2020-2021学年人教版九年级数学下册27.2相似三角形优生辅导训练（Word版，附答案解析）

2021-2022学年人教版九年级数学下册《27.2相似三角形》优生辅导训练（附答案）
1．如图，E是 ABCD的边BC的延长线上一点，连接AE交CD于F，则图中共有相似三角形（　　）
A．4对 B．3对 C．2对 D．1对
2．如图，Rt△AOB∽Rt△DOC，∠ABO＝30°，∠AOB＝∠COD＝90°，M为OA的中点，OA＝6，将△COD绕点O旋转一周，直线AD，CB交于点P，连接MP，则MP的最小值是（　　）
A．6﹣3 B．6﹣6 C．3 D．
3．两个相似多边形的相似比是2：3，则这两个多边形的周长比是（　　）
A．4：9 B． C．2：5 D．2：3
4．若两个相似三角形的对应中线的比为3：4，则它们对应角平分线的比是（　　）
A．1：16 B．16：9 C．4：3 D．3：4
5．如图，△ABC中，EF∥BC，＝，EF＝3，则BC的值为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．9
6．如图，在△ABC中，AB＝AC＝，BC＝2．现分别任作△ABC的内接矩形P1Q1M1N1，P2Q2M2N2，P3Q3M3N3，设这三个内接矩形的周长分别为c1、c2，c3，则c1+c2+c3的值是（　　）
A．6 B． C．12 D．
7．如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上，增加下列哪些条件，①∠AED＝∠B②＝③＝，使△ADE与△ACB一定相似（　　）
A．①② B．② C．①③ D．①②③
8．如图，在正方形ABCD的外侧作等边△ADE，连接BE交AC于点F，交AD于点H，连接DF并延长交AB于点G，下列结论中，正确的个数是（　　）
①∠CFD＝60°②S△BGF＝S△DHF③△AHE≌△FGB④△EDH∽△EFD．
A．4 B．3 C．2 D．1
9．如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝8m，AB＝10m，点P从B点出发，沿BC方向以2m/s的速度移动，点Q从C出发，沿CA方向以1m/s的速度移动，任意一点先到达终点即停止运动．若P、Q同时分别从B、C出发，经过　 　秒，△CPQ∽△CBA．
10．把一个正多边形的边长放大到原来的3倍，则原图形与新图形的面积比为　 　．
11．如图，已知△ABC是面积为的等边三角形，△ABC∽△ADE，AB＝2AD，∠BAD＝45°，AC与DE相交于点F，则点D到线段AB的距离等于（结果保留根号）　 　．
12．如果两个相似三角形的周长比为4：9，那么它们的面积比是　 　．
13．如图，在 ABCD中，AF、BE分别平分∠DAB、∠ABC，点G是AF、BE的交点，AB＝5，BC＝3，则S△EFG：S△ABG＝　 　．
14．为测量学校旗杆的高度，小明的测量方法如下：如图，将直角三角形硬纸板DEF的斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上．测得DE＝0.5米，EF＝0.25米，目测点D到地面的距离DG＝1.5米，到旗杆的水平距离DC＝20米．按此方法，请计算旗杆的高度为　 　米．
15．在由边长为1的正三角形组成的正六边形网格中画一个与已知△ABC相似但不全等的三角形．
16．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AD＝2，BD＝8，那么CD＝　 　．
17．如图，正方形ABCD中，点F是BC边上一点，连接AF，以AF为对角线作正方形AEFG，边FG与正方形ABCD的对角线AC相交于点H，连接DG．
（1）填空：若∠BAF＝18°，则∠DAG＝　 　°；
（2）证明：△AFC∽△AGD；
（3）若＝，请求出的值．
18．周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D，竖起标杆DE，使得点E与点C、A共线．
已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝8.5m．测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河宽AB．
19．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝8，点D是BC边上的一个动点，点E在AC边上，∠ADE＝∠B．设BD的长为x，CE的长为y．
（1）当D为BC的中点时，求CE的长；
（2）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）如果△ADE为等腰三角形，求x的值．
如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，
（1）图1中共有　 　对相似三角形，写出来分别为　 　（不需证明）；
（2）已知AB＝10，AC＝8，请你求出CD的长；
（3）在（2）的情况下，如果以AB为x轴，CD为y轴，点D为坐标原点O，建立直角坐标系（如图2），若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB运动，点Q出B点出发，以每秒1个单位的速度沿线段BA运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点即刻同时停止运动；设运动时间为t秒，是否存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
21．已知矩形ABCD，长BC＝12cm，宽AB＝8cm，P、Q分别是AB、BC上运动的两点．若P自点A出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动，问经过几秒，以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC相似？
参考答案
1．解：∵ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，DC∥AB
∴△ADF∽△EBA∽△ECF
则图中共有相似三角形有三对，
故选：B．
2．解：取AB的中点S，连接MS、PS，
则PS﹣MS≤PM≤MS+PS，
∵∠AOB＝90°，OA＝6，∠ABO＝30°，
∴AB＝2OA＝12，OB＝6
∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠COB＝∠DOA，
∵△AOB∽△DOC，
∴＝，
∴△COB∽△DOA，
∴∠OBC＝∠OAD，
∵∠OBC+∠PBO＝180°，
∴∠OAD+∠PBO＝180°，∠AOB+∠APB＝180°，
∴∠APB＝∠AOB＝90°，又S是AB的中点，
∴PS＝AB＝6，
∵M为OA的中点，S是AB的中点，
∴MS＝OB＝3，
∴MP的最小值为6﹣3，
故选：A．
3．解：∵两个相似多边形的相似比是2：3，
∴这两个多边形的周长为2：3．
故选：D．
4．解：∵两个相似三角形对应中线的比是3：4，
∴这两个相似三角形的相似比是3：4，
那么它们的对应角平分线的比为3：4，
故选：D．
5．解：∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴＝，
∵＝，
∴＝，
∵EF＝3．
∴BC＝9，
故选：D．
6．解：过点A作AD⊥BC于D，
∵AB＝AC＝，BC＝2，
∴BD＝CD＝BC＝1，∠B＝∠C，
∴AD＝＝2，
∵四边形P1Q1M1N1是矩形，
∴P1Q1＝M1N1，N1P1＝M1Q1，N1P1⊥BC，
∴N1P1∥AD，
∴△BN1P1∽△BAD，
∴BP1：BD＝N1P1：AD，
∴N1P1＝2BP1，
在△BP1N1和△CQ1M1中，
∵，
∴△BP1N1≌△CQ1M1（AAS），
∴BP1＝CQ1，
∴c1＝N1P1+P1Q1+M1Q1+M1N1＝2BP1+2P1Q1+2BP1＝2（BP1+P1Q1+BP1）＝2（BP1+P1Q1+CQ1）＝2BC＝2×2＝4，
同理：c2＝c3＝c1＝4．
∴c1+c2+c3＝12．
故选：C．
7．解：∵∠A＝∠A，∠AED＝∠B，
∴△AED∽△ABC，故①正确，
∵∠A＝∠A，＝，
∴△AED∽△ABC，故③正确，
由②无法判定△ADE与△ACB相似，
故选：C．
8．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝BC＝CD，∠BAD＝90°，∠BCF＝∠DCF＝∠BAC＝45°，
∵△ADE是等边三角形，
∴AE＝AD＝DE＝AB，∠DAE＝60°，
∴∠BAE＝150°，∵AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB＝15°，
∴∠CFB＝∠FBA+∠BAF＝60°，
在△FCB和△FCD中，
，
∴△FCB≌△FCD，
∴∠CFD＝∠CFB＝60°．故①正确，
同理可证△AFB≌△AFD，△AFG≌△AFH，
∴S△AFB＝S△AFD，S△AFG＝S△AFH，
∴S△BFG＝S△DFH，故②正确，
在△BFG中的最长边BF，△AHE中的最长边为AE，显然BF＜AE，
∴△AHE与△FGB 不全等，故③错误，
∵∠AFE＝∠BFC＝∠CFD＝60°，
∴∠DFE＝60°＝∠EDH，∵∠DEH＝∠FED，
∴△EDH∽△EFD，故④正确．
故选：B．
9．解：设经过t秒时，△CPQ∽△CBA，
∵如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝8m，AB＝10m，
∴由勾股定理求得：AC＝＝＝6（m）．
∵△CPQ∽△CBA，
∴CP：CB＝CQ：CA，即（8﹣2t）：8＝t：6．
∴t＝2.4．
故答案是：2.4．
10．解：把一个正多边形的边长放大到原来的3倍，
则原图形与新图形的相似比为1：3，
∴原图形与新图形的面积比为1：9，
故答案为：1：9．
11．解：∵△ABC∽△ADE，AB＝2AD，
∴＝（）2＝4，
∵S△ABC＝，
∴S△ADE＝，
∵△ABC是等边三角形，△ABC∽△ADE，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD2＝，
∴AD＝1．
如图，过点D作DH⊥AB于H．
在△ADH中，∵∠HAD＝45°，
∴DH＝AD sin∠HAD＝1×＝．
故答案为．
12．解：∵两个相似三角形的周长比为4：9，
∴两个相似三角形的相似比为4：9，
∴两个相似三角形的面积比为16：81，
故答案为：16：81．
13．解：
∵BE分别平分ABC
∴∠ABE＝∠EBC
∵在 ABCD中，DC∥AB
∴∠ABE＝∠EBC＝∠BEC
∴CE＝BC＝3
同理可得∠DAF＝∠DFA，AD＝DF＝3
∵在 ABCD中，AB＝DC＝5
∴EF＝1
∵在△EFG和△ABG中，
∴△EFG∽△ABG
∴＝＝
故答案为：1：25
14．解：由题意得：∠DEF＝∠DCA＝90°，∠EDF＝∠CDA，
∴△DEF∽△DCA，
则＝，即＝，
解得：AC＝10，
故AB＝AC+BC＝10+1.5＝11.5（米），
即旗杆的高度为11.5米；
故答案为：11.5．
15．解：如图所示，△A′BC即为所求．
16．解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴CD2＝AD BD＝16，
则CD＝4，
故答案为：4．
17．解：（1）∵四边形ABCD，AEFG是正方形，
∴∠BAC＝∠GAF＝45°，
∴∠BAF+∠FAC＝∠FAC+∠GAC＝45°，
∴∠HAG＝∠BAF＝18°，
∵∠DAG+∠GAH＝∠DAC＝45°，
∴∠DAG＝45°﹣18°＝27°，
故答案为：27．
（2）∵四边形ABCD，AEFG是正方形，
∴＝，＝，
∴＝，
∵∠DAG+∠GAC＝∠FAC+∠GAC＝45°，
∴∠DAG＝∠CAF，
∴△AFC∽△AGD；
（3）∵＝，
设BF＝k，CF＝2k，则AB＝BC＝3k，
∴AF＝＝＝k，AC＝AB＝3k，
∵四边形ABCD，AEFG是正方形，
∴∠AFH＝∠ACF，∠FAH＝∠CAF，
∴△AFH∽△ACF，
∴＝，
∴＝＝．
18．解：∵BC∥DE，
∴△ABC∽△ADE，
∴＝，
∴＝，
∴AB＝17（m），
经检验：AB＝17是分式方程的解，
答：河宽AB的长为17米．
19．解：（1）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠ADC＝∠ADE+∠CDE＝∠B+∠BAD，
而∠ADE＝∠B，
∴∠BAD＝∠CDE，
∴△ABD∽△DCE，
∴＝，＝，
∴y＝﹣x2+x，
当x＝4时，y＝﹣×16+×4＝，
即当D为BC的中点时，CE的长为；
（2）由（1）得y关于x的函数关系式为y＝﹣x2+x（0≤x＜8）；
（3）∵∠AED＞∠C，
而∠B＝∠ADE＝∠C，
∴∠AED＞∠ADE，
∴AE＜AD，
当DA＝DE时，
∵△ABD∽△DCE，
∴＝，即＝1，
∴x＝y，
∴﹣x2+x＝x，解得x1＝0，x2＝2，
当EA＝ED时，则∠EAD＝∠ADE，
而∠ADE＝∠C，
∴∠EAD＝∠C，
∴△DAC∽△ABC，
∴＝，即＝，
∴x＝，
综上所述，当△ADE为等腰三角形，x的值为0或2或．
20．解：（1）图1中共有3对相似三角形，分别为：△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD．
故答案为3，△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD；
（2）如图1，在△ABC中，∵∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，
∴BC＝＝6．
∵△ABC的面积＝AB CD＝AC BC，
∴CD＝＝＝4.8；
（3）存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，理由如下：
在△BOC中，∵∠COB＝90°，BC＝6，OC＝4.8，
∴OB＝＝3.6．
分两种情况：
①当∠BQP＝90°时，如图2①，此时△PQB∽△ACB，
∴＝，
∴＝，
解得t＝2.25，即BQ＝CP＝2.25，
∴BP＝BC﹣CP＝6﹣2.25＝3.75．
在△BPQ中，由勾股定理，得PQ＝＝＝3，
∴点P的坐标为（1.35，3）；
②当∠BPQ＝90°时，如图2②，此时△QPB∽△ACB，
∴＝，
∴＝，
解得t＝3.75，即BQ＝CP＝3.75，BP＝BC﹣CP＝6﹣3.75＝2.25．
过点P作PE⊥x轴于点E．
∵△QPB∽△ACB，
∴＝，即＝，
∴PE＝1.8．
在△BPE中，BE＝＝＝1.35，
∴OE＝OB﹣BE＝3.6﹣1.35＝2.25，
∴点P的坐标为（2.25，1.8）．
综上可得，点P的坐标为（1.35，3）或（2.25，1.8）．
21．解：设经x秒后，△PBQ∽△BCD，
由于∠PBQ＝∠BCD＝90°，
（1）当∠1＝∠2时，有：，
即；
（2）当∠1＝∠3时，有：，
即，
∴经过秒或2秒，△PBQ∽△BCD．