．5040
16．观察下列按一定规律排列的代数式：2，3+，3﹣，3+，3﹣，…，第n个代数式为（ ）
A．2+ B．2﹣ C．3+ D．3﹣
17．a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如2的差倒数为＝﹣1，﹣1的差倒数，已知a1＝5，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数…，依此类推，a2020的值是（ ）
A． B．﹣ C． D．5
18．计算（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）的值是（ ）
A． B． C． D．
19．已知1＝12，1+3＝22，1+3+5＝32，…则1+3+5+7+…+2021＝（ ）
A．10102 B．10112 C．20202 D．20212
20．将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是（ ）
A．2025 B．2023 C．2021 D．2019
21．如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x的值为2，结果输出的是1，返回进行第二次运算则输出的是﹣4，…，则第2021次输出的结果是（ ）
A．﹣1 B．﹣3 C．﹣6 D．﹣8
22．阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22018．
首先设S＝1+2+22+23+24+…+22018①，
则2S＝2+22+23+24+25+…+22019②，
②﹣①得S＝22019﹣1，
即1+2+22+23+24+…+22018＝22019﹣1．
以上解法，在数列求和中，我们称之为：“错位相减法”．
请你根据上面的材料，解决下列问题：
（1）求1+3+32+33+34+…+32020的值；
（2）若a为正整数且a≠1，求1+a+a2+a3+a4+…+a2020．
23．观察下面三行数：
﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，…；
﹣1，2，﹣4，8，﹣16，32，…；
1，7，﹣5，19，﹣29，67，…
（1）如果设第1行的第n个数为x，则第2、3行的第n个数分别为 ， （用含x的代数式表示）．
（2）取每一行的第n个数，从上到下依次记作A，B，C，对于任意的正整数n均有A﹣tB+3C为一个定值，则t＝ ．
（3）是否存在这样的一列数，使得这样的一列三个数的和为1283？若存在，求出这一列数；若不存在，说明理由．
24．阅读：给定一列数，我们把这列数中的第一个数记为a1，第二数记为a2，第三个数记为a3，依此类推，第n个数记为an（n为正整数）．规定运算sum（a1：an）＝a1+a2+a3+…+an，即从这列数的第一个数开始依次加到第n个数．
（1）已知一列数﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，﹣7，8，﹣9，10，则a5＝ ，sum（a1：a10） ．
（2）已知一列有规律的数：
（﹣1）2×1，（﹣1）3×2，（﹣1）4×3，（﹣1）5×4，…按照规律，这列数可以无限的写下去：
①求sum（a1：a100）的值；
②若正整数n满足等式sum（a1：an）＝130，请直接写出n＝ ．
25．观察下列各式的特征：|7﹣6|＝7﹣6；|6﹣7|＝7﹣6；||＝；||＝，根据规律，解决相关问题：
（1）①|7﹣21|＝ ；②||＝ ．
（2）当a＞b时，|a﹣b|＝ ；当a＜b时，|a﹣b|＝ ．
（3）有理数a，b，c在数轴上的位置如图，则化简|a|﹣|b+2|﹣|a+c|的结果为 ．
（4）计算：|﹣1|+|﹣|+|﹣|+…+||．
26．阅读与思考：观察下列式子：，，，……，
（1）（探索规律）用正整数n表示上述式子的规律是 ；
（2）（问题解决）容器里有1升水，按如下要求把水倒出：第一次倒出升水，第二次倒出的水量是升的，第三次倒出的水量是升的，第四次倒出的水量是升的，……，第n次倒出的水量是升水的．按照这种倒水方式，这1升水能否倒完？说明理由；
（3）（拓展探究）计算的值．
27．对于一个正整数m，将其各个数位上的数字分别平方后取其个位数字，顺次排列后，得到一个新数n，则称n是m的“团结数”．例如：m＝127，将其各个数位上的数字分别平方后得到的数为1，4，49，它们的个位数字依次为1，4，9，那么m的“团结数”n为149．若一个数的“团结数”等于它本身，那么这个数就叫做“团结一致数”．
（1）38的“团结数”是 ，2024的“团结数”是 ；
（2）若一个三位正整数x的“团结数”是541，求满足条件的所有x的值 ；
（3）已知一个两位“团结一致数”的个位数字与十位数字均不为0且互不相同，求所有满足条件的两位“团结一致数”的和．
28．（1）仔细观察下列式子：（a×b）2＝a2×b2，（a×b）3＝a3×b3，（a×b）4＝a4×b4．
猜一猜：（a×b）100＝ ．归纳得出：（a×b）n＝ ．
请应用上述性质计算：（﹣）2021×42022＝ ．
（2）如图是由从1开始的连续自然数组成的数表，观察规律并完成各题的解答．
①表中第8行的最后一个数是 ，它是自然数 的平方，第8行共有 个数；
②用含n的代数式表示：第n行的第一个数是 ，最后一个数是 ，第n行共有 个数．
29．观察下面用“求和符号∑”表示的求很多项的和的式子：
n＝1+2+3+…+100；
＝+++…+；
n（n﹣6）＝3×（3﹣6）+4×（4﹣6）+5×（5﹣6）+…+40×（40﹣6）．
通过以上观察，请解答下列问题．
（1）式子﹣5﹣10﹣15﹣20﹣25﹣…﹣100用求和符号表示为 ，计算的结果是 ；
（2）计算：；
（3）计算：．
30．观察下列各式：
13+23＝1+8＝9，而（1+2）2＝9，∴13+23＝（1+2）2；
13+23+33＝36，而（1+2+3）2＝36，∴13+23+33＝（1+2+3）2；
13+23+33+43＝100，而（1+2+3+4）2＝100，∴13+23+33+43＝（1+2+3+4）2；
猜想并填空：
（1）13+23+33+43+53＝ 2＝ 2；
根据以上规律填空：
（2）13+23+33+…+n3＝ 2＝ 2；
（3）求解：163+173+183+193+203．
参考答案
1．解：由题意可知，第一组有1个数，第二组有3个数，第三组有5个数，……，第n组有（2n﹣1）个数，
∴n组数共有n2个数，
∵322＝1024，
∴2088在第33组，
当n＝32时，前32组共有1024个数，
∴第33组的第一个数是2050，
∵（2088﹣2050）÷2＝19，
∴2088是第33组第20个数，
故选：C．
2．解：（4x3）÷（﹣2x2）＝﹣2x，
（﹣8x4）÷（4x3）＝﹣2x，
（16x5）÷（﹣8x4）＝﹣2x，
…
所以从第二个单项式起，每一个单项式与它前面的单项式的商都是﹣2x；
按发现的规律可知：
x，﹣2x2，
4x3＝22x3，
﹣8x4＝﹣23x4，
16x5＝24x5，
…
所以第8个单项式是﹣27x8＝﹣128x8．
故选：B．
3．解：∵f（2）＝，f（）＝，f（3）＝，f（）＝，…，
∴f（2）+f（）＝＝1，f（3）+f（）＝＝1，
∴f（x）+f（）＝1，
∴f（2021）+f（2020）+…+f（2）+f（1）+f（）+…
＝[f（2021）+f（）]+[f（2020）+f（）]+…+[f（2）+f（）]+f（1）
＝1×（2021﹣1）+f（1）
＝2020+
＝．
故选：C．
4．解：由题意可得第二行第二个的规律分别是：3×10，5×12，7×14，
∴m＝9×16＝144，
故选：D．
5．解：由题意可得，19右侧的数是20，
y＝19×20+2＝382，
故选：B．
6．解：A1，P两点表示的数分别是1，2，A1，A2关于点O对称，
∴A2表示的数是﹣1，
∵A2，A3关于点P对称，
∴A3表示的数是1+4＝5，
∵A3，A4关于点O对称，
∴A4表示的数是﹣5，
∵A4，A5关于点P对称，
∴A5表示的数是1+4+4＝9，
……
∴关于P点对称的点表示的数是1+2（n﹣2）＝2n﹣3，
关于O点对称的点表示的数是3﹣2n，
∴点A14表示的数是﹣25，
故选：D．
7．解：根据题中的新定义得：
＝
＝2021．
故选：D．
8．解：观察数字的变化，
发现规律：
第n行的第一个数为n2，
所以第45行第一个数为452＝2025，
再依次减1，到第4列，
即452﹣3＝2022．
故选：C．
9．解：∵f（2）＝，f（）＝，
f（3）＝，f（）＝，
∴f（2）+f（）＝1，f（3）+f（）＝1，
∴f（）+…+f（）+f（1）+f（2）+…+f（9）
＝+…+
＝
＝8+0.5
＝8.5．
故选：B．
10．解：∵a＝（﹣1）1+1×（2×1﹣1）a，
﹣3a2＝（﹣1）2+1×（2×2﹣1）a2，
5a3＝（﹣1）3+1×（2×3﹣1）a3，
﹣7a4＝（﹣1）4+1×（2×4﹣1）a4，
9a5＝（﹣1）5+1×（2×5﹣1）a5，
…
∴第n个单项式为：（﹣1）n+1（2n﹣1）an．
故选：D．
11．解：∵a1＝3，a2是a1的“友好数”，
∴a2＝＝﹣2，
∵a3是a2的“友好数”，
∴a3＝＝，
∵a4是a3的“友好数”，
∴a4＝＝，
∵a5是a4的“友好数”，
∴a5＝＝3，
……
∴每四个数是一组循环，
∵2021÷4＝505…1，
∴a2021＝a1＝3，
故选：A．
12．解：∵﹣＝（﹣1）1×，
＝（﹣1）2×，
﹣＝（﹣1）3×，
＝（﹣1）4×，
…，
∴第n个单项式为：（﹣1）n．
故选：B．
13．解：∵2021÷4＝505…1，
∴32021的个位数字是3，
故选：C．
14．解：2021÷4＝505…1，
∴2021应在1的位置，也就是在D处．
故选：D．
15．解：∵，
∴
＝
＝
＝792，
故选：B．
16．解：根据前面几个式子的规律可得第n个式子为3+．
故选：C．
17．解：∵a1＝5，
a2＝＝﹣，
a3＝＝，
a4＝＝5，
…，
∴数列以5，﹣，三个数依次不断循环，
∵2020÷3＝673…1，
∴a2020＝a1＝5，
故选：D．
18．解：原式＝（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）…（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）
＝××××××…××××
＝×
＝．
故选：D．
19．解：由1＝12，1+3＝22，1+3+5＝32，猜想：1+3+5+ +（2n﹣1）＝n2，
验证：当n＝4时，1+3+5+7＝16＝42，当n＝5时，1+3+5+7+9＝25＝52，猜想成立，
∴2n﹣1＝2021，
解得：n＝1011，
∴1+3+5+7+…+2021＝10112．
故选：B．
20．解：由题意可知：
行数为1的方阵内包含“1”，共1个数；
行数为2的方阵内包含“1、3、5、7”，共22个数；
行数为3的方阵内包含“1、3、5、7、9、11、13、15、17”，共32个数；
∴行数为32的方阵内包含“1、3、5、7、......”共322个数，即共1024个数，
∴位于第32行第13列的数是连续奇数的第（1024﹣12）＝1012个数，
∴位于第32行第13列的数是：2×1012﹣1＝2023．
故选：B．
21．解：由题知第一次输出1；
第二次输出﹣4；
第三次输出为﹣2；
第四次输出为﹣1；
第五次输出为﹣6；
第六次输出为﹣3；
第七次输出为﹣8；
第八次输出为﹣4；
....．
∴从第二次开始每六次循环一次，
（2021﹣1）÷6＝336......4，
∴第2021次的输出结果为﹣6，
故选：C．
22．解：（1）设S＝1+3+32+33+34+…+32020①，
则3S＝3+32+33+34+35+…+32021②，
②﹣①得2S＝32021﹣1，
所以S＝，
即1+3+32+33+34+…+32020＝；
（2）设S＝1+a+a2+a3+a4+…+a2020①，
则aS＝a+a2+a3+a4+…+a2020+a2021②，
②﹣①得：（a﹣1）S＝a2021﹣1，
所以S＝，
即1+a+a2+a3+a4+…+a2020＝．
23．解：（1）∵﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，…；
∴第n个数为：x＝（﹣2）n；
∵﹣1＝﹣2÷2，2＝4÷2，﹣4＝﹣8÷2，…，
∴第n个数为：（﹣2）n÷2＝；
∵1＝﹣2+3，7＝4+3，﹣5＝﹣8+3，…，
∴第n个数为：（﹣2）n+3＝x+3；
故答案为：；x+3；
（2）∵A﹣tB+3C，
∴x﹣+3（x+3）
＝x﹣x+3x+9
＝（1﹣+3）x+9，
∵对于任意的正整数n均有A﹣tB+3C为一个定值，
∴1﹣+3＝0，
解得：t＝8，
故答案为：8；
（3）不存在，理由如下：
由题意得：x++x+3＝1283，
解得：x＝512，
即（﹣2）n＝512，
∵（﹣2）9＝﹣512，
∴不存在这样的一列三个数的和为1283．
24．解：（1）由题意可得，
a5＝﹣5，
sum（a1：a10）
＝﹣1+2+（﹣3）+4+…+（﹣9）+10
＝5，
故答案为：﹣5，5；
（2）①∵（﹣1）2×1，（﹣1）3×2，（﹣1）4×3，（﹣1）5×4，…
按照规律a100＝（﹣1）101×100，
∴sum（a1：a100）＝（﹣1）2×1+（﹣1）3×2+（﹣1）4×3+（﹣1）5×4+…+（﹣1）101×100
＝1+（﹣2）+3+（﹣4）+...+99+（﹣100）
＝﹣50；
②∵sum（a1：an）＝130，
∴n比为奇数，
∴sum（a1：an）＝﹣+n＝130，
解得：n＝259，
故答案为：259．
25．解：（1）①|7﹣21|＝21﹣7，②||＝﹣，
故答案为：21﹣7，﹣；
（2）当a＞b时，|a﹣b|＝a﹣b，当a＜b时，|a﹣b|＝b﹣a，
故答案为：a﹣b，b﹣a；
（3）由题意可得，a＜﹣2＜b＜﹣1＜c，
∴|a|﹣|b+2|﹣|a+c|
＝﹣a﹣（b+2）﹣[﹣（a+c）]
＝﹣a﹣b﹣2+a+c
＝c﹣b﹣2，
故答案为：c﹣b﹣2；
（4）|﹣1|+|﹣|+|﹣|+…+||
＝1﹣+﹣+﹣+…+﹣
＝1﹣
＝．
26．解：（1）观察所给式子的等号左右两边的数字，可得到如下规律：．
故答案为：；
（2）永远不可能倒完．理由如下：
＝
＝
＝．
（3）
＝
＝++++
＝×（）
＝
＝
＝．
27．解：（1）∵将38各个数位上的数字分别平方后得到的数为：9，64，
∴它们的个位数字依次为：9，4，
∴38的“团结数”为：94；
∵将2024各个数位上的数字分别平方后得到的数为：4，0，4，16，
∴它们的个位数字依次为：4，0，4，6，
∴38的“团结数”为：4046．
故答案为：94；4046；
（2）∵数位上的数字平方后得到的数的个位数字为5的数只有5，
数位上的数字平方后得到的数的个位数字为4的数有2或8，
数位上的数字平方后得到的数的个位数字为1的数有1或9，
∴满足条件的所有x的值为：581，521，589，529；
故答案为：581，521，589，529；
（3）∵数位上的数字平方后得到的数的个位数字等于它本身的数字有1，5，6（0不合题意），
∴所有满足条件的两位“团结一致数”有：16，61，56，65，15，51，
∴所有满足条件的两位“团结一致数”的和为：
16+61+15+51+65+56＝264．
28．解：（1）（a×b）100＝a100×b100．
归纳得出：（a×b）n＝an×bn．
（﹣）2021×42022＝﹣（）2021×42022＝﹣（×4）2021×4＝﹣12021×4＝﹣4；
故答案为：a100×b100，an×bn，﹣4．
（2）①表中第8行的最后一个数是64，它是自然数8的平方，第8行共有15个数；
②用含n的代数式表示：第n行的第一个数是（n﹣1）2+1，最后一个数是n2，第n行共有（2n﹣1）个数．
故答案为：64，8，15；（n﹣1）2+1，n2，（2n﹣1）．
29．解：（1）∵﹣5＝×1，﹣10＝﹣5×2，﹣15＝﹣5×3，……，﹣100＝﹣5×20，
∴﹣5﹣10﹣15﹣20﹣25﹣…﹣100＝﹣5n，
∴﹣5n＝﹣5×（1+2+3+…+20）＝﹣5×210＝﹣1050，
故答案为：﹣5n，﹣1050；
（2）
＝+++…+
＝1﹣+﹣+﹣+…+﹣
＝1﹣
＝；
（3）
＝+++…+
＝×（1﹣+﹣+…+﹣）
＝×（1﹣）
＝．
30．解：（1）由题意可得：
13+23+33+43+53＝（1+2+3+4+5）2＝152，
故答案为：（1+2+3+4+5）；15；
（2）13+23+33+…+n3＝（1+2+3+...+n）2＝[]2，
故答案为：（1+2+3+...+n）；[]；
（3）原式＝（13+23+33+…+163+173+183+193+203）﹣（13+23+33+…+153）
＝（1+2+3+...+20）2﹣（1+2+3+...+15）2
＝[]2﹣[]2
＝2102﹣1202
＝44100﹣14400
＝29700．
1．把所有正偶数从小到大排列，并按如下规律分组：（2），（4，6，8），（10，12，14，16，18），（20，22，24，26，28，30，32）……现有等式Am（i，j）表示正偶数m是第i组第j个数（从左往右数），如A8（2，3），则A2088等于（ ）
A．（31，16） B．（32，18） C．（33，20） D．（34，22）
2．观察依次排列的一串单项式x，﹣2x2，4x3，﹣8x4，16x5，…，按你发现的规律继续写下去，第8个单项式是（ ）
A．﹣128x7 B．﹣128x8 C．﹣256x7 D．﹣256x8
3．对于正数x，规定f（x）＝，例如f（4）＝，，则f（2021）+f（2020）+…+f（2）+f（1）+f（）+…的结果是（ ）
A． B．4039 C． D．4041
4．如图各正方形中的四个数字之间都有相同的规律，根据这种规律，m的值是（ ）
A．74 B．104 C．126 D．144
5．如图所示：下列各三角形中的三个数均有相同的规律，由此规律最后一个三角形中，y的值是（ ）
A．380 B．382 C．384 D．386
6．如图，在数轴上，A1，P两点表示的数分别是1，2，A1，A2关于点O对称，A2，A3关于点P对称，A3，A4关于点O对称，A4，A5关于点P对称…依此规律，则点A14表示的数是（ ）
A．21 B．﹣21 C．25 D．﹣25
7．观察下列等式（式子中的“!”是一种数学运算符号）1!＝1，2!＝2×1，3!＝3×2×1，4!＝4×3×2×1，…，那么计算的值是（ ）
A．2018 B．2019 C．2020 D．2021
8．将从1开始的自然数按规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第4列的数是（ ）
A．2025 B．2023 C．2022 D．2021
9．对于正数x，规定f（x）＝，例如f（2）＝，则f（）+…+f（）+f（1）+f（2）+…+f（9）的值是（ ）
A．8 B．8.5 C．9 D．9.5
10．按一定规律排列的单项式a，﹣3a2，5a3，﹣7a4，9a5，…第n个单项式是（ ）
A．（﹣1）n（2n﹣1）an B．（﹣1）n+1（2n+1）an
C．（﹣1）n（2n+1）an D．（﹣1）n+1（2n﹣1）an
11．若a≠2，则我们把称为a的“友好数”，如3的“友好数”是，﹣2的“友好数”是，已知a1＝3，a2是a1的“友好数”，a3是a2的“友好数”，a4是a3的“友好数”，……，依此类推，则a2021＝（ ）
A．3 B．﹣2 C． D．
12．按一定规律排列的单项式：﹣，，﹣，，…，则第n个单项式是（ ）
A．（﹣1）n﹣1 B．（﹣1）n
C．（﹣1）n﹣1 D．（﹣1）n
13．计算：31﹣1＝2，32﹣1＝8，33﹣1＝26，34﹣1＝80，35﹣1＝242，…，归纳并计算结果中的个位数字的规律，猜测32021的个位数字是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．9
14．将正整数按如图所示的位置顺序排列：
根据排列规律，则2021应在（ ）
A．A处 B．B处 C．C处 D．D处
15．已知“！”是一种数学运算符号，并且1！＝1，2！＝2×1＝2，3！＝3×2×1＝6，4！＝4×3×2×1＝24，…，若公式 nm＝（n＞m），则C125＝（ ）
A．60 B．792 C．812 D．5040
16．观察下列按一定规律排列的代数式：2，3+，3﹣，3+，3﹣，…，第n个代数式为（ ）
A．2+ B．2﹣ C．3+ D．3﹣
17．a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如2的差倒数为＝﹣1，﹣1的差倒数，已知a1＝5，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数…，依此类推，a2020的值是（ ）
A． B．﹣ C． D．5
18．计算（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）的值是（ ）
A． B． C． D．
19．已知1＝12，1+3＝22，1+3+5＝32，…则1+3+5+7+…+2021＝（ ）
A．10102 B．10112 C．20202 D．20212
20．将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是（ ）
A．2025 B．2023 C．2021 D．2019
21．如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x的值为2，结果输出的是1，返回进行第二次运算则输出的是﹣4，…，则第2021次输出的结果是（ ）
A．﹣1 B．﹣3 C．﹣6 D．﹣8
22．阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22018．
首先设S＝1+2+22+23+24+…+22018①，
则2S＝2+22+23+24+25+…+22019②，
②﹣①得S＝22019﹣1，
即1+2+22+23+24+…+22018＝22019﹣1．
以上解法，在数列求和中，我们称之为：“错位相减法”．
请你根据上面的材料，解决下列问题：
（1）求1+3+32+33+34+…+32020的值；
（2）若a为正整数且a≠1，求1+a+a2+a3+a4+…+a2020．
23．观察下面三行数：
﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，…；
﹣1，2，﹣4，8，﹣16，32，…；
1，7，﹣5，19，﹣29，67，…
（1）如果设第1行的第n个数为x，则第2、3行的第n个数分别为 ， （用含x的代数式表示）．
（2）取每一行的第n个数，从上到下依次记作A，B，C，对于任意的正整数n均有A﹣tB+3C为一个定值，则t＝ ．
（3）是否存在这样的一列数，使得这样的一列三个数的和为1283？若存在，求出这一列数；若不存在，说明理由．
24．阅读：给定一列数，我们把这列数中的第一个数记为a1，第二数记为a2，第三个数记为a3，依此类推，第n个数记为an（n为正整数）．规定运算sum（a1：an）＝a1+a2+a3+…+an，即从这列数的第一个数开始依次加到第n个数．
（1）已知一列数﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，﹣7，8，﹣9，10，则a5＝ ，sum（a1：a10） ．
（2）已知一列有规律的数：
（﹣1）2×1，（﹣1）3×2，（﹣1）4×3，（﹣1）5×4，…按照规律，这列数可以无限的写下去：
①求sum（a1：a100）的值；
②若正整数n满足等式sum（a1：an）＝130，请直接写出n＝ ．
25．观察下列各式的特征：|7﹣6|＝7﹣6；|6﹣7|＝7﹣6；||＝；||＝，根据规律，解决相关问题：
（1）①|7﹣21|＝ ；②||＝ ．
（2）当a＞b时，|a﹣b|＝ ；当a＜b时，|a﹣b|＝ ．
（3）有理数a，b，c在数轴上的位置如图，则化简|a|﹣|b+2|﹣|a+c|的结果为 ．
（4）计算：|﹣1|+|﹣|+|﹣|+…+||．
26．阅读与思考：观察下列式子：，，，……，
（1）（探索规律）用正整数n表示上述式子的规律是 ；
（2）（问题解决）容器里有1升水，按如下要求把水倒出：第一次倒出升水，第二次倒出的水量是升的，第三次倒出的水量是升的，第四次倒出的水量是升的，……，第n次倒出的水量是升水的．按照这种倒水方式，这1升水能否倒完？说明理由；
（3）（拓展探究）计算的值．
27．对于一个正整数m，将其各个数位上的数字分别平方后取其个位数字，顺次排列后，得到一个新数n，则称n是m的“团结数”．例如：m＝127，将其各个数位上的数字分别平方后得到的数为1，4，49，它们的个位数字依次为1，4，9，那么m的“团结数”n为149．若一个数的“团结数”等于它本身，那么这个数就叫做“团结一致数”．
（1）38的“团结数”是 ，2024的“团结数”是 ；
（2）若一个三位正整数x的“团结数”是541，求满足条件的所有x的值 ；
（3）已知一个两位“团结一致数”的个位数字与十位数字均不为0且互不相同，求所有满足条件的两位“团结一致数”的和．
28．（1）仔细观察下列式子：（a×b）2＝a2×b2，（a×b）3＝a3×b3，（a×b）4＝a4×b4．
猜一猜：（a×b）100＝ ．归纳得出：（a×b）n＝ ．
请应用上述性质计算：（﹣）2021×42022＝ ．
（2）如图是由从1开始的连续自然数组成的数表，观察规律并完成各题的解答．
①表中第8行的最后一个数是 ，它是自然数 的平方，第8行共有 个数；
②用含n的代数式表示：第n行的第一个数是 ，最后一个数是 ，第n行共有 个数．
29．观察下面用“求和符号∑”表示的求很多项的和的式子：
n＝1+2+3+…+100；
＝+++…+；
n（n﹣6）＝3×（3﹣6）+4×（4﹣6）+5×（5﹣6）+…+40×（40﹣6）．
通过以上观察，请解答下列问题．
（1）式子﹣5﹣10﹣15﹣20﹣25﹣…﹣100用求和符号表示为 ，计算的结果是 ；
（2）计算：；
（3）计算：．
30．观察下列各式：
13+23＝1+8＝9，而（1+2）2＝9，∴13+23＝（1+2）2；
13+23+33＝36，而（1+2+3）2＝36，∴13+23+33＝（1+2+3）2；
13+23+33+43＝100，而（1+2+3+4）2＝100，∴13+23+33+43＝（1+2+3+4）2；
猜想并填空：
（1）13+23+33+43+53＝ 2＝ 2；
根据以上规律填空：
（2）13+23+33+…+n3＝ 2＝ 2；
（3）求解：163+173+183+193+203．
参考答案
1．解：由题意可知，第一组有1个数，第二组有3个数，第三组有5个数，……，第n组有（2n﹣1）个数，
∴n组数共有n2个数，
∵322＝1024，
∴2088在第33组，
当n＝32时，前32组共有1024个数，
∴第33组的第一个数是2050，
∵（2088﹣2050）÷2＝19，
∴2088是第33组第20个数，
故选：C．
2．解：（4x3）÷（﹣2x2）＝﹣2x，
（﹣8x4）÷（4x3）＝﹣2x，
（16x5）÷（﹣8x4）＝﹣2x，
…
所以从第二个单项式起，每一个单项式与它前面的单项式的商都是﹣2x；
按发现的规律可知：
x，﹣2x2，
4x3＝22x3，
﹣8x4＝﹣23x4，
16x5＝24x5，
…
所以第8个单项式是﹣27x8＝﹣128x8．
故选：B．
3．解：∵f（2）＝，f（）＝，f（3）＝，f（）＝，…，
∴f（2）+f（）＝＝1，f（3）+f（）＝＝1，
∴f（x）+f（）＝1，
∴f（2021）+f（2020）+…+f（2）+f（1）+f（）+…
＝[f（2021）+f（）]+[f（2020）+f（）]+…+[f（2）+f（）]+f（1）
＝1×（2021﹣1）+f（1）
＝2020+
＝．
故选：C．
4．解：由题意可得第二行第二个的规律分别是：3×10，5×12，7×14，
∴m＝9×16＝144，
故选：D．
5．解：由题意可得，19右侧的数是20，
y＝19×20+2＝382，
故选：B．
6．解：A1，P两点表示的数分别是1，2，A1，A2关于点O对称，
∴A2表示的数是﹣1，
∵A2，A3关于点P对称，
∴A3表示的数是1+4＝5，
∵A3，A4关于点O对称，
∴A4表示的数是﹣5，
∵A4，A5关于点P对称，
∴A5表示的数是1+4+4＝9，
……
∴关于P点对称的点表示的数是1+2（n﹣2）＝2n﹣3，
关于O点对称的点表示的数是3﹣2n，
∴点A14表示的数是﹣25，
故选：D．
7．解：根据题中的新定义得：
＝
＝2021．
故选：D．
8．解：观察数字的变化，
发现规律：
第n行的第一个数为n2，
所以第45行第一个数为452＝2025，
再依次减1，到第4列，
即452﹣3＝2022．
故选：C．
9．解：∵f（2）＝，f（）＝，
f（3）＝，f（）＝，
∴f（2）+f（）＝1，f（3）+f（）＝1，
∴f（）+…+f（）+f（1）+f（2）+…+f（9）
＝+…+
＝
＝8+0.5
＝8.5．
故选：B．
10．解：∵a＝（﹣1）1+1×（2×1﹣1）a，
﹣3a2＝（﹣1）2+1×（2×2﹣1）a2，
5a3＝（﹣1）3+1×（2×3﹣1）a3，
﹣7a4＝（﹣1）4+1×（2×4﹣1）a4，
9a5＝（﹣1）5+1×（2×5﹣1）a5，
…
∴第n个单项式为：（﹣1）n+1（2n﹣1）an．
故选：D．
11．解：∵a1＝3，a2是a1的“友好数”，
∴a2＝＝﹣2，
∵a3是a2的“友好数”，
∴a3＝＝，
∵a4是a3的“友好数”，
∴a4＝＝，
∵a5是a4的“友好数”，
∴a5＝＝3，
……
∴每四个数是一组循环，
∵2021÷4＝505…1，
∴a2021＝a1＝3，
故选：A．
12．解：∵﹣＝（﹣1）1×，
＝（﹣1）2×，
﹣＝（﹣1）3×，
＝（﹣1）4×，
…，
∴第n个单项式为：（﹣1）n．
故选：B．
13．解：∵2021÷4＝505…1，
∴32021的个位数字是3，
故选：C．
14．解：2021÷4＝505…1，
∴2021应在1的位置，也就是在D处．
故选：D．
15．解：∵，
∴
＝
＝
＝792，
故选：B．
16．解：根据前面几个式子的规律可得第n个式子为3+．
故选：C．
17．解：∵a1＝5，
a2＝＝﹣，
a3＝＝，
a4＝＝5，
…，
∴数列以5，﹣，三个数依次不断循环，
∵2020÷3＝673…1，
∴a2020＝a1＝5，
故选：D．
18．解：原式＝（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）…（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）
＝××××××…××××
＝×
＝．
故选：D．
19．解：由1＝12，1+3＝22，1+3+5＝32，猜想：1+3+5+ +（2n﹣1）＝n2，
验证：当n＝4时，1+3+5+7＝16＝42，当n＝5时，1+3+5+7+9＝25＝52，猜想成立，
∴2n﹣1＝2021，
解得：n＝1011，
∴1+3+5+7+…+2021＝10112．
故选：B．
20．解：由题意可知：
行数为1的方阵内包含“1”，共1个数；
行数为2的方阵内包含“1、3、5、7”，共22个数；
行数为3的方阵内包含“1、3、5、7、9、11、13、15、17”，共32个数；
∴行数为32的方阵内包含“1、3、5、7、......”共322个数，即共1024个数，
∴位于第32行第13列的数是连续奇数的第（1024﹣12）＝1012个数，
∴位于第32行第13列的数是：2×1012﹣1＝2023．
故选：B．
21．解：由题知第一次输出1；
第二次输出﹣4；
第三次输出为﹣2；
第四次输出为﹣1；
第五次输出为﹣6；
第六次输出为﹣3；
第七次输出为﹣8；
第八次输出为﹣4；
....．
∴从第二次开始每六次循环一次，
（2021﹣1）÷6＝336......4，
∴第2021次的输出结果为﹣6，
故选：C．
22．解：（1）设S＝1+3+32+33+34+…+32020①，
则3S＝3+32+33+34+35+…+32021②，
②﹣①得2S＝32021﹣1，
所以S＝，
即1+3+32+33+34+…+32020＝；
（2）设S＝1+a+a2+a3+a4+…+a2020①，
则aS＝a+a2+a3+a4+…+a2020+a2021②，
②﹣①得：（a﹣1）S＝a2021﹣1，
所以S＝，
即1+a+a2+a3+a4+…+a2020＝．
23．解：（1）∵﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，…；
∴第n个数为：x＝（﹣2）n；
∵﹣1＝﹣2÷2，2＝4÷2，﹣4＝﹣8÷2，…，
∴第n个数为：（﹣2）n÷2＝；
∵1＝﹣2+3，7＝4+3，﹣5＝﹣8+3，…，
∴第n个数为：（﹣2）n+3＝x+3；
故答案为：；x+3；
（2）∵A﹣tB+3C，
∴x﹣+3（x+3）
＝x﹣x+3x+9
＝（1﹣+3）x+9，
∵对于任意的正整数n均有A﹣tB+3C为一个定值，
∴1﹣+3＝0，
解得：t＝8，
故答案为：8；
（3）不存在，理由如下：
由题意得：x++x+3＝1283，
解得：x＝512，
即（﹣2）n＝512，
∵（﹣2）9＝﹣512，
∴不存在这样的一列三个数的和为1283．
24．解：（1）由题意可得，
a5＝﹣5，
sum（a1：a10）
＝﹣1+2+（﹣3）+4+…+（﹣9）+10
＝5，
故答案为：﹣5，5；
（2）①∵（﹣1）2×1，（﹣1）3×2，（﹣1）4×3，（﹣1）5×4，…
按照规律a100＝（﹣1）101×100，
∴sum（a1：a100）＝（﹣1）2×1+（﹣1）3×2+（﹣1）4×3+（﹣1）5×4+…+（﹣1）101×100
＝1+（﹣2）+3+（﹣4）+...+99+（﹣100）
＝﹣50；
②∵sum（a1：an）＝130，
∴n比为奇数，
∴sum（a1：an）＝﹣+n＝130，
解得：n＝259，
故答案为：259．
25．解：（1）①|7﹣21|＝21﹣7，②||＝﹣，
故答案为：21﹣7，﹣；
（2）当a＞b时，|a﹣b|＝a﹣b，当a＜b时，|a﹣b|＝b﹣a，
故答案为：a﹣b，b﹣a；
（3）由题意可得，a＜﹣2＜b＜﹣1＜c，
∴|a|﹣|b+2|﹣|a+c|
＝﹣a﹣（b+2）﹣[﹣（a+c）]
＝﹣a﹣b﹣2+a+c
＝c﹣b﹣2，
故答案为：c﹣b﹣2；
（4）|﹣1|+|﹣|+|﹣|+…+||
＝1﹣+﹣+﹣+…+﹣
＝1﹣
＝．
26．解：（1）观察所给式子的等号左右两边的数字，可得到如下规律：．
故答案为：；
（2）永远不可能倒完．理由如下：
＝
＝
＝．
（3）
＝
＝++++
＝×（）
＝
＝
＝．
27．解：（1）∵将38各个数位上的数字分别平方后得到的数为：9，64，
∴它们的个位数字依次为：9，4，
∴38的“团结数”为：94；
∵将2024各个数位上的数字分别平方后得到的数为：4，0，4，16，
∴它们的个位数字依次为：4，0，4，6，
∴38的“团结数”为：4046．
故答案为：94；4046；
（2）∵数位上的数字平方后得到的数的个位数字为5的数只有5，
数位上的数字平方后得到的数的个位数字为4的数有2或8，
数位上的数字平方后得到的数的个位数字为1的数有1或9，
∴满足条件的所有x的值为：581，521，589，529；
故答案为：581，521，589，529；
（3）∵数位上的数字平方后得到的数的个位数字等于它本身的数字有1，5，6（0不合题意），
∴所有满足条件的两位“团结一致数”有：16，61，56，65，15，51，
∴所有满足条件的两位“团结一致数”的和为：
16+61+15+51+65+56＝264．
28．解：（1）（a×b）100＝a100×b100．
归纳得出：（a×b）n＝an×bn．
（﹣）2021×42022＝﹣（）2021×42022＝﹣（×4）2021×4＝﹣12021×4＝﹣4；
故答案为：a100×b100，an×bn，﹣4．
（2）①表中第8行的最后一个数是64，它是自然数8的平方，第8行共有15个数；
②用含n的代数式表示：第n行的第一个数是（n﹣1）2+1，最后一个数是n2，第n行共有（2n﹣1）个数．
故答案为：64，8，15；（n﹣1）2+1，n2，（2n﹣1）．
29．解：（1）∵﹣5＝×1，﹣10＝﹣5×2，﹣15＝﹣5×3，……，﹣100＝﹣5×20，
∴﹣5﹣10﹣15﹣20﹣25﹣…﹣100＝﹣5n，
∴﹣5n＝﹣5×（1+2+3+…+20）＝﹣5×210＝﹣1050，
故答案为：﹣5n，﹣1050；
（2）
＝+++…+
＝1﹣+﹣+﹣+…+﹣
＝1﹣
＝；
（3）
＝+++…+
＝×（1﹣+﹣+…+﹣）
＝×（1﹣）
＝．
30．解：（1）由题意可得：
13+23+33+43+53＝（1+2+3+4+5）2＝152，
故答案为：（1+2+3+4+5）；15；
（2）13+23+33+…+n3＝（1+2+3+...+n）2＝[]2，
故答案为：（1+2+3+...+n）；[]；
（3）原式＝（13+23+33+…+163+173+183+193+203）﹣（13+23+33+…+153）
＝（1+2+3+...+20）2﹣（1+2+3+...+15）2
＝[]2﹣[]2
＝2102﹣1202
＝44100﹣14400
＝29700．