2021-2022学年鲁教版（五四制）九年级数学下册5.9弧长及扇形的面积 知识点分类练习（word解析版）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年鲁教版（五四制）九年级数学下册5.9弧长及扇形的面积 知识点分类练习（word解析版） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 311.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-25 06:00:49 | ||
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文档简介
2021-2022学年鲁教版九年级数学下册《5.9弧长及扇形的面积》知识点分类练习（附答案）
一．弧长的计算
1．如图，圆上有A、B、C、D四点，其中∠BAD＝80°，若弧ABC、弧ADC的长度分别为7π、11π，则弧BAD的长度是（ ）
A．4π B．8π C．10π D．15π
2．下列说法正确的是（ ）
A．的倒数是 B．计算弧长的公式是
C．1是最小的自然数 D．1的因数只有1个
3．在平面直角坐标系中，若干个半径为1个单位长度，圆心角为60°的扇形组成一条连续的曲线，点P从原点O出发，向右沿这条曲线做上下起伏运动（如图），点P在直线上运动的速度为每秒1个单位长度．点P在弧线上运动的速度为每秒个单位长度，则2019秒时，点P的坐标是（ ）
A．（，） B．（，﹣）
C．（2019，） D．（2019，﹣）
4．如图，在⊙O中，弦BC＝1，点A是圆上一点，且∠BAC＝30°，则劣弧的长是（ ）
A．π B． C． D．
5．如果一个扇形的半径是2，弧长是，则此扇形的圆心角的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
6．已知150°的圆心角所对的弧长为5π，则这条弧所在圆的半径为 ．
7．如图，⊙O的弦AB＝，直径CD为2，AB⊥CD于E，则的长为 （结果保留π）．
8．如图，矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝2cm，则图中的阴影部分的周长为 cm．
9．如图，AB是⊙O的直径，点C、D均在⊙O上，∠ACD＝30°，弦AD＝4cm．
（1）求⊙O的直径．
（2）求的长．
10．如图，点P的坐标为（1，3），把点P绕坐标原点O逆时针旋转90°后得到点Q．
（1）求点P经过的弧长；（结果保留π）
（2）写出点Q的坐标是 ．
11．如图，的半径OA＝2，OC⊥AB于点C，∠AOC＝60°．
（1）求弦AB的长．
（2）求的长．
二．扇形面积的计算
12．已知扇形OAB的圆心O是坐标原点，点A的坐标是（3，4），点B的坐标是（﹣4，3），那么扇形OAB的面积是（ ）
A．25π B．π C．16π D．π
13．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于O，以B为圆心、BC长为半径画弧，交AB于点F，若点O恰好在圆弧上，且AB＝6，则阴影部分的面积为（ ）
A．18﹣6π B．54﹣18π C．36﹣6π D．27﹣9π
14．中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花．图①中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到AC＝BD＝12cm，C，D两点之间的距离为4cm，圆心角为60°，则图中摆盘的面积是（ ）
A．80πcm2 B．40πcm2 C．24πcm2 D．2πcm2
15．如图，⊙A，⊙B，⊙C的半径都是2cm，则图中三个扇形（即阴影部分）面积之和是（ ）
A．2π B．π C． D．6π
16．如图，在扇形OAB中，已知∠AOB＝90°，OA＝，过的中点C作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D、E，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．π﹣1 B．﹣1 C．π﹣ D．﹣
17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝60°，AC＝2，将△ABC绕点A顺时针旋转45°，得到△AB'C'，B'C'与AB相交于点D，则图中阴影部分的面积为 ．
18．如图，平行四边形ABCD中，∠A＝60°，CD＝4，以点A为圆心，AB的长为半径画弧交AD边于点E，以点B为圆心，BE的长为半径画弧交BC边于点F，则阴影部分的面积为 ．
19．如图，AB是⊙O的弦，直线BC与⊙O相切于点B，AD⊥BC，垂足为D，连接OA，OB．
（1）求证：AB平分∠OAD；
（2）当∠AOB＝100°，⊙O的半径为6cm时．
①直接写出扇形AOB的面积约为 cm2（结果精确到1cm2）；
②点E是⊙O上一动点（点E不与点A、点B重合），连接AE，BE，请直接写出∠AEB＝ °．
20．如图，半圆O的直径AB＝20，将半圆O绕点B顺时针旋转45°得到半圆O′，与AB交于点P．
（1）求AP的长；
（2）求图中阴影部分的面积（结果保留π）．
参考答案
一．弧长的计算
1．解：∵、的长度分别为7π，11π，
∴圆的周长为18π，
∵∠A＝80°，
∴∠C＝180°﹣80°＝100°，
故＝×18π＝10π．
故选：C．
2．解：A，1的倒数是，所以1的倒数是是错误的．
B，因为弧长公式：I＝，所以计算弧长的公式是是错误的．
C，因为最小的自然数是0，所以所以1是最小的自然数，说法错误．
D，一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身．1的因数只有1．说法正确．
故选：D．
3．解：设第n秒运动到Pn（n为自然数）点，
观察，发现规律：P1（，），P2（1，0），P3（，﹣），P4（2，0），P5（，），…，
∴P4n+1（，），P4n+2（n+1，0），P4n+3（，﹣），P4n+4（2n+2，0）．
∵2019＝4×504+3，
∴P2019为（，﹣），
故选：B．
4．解：连接OB，OC．
∵∠BOC＝2∠BAC＝60°，
∵OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB＝OC＝BC＝1，
∴劣弧的长＝＝，
故选：B．
5．解：∵扇形的弧长为，半径为2，
∴＝，
解得：n＝45°．
故选：B．
6．解：设这条弧所在圆的半径为R，
由题意得，＝5π，
解得，R＝6，
故答案为：6．
7．解：连接OB，
∵AB＝，CD是⊙O的直径，
∴BE＝AB＝，
∵OB＝CD＝1，
∴sin∠DOB＝＝，
∴∠DOB＝60°，
∴∠BOC＝120°，
∴的长为＝π，
故答案为：π．
8．解：由图可知，
阴影部分的周长是：（3﹣2）+（3﹣2）＝+2＝（+2）cm，
故答案为：（+2）．
9．解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°．
∵同弧所对的圆周角相等，
∴∠ABD＝∠ACD＝30°．
∵AD＝4，
∴AB＝8．
∴⊙O的直径为8cm．
（2）连接OD，则∠AOD＝2∠ACD＝60°．
∴的长为．
10．解：（1）如图，过P作PA⊥x轴于A，
∵P（1，3），
∴，
∴点P经过的弧长为；
（2）把点P绕坐标原点O逆时针旋转90°后得到点Q，过点P作x轴的垂线，垂足是B，
∴OQ＝PO，∠POQ＝90°，
∴∠POA+∠QOB＝90°，∠QOB＝∠OPA，△QOB≌△OPA（AAS），
∴OB＝PA＝3，BQ＝AO＝1，
则点Q的坐标是（﹣3，1）．
故答案是：（﹣3，1）．
11．解：（1）∵的半径OA＝2，OC⊥AB于点C，∠AOC＝60°，
∴AC＝OA sin60°＝2×＝，
∴AB＝2AC＝2；
（2）∵OC⊥AB，∠AOC＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∵OA＝2，
∴的长是：＝．
二．扇形面积的计算
12．解：∵点A的坐标是（3，4），点B的坐标是（﹣4，3），
∴∠AOB＝90°，OA＝OB＝＝5，
∴扇形OAB的面积＝＝π，
故选：D．
13．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝6，∠DCB＝90°，AC＝BD，OC＝AC，OB＝BD，
∴OB＝OC，
∵BC＝OB，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠CBO＝60°，BC＝BO，
即AC＝2BC，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB2+BC2＝AC2，
（6）2+BC2＝（2BC）2，
解得：BC＝6，
∴阴影部分的面积＝S△BCD﹣S扇形BOC＝﹣＝18﹣6π，
故选：A．
14．解：如图，连接CD．
∵OC＝OD，∠O＝60°，
∴△COD是等边三角形，
∴OC＝OD＝CD＝4cm，
∴S阴＝S扇形OAB﹣S扇形OCD＝﹣＝40π（cm2），
故选：B．
15．解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴阴影部分的面积＝＝2π．
故选：A．
16．解：∵CD⊥OA，CE⊥OB，
∴∠CDO＝∠CEO＝∠AOB＝90°，
∴四边形CDOE是矩形，
连接OC，
∵点C是的中点，
∴∠AOC＝∠BOC，
∵OC＝OC，
∴△COD≌△COE（AAS），
∴OD＝OE，
∴矩形CDOE是正方形，
∵OC＝OA＝，
∴OE＝1，
∴图中阴影部分的面积＝﹣1×1＝﹣1，
故选：B．
17．解：∵在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝60°，AC＝2，
∴AB＝2AC＝4，∠ABC＝30°，
过D作DH⊥AB′于H，
∵将△ABC绕点A顺时针旋转45°，得到△AB'C'，
∴AB′＝AB＝4，∠AB′C′＝∠ABC＝30°，∠BAB′＝45°，AC′＝AC＝2，
设DH＝AH＝x，
∴B′H＝DH＝x，
∴AH+B′H＝x+x＝AB′＝4，
∴x＝2（﹣1），
∴B′D＝2DH＝4（﹣1），
∴图中阴影部分的面积＝S扇形BAB′﹣S△ADB′＝﹣＝2π﹣4（﹣1），
故答案为：2π﹣4（﹣1）．
18．解：如图连接BE，EF．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠A+∠ABC＝180°，
∵∠A＝60°，
∴∠ABC＝120°，
∵AE＝AB，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠ABE＝∠EBF＝60°，
∵BE＝BF，
∴△EBF是等边三角形，
∵S阴＝S△BEF＝×42＝4，
故答案为4．
19．（1）证明：∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAB，
∵OB⊥CB，AD⊥BC，
∴OB∥AD，
∴∠OBA＝∠DAB，
∴∠OAB＝∠DAB，
∴AB平分∠OAD；
（2）①∵∠AOB＝100°，⊙O的半径为6cm，
∴扇形AOB的面积为：≈31（cm2），
故答案为：31；
②当点E在优弧AB上时，
∵∠AOB＝100°，
∴∠AEB＝50°，
当点E在劣弧AB上时，
∠AEB＝180°﹣50°＝130°，
故答案为：50或130．
20．解：（1）∵∠OBA′＝45°，O′P＝O′B，
∴△O′PB是等腰直角三角形，
∴PB＝BO，
∴AP＝AB﹣BP＝20﹣10；
（2）阴影部分面积为：
S阴影＝S扇形O′A′P+S△O′PB＝×π×100+10×10×＝25π+50．
一．弧长的计算
1．如图，圆上有A、B、C、D四点，其中∠BAD＝80°，若弧ABC、弧ADC的长度分别为7π、11π，则弧BAD的长度是（ ）
A．4π B．8π C．10π D．15π
2．下列说法正确的是（ ）
A．的倒数是 B．计算弧长的公式是
C．1是最小的自然数 D．1的因数只有1个
3．在平面直角坐标系中，若干个半径为1个单位长度，圆心角为60°的扇形组成一条连续的曲线，点P从原点O出发，向右沿这条曲线做上下起伏运动（如图），点P在直线上运动的速度为每秒1个单位长度．点P在弧线上运动的速度为每秒个单位长度，则2019秒时，点P的坐标是（ ）
A．（，） B．（，﹣）
C．（2019，） D．（2019，﹣）
4．如图，在⊙O中，弦BC＝1，点A是圆上一点，且∠BAC＝30°，则劣弧的长是（ ）
A．π B． C． D．
5．如果一个扇形的半径是2，弧长是，则此扇形的圆心角的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
6．已知150°的圆心角所对的弧长为5π，则这条弧所在圆的半径为 ．
7．如图，⊙O的弦AB＝，直径CD为2，AB⊥CD于E，则的长为 （结果保留π）．
8．如图，矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝2cm，则图中的阴影部分的周长为 cm．
9．如图，AB是⊙O的直径，点C、D均在⊙O上，∠ACD＝30°，弦AD＝4cm．
（1）求⊙O的直径．
（2）求的长．
10．如图，点P的坐标为（1，3），把点P绕坐标原点O逆时针旋转90°后得到点Q．
（1）求点P经过的弧长；（结果保留π）
（2）写出点Q的坐标是 ．
11．如图，的半径OA＝2，OC⊥AB于点C，∠AOC＝60°．
（1）求弦AB的长．
（2）求的长．
二．扇形面积的计算
12．已知扇形OAB的圆心O是坐标原点，点A的坐标是（3，4），点B的坐标是（﹣4，3），那么扇形OAB的面积是（ ）
A．25π B．π C．16π D．π
13．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于O，以B为圆心、BC长为半径画弧，交AB于点F，若点O恰好在圆弧上，且AB＝6，则阴影部分的面积为（ ）
A．18﹣6π B．54﹣18π C．36﹣6π D．27﹣9π
14．中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花．图①中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到AC＝BD＝12cm，C，D两点之间的距离为4cm，圆心角为60°，则图中摆盘的面积是（ ）
A．80πcm2 B．40πcm2 C．24πcm2 D．2πcm2
15．如图，⊙A，⊙B，⊙C的半径都是2cm，则图中三个扇形（即阴影部分）面积之和是（ ）
A．2π B．π C． D．6π
16．如图，在扇形OAB中，已知∠AOB＝90°，OA＝，过的中点C作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D、E，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．π﹣1 B．﹣1 C．π﹣ D．﹣
17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝60°，AC＝2，将△ABC绕点A顺时针旋转45°，得到△AB'C'，B'C'与AB相交于点D，则图中阴影部分的面积为 ．
18．如图，平行四边形ABCD中，∠A＝60°，CD＝4，以点A为圆心，AB的长为半径画弧交AD边于点E，以点B为圆心，BE的长为半径画弧交BC边于点F，则阴影部分的面积为 ．
19．如图，AB是⊙O的弦，直线BC与⊙O相切于点B，AD⊥BC，垂足为D，连接OA，OB．
（1）求证：AB平分∠OAD；
（2）当∠AOB＝100°，⊙O的半径为6cm时．
①直接写出扇形AOB的面积约为 cm2（结果精确到1cm2）；
②点E是⊙O上一动点（点E不与点A、点B重合），连接AE，BE，请直接写出∠AEB＝ °．
20．如图，半圆O的直径AB＝20，将半圆O绕点B顺时针旋转45°得到半圆O′，与AB交于点P．
（1）求AP的长；
（2）求图中阴影部分的面积（结果保留π）．
参考答案
一．弧长的计算
1．解：∵、的长度分别为7π，11π，
∴圆的周长为18π，
∵∠A＝80°，
∴∠C＝180°﹣80°＝100°，
故＝×18π＝10π．
故选：C．
2．解：A，1的倒数是，所以1的倒数是是错误的．
B，因为弧长公式：I＝，所以计算弧长的公式是是错误的．
C，因为最小的自然数是0，所以所以1是最小的自然数，说法错误．
D，一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身．1的因数只有1．说法正确．
故选：D．
3．解：设第n秒运动到Pn（n为自然数）点，
观察，发现规律：P1（，），P2（1，0），P3（，﹣），P4（2，0），P5（，），…，
∴P4n+1（，），P4n+2（n+1，0），P4n+3（，﹣），P4n+4（2n+2，0）．
∵2019＝4×504+3，
∴P2019为（，﹣），
故选：B．
4．解：连接OB，OC．
∵∠BOC＝2∠BAC＝60°，
∵OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB＝OC＝BC＝1，
∴劣弧的长＝＝，
故选：B．
5．解：∵扇形的弧长为，半径为2，
∴＝，
解得：n＝45°．
故选：B．
6．解：设这条弧所在圆的半径为R，
由题意得，＝5π，
解得，R＝6，
故答案为：6．
7．解：连接OB，
∵AB＝，CD是⊙O的直径，
∴BE＝AB＝，
∵OB＝CD＝1，
∴sin∠DOB＝＝，
∴∠DOB＝60°，
∴∠BOC＝120°，
∴的长为＝π，
故答案为：π．
8．解：由图可知，
阴影部分的周长是：（3﹣2）+（3﹣2）＝+2＝（+2）cm，
故答案为：（+2）．
9．解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°．
∵同弧所对的圆周角相等，
∴∠ABD＝∠ACD＝30°．
∵AD＝4，
∴AB＝8．
∴⊙O的直径为8cm．
（2）连接OD，则∠AOD＝2∠ACD＝60°．
∴的长为．
10．解：（1）如图，过P作PA⊥x轴于A，
∵P（1，3），
∴，
∴点P经过的弧长为；
（2）把点P绕坐标原点O逆时针旋转90°后得到点Q，过点P作x轴的垂线，垂足是B，
∴OQ＝PO，∠POQ＝90°，
∴∠POA+∠QOB＝90°，∠QOB＝∠OPA，△QOB≌△OPA（AAS），
∴OB＝PA＝3，BQ＝AO＝1，
则点Q的坐标是（﹣3，1）．
故答案是：（﹣3，1）．
11．解：（1）∵的半径OA＝2，OC⊥AB于点C，∠AOC＝60°，
∴AC＝OA sin60°＝2×＝，
∴AB＝2AC＝2；
（2）∵OC⊥AB，∠AOC＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∵OA＝2，
∴的长是：＝．
二．扇形面积的计算
12．解：∵点A的坐标是（3，4），点B的坐标是（﹣4，3），
∴∠AOB＝90°，OA＝OB＝＝5，
∴扇形OAB的面积＝＝π，
故选：D．
13．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝6，∠DCB＝90°，AC＝BD，OC＝AC，OB＝BD，
∴OB＝OC，
∵BC＝OB，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠CBO＝60°，BC＝BO，
即AC＝2BC，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB2+BC2＝AC2，
（6）2+BC2＝（2BC）2，
解得：BC＝6，
∴阴影部分的面积＝S△BCD﹣S扇形BOC＝﹣＝18﹣6π，
故选：A．
14．解：如图，连接CD．
∵OC＝OD，∠O＝60°，
∴△COD是等边三角形，
∴OC＝OD＝CD＝4cm，
∴S阴＝S扇形OAB﹣S扇形OCD＝﹣＝40π（cm2），
故选：B．
15．解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴阴影部分的面积＝＝2π．
故选：A．
16．解：∵CD⊥OA，CE⊥OB，
∴∠CDO＝∠CEO＝∠AOB＝90°，
∴四边形CDOE是矩形，
连接OC，
∵点C是的中点，
∴∠AOC＝∠BOC，
∵OC＝OC，
∴△COD≌△COE（AAS），
∴OD＝OE，
∴矩形CDOE是正方形，
∵OC＝OA＝，
∴OE＝1，
∴图中阴影部分的面积＝﹣1×1＝﹣1，
故选：B．
17．解：∵在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝60°，AC＝2，
∴AB＝2AC＝4，∠ABC＝30°，
过D作DH⊥AB′于H，
∵将△ABC绕点A顺时针旋转45°，得到△AB'C'，
∴AB′＝AB＝4，∠AB′C′＝∠ABC＝30°，∠BAB′＝45°，AC′＝AC＝2，
设DH＝AH＝x，
∴B′H＝DH＝x，
∴AH+B′H＝x+x＝AB′＝4，
∴x＝2（﹣1），
∴B′D＝2DH＝4（﹣1），
∴图中阴影部分的面积＝S扇形BAB′﹣S△ADB′＝﹣＝2π﹣4（﹣1），
故答案为：2π﹣4（﹣1）．
18．解：如图连接BE，EF．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠A+∠ABC＝180°，
∵∠A＝60°，
∴∠ABC＝120°，
∵AE＝AB，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠ABE＝∠EBF＝60°，
∵BE＝BF，
∴△EBF是等边三角形，
∵S阴＝S△BEF＝×42＝4，
故答案为4．
19．（1）证明：∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAB，
∵OB⊥CB，AD⊥BC，
∴OB∥AD，
∴∠OBA＝∠DAB，
∴∠OAB＝∠DAB，
∴AB平分∠OAD；
（2）①∵∠AOB＝100°，⊙O的半径为6cm，
∴扇形AOB的面积为：≈31（cm2），
故答案为：31；
②当点E在优弧AB上时，
∵∠AOB＝100°，
∴∠AEB＝50°，
当点E在劣弧AB上时，
∠AEB＝180°﹣50°＝130°，
故答案为：50或130．
20．解：（1）∵∠OBA′＝45°，O′P＝O′B，
∴△O′PB是等腰直角三角形，
∴PB＝BO，
∴AP＝AB﹣BP＝20﹣10；
（2）阴影部分面积为：
S阴影＝S扇形O′A′P+S△O′PB＝×π×100+10×10×＝25π+50．