北师大版高中数学必修2《圆与圆的方程》复习课件(共40张PPT)

(共40张PPT)
圆与圆的方程
　　1.圆心为点C(8，-3)，且过点A(5，1)的圆的标准方程为（　 ）
　　A.(x+8)2+(y-3)2=5　　B.(x-8)2+(y+3)2=5
　　C.(x+8)2+(y-3)2=25　 D.(x-8)2+(y+3)2=25
　　 　　半径
　　所以所求的圆的标准方程为(x-8)2+(y+3)2
=25.选D.
D
2.方程y=　　　　对应的曲线是（　 ）
　　　原曲线方程可化为x2+y2=4（y≤0），表示下半圆,选A.
A
3.半径为5且圆心在y轴上的圆与x轴相切，则圆的方程为（ 　）
A.x2+y2+10y=0
B.x2+y2+10y=0或x2+y2-10y=0
C.x2+y2-10y=0
D.x2+y2+10x=0或x2+y2-10x=0
B
　　　设圆心为（0，b），由题意，则圆的方程为x2+（y-b）2=b2.
因为半径为5.所以 =5,b=±5.
故圆的方程为x2+y2+10y=0或x2+y2-10y=0.选B.
　 易错点：圆心的位置可能在y轴上半轴或下半轴.
4.已知圆C1：(x+1)2+(y-1)2=1，圆C2与圆C1关于直线x-y-1=0对称，则圆C2的方程为　　　　　　　　.
　　设圆C2的圆心为（a，b），则依题意，
　
　
对称圆的半径不变，为1，故填(x-2)2+（y+2）2=1.
(x-2)2+(y+2)2=1
有
，解得：
a=2
b=-2.
　　5.若圆x2+y2+（a2-1）x+2ay-a=0关于直线x-y+1=0对称，则实数a=　　.
　　　　　依题意直线x-y+1=0，过已知圆的
圆心　　　　　　所以
　　解得a=3或a=-1，当a=-1时，方程x2+y2+（a2-1）x+2ay-a=0不能表示圆，所以只能取a=3.填3.
　 　　易错点：方程x2+y2+Dx+Ey+F=0仅在D2+E2-4F＞0时才表示圆，因此需检验不等式是否成立.
3
1.圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆，定点叫做圆心，定长叫做圆的半径.
2.圆的方程
（1）标准方程：以（a,b）为圆心，r（r>0）为半径的圆的标准方程为（x-a）2+（y-b）2=r2.
（2）一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0.
当D2+E2-4F>0时，表示圆的一般方程，其圆心的坐标为　　　　　　半径
当D2+E2-4F=0时，只表示一个点（-D2,-E2）；
当D2+E2-4F<0时，不表示任何图形.
3.点与圆的位置关系
圆的标准方程为（x-a）2+（y-b）2=r2，圆心C（a,b），半径r，
若点M（x0,y0）在圆C上，则（x0-a）2+（y0-b）2=r2;
若点M（x0,y0）在圆C外，则（x0-a）2+（y0-b）2>r2;
若点M（x0,y0）在圆C内，则（x0-a）2+（y0-b）24.对称问题
圆（x-a）2+（y-b）2=r2关于直线x=0的对称圆的方程为（x+a）2+（y-b）2=r2;关于直线y=0的对称圆的方程为（x-a）2+（y+b）2=r2；关于直线y=x的对称圆的方程为（x-b）2+（y-a）2=r2；关于直线y=-x的对称圆的方程为（x+b）2+（y+a）2=r2.
5.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧.若AB为圆O的弦，圆心O到弦AB的距离为d，圆半径为r,则
　 重点突破：圆的方程
　　（Ⅰ）求过两点A（1,4）,B（3,2）,且圆心在直线y=0上的圆的标准方程，并判断点P（2,4）与圆的位置关系.
（Ⅱ）求过A（4,1），B（6，-3）C（-3,0）三点的圆的方程，并求这个圆半径长和圆心C坐标.
　 　（Ⅰ）欲求圆的标准方程，只需求出圆心坐标和圆的半径，而要判断点P与圆的位置关系，只需看点P与圆心的距离和圆的半径的大小关系.（Ⅱ）设出圆的方程，解方程组即可.
　　　（Ⅰ）解法1：（待定系数法）设圆的标准方程为（x-a）2+（y-b）2=r2，
因为圆心在y=0上,故b=0，
所以圆的方程为（x-a）2+y2=r2
又因为该圆过A（1,4）,B（3,2）两点,则　
（1-a）2+16=r2
（3-a）2+4=r2
，解得a=-1，r2=20.
解法2：（直接求出圆心坐标和半径）因为圆过A（1,4）,B（3,2）两点，
所以圆心必在线段AB的中垂线l上,又因为kAB=　　　=-1,故l的斜率为1,
又AB的中点为（2，3）,故线段AB的中垂线l的方程为x-y+1=0.
又知圆心在直线y=0上,故圆心为C(-1，0)，
所以半径 　　　　　　　　　　 故所求圆的方程为(x+1)2+y2=20.
又点P(2,4)到圆心(-1，0)的距离为
所以点P在圆外.
(Ⅱ)设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，
因为三点A(4,1)，B(6，-3)，C(-3,0)都在圆上，
所以它们的坐标都是方程的解，将它们的坐标代入方程得，
42+12+4D+E+F=0
62+(-3)2+6D-3E+F=0
(-3)2+02-3D+0·E+F=0
，解得
D=-2
E=6
F=-15.
所以圆的方程为x2+y2-2x+6y-15=0，
即（x-1）2+（y+3）2=25，
所以圆心坐标为（1，-3），半径为r=5.
　　　“待定系数法”是求圆的方程的常用方法.一般的，在选用圆的方程形式时，若问题涉及圆心和半径，则选用标准方程比较简便，否则选用一般方程方便些.
　　　　　　根据下列条件求圆的方程.
（Ⅰ）圆过P（4,-2）,Q（-1,3）两点，且在y轴上截得的线段长为4 　.
（Ⅱ）已知圆的半径为　 ，圆心在直线y=2x上，圆被直线x-y=0截得的弦长为4 .
(Ⅰ)设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0. ①
　　　　　　　　　　　 4D-2E+F=-20
　　　　　　　　　　　　D-3E-F=10，
令x=0,由①得y2+Ey+F=0. ②
由已知 　其中y1,y2是方程②的两根，
(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=E2-4F=48，
联立方程解得D=-2,E=0,F=-12或D=-10,E=-8,F=4，
故所求的圆的方程为x2+y2-2x-12=0或x2+y2-10x-8y+4=0.
将P,Q点的坐标代入①式得
(Ⅱ)解法1：设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=10，
由圆心在直线y=2x上，得b=2a， ①
由圆在直线x-y=0截得的弦长为4 ，
将y=x代入(x-a)2+(y-b)2=10.
整理得2x2-2(a+b)x+a2+b2-10=0.
由弦长公式得
化简得a-b=±2. ②
解①②得a=2,b=4或a=-2,b=-4,
所以所求圆方程为(x-2)2+(y-4)2=10或(x+2)2+(y+4)2=10.
解法2：根据图形的几何性质：半径，弦长的一半，弦心距构成直角三角形，由勾股定理，
可得弦心距
因为弦心距等于圆心（a,b）到直线x-y=0的距离，
所以 又已知b=2a，
解得a=2,b=4或a=-2,b=-4.
所以所求圆方程为（x-2）2+（y-4）2=10或（x+2）2+（y+4）2=10.
　　重点突破：与圆有关的最值问题
　　已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0
（Ⅰ）求y-x的最大值和最小值,
（Ⅱ）求x2+y2的最大值和最小值.
　　　　根据代数式的几何意义，借助于平面几何知识，数形结合求解.
　 方程x2+y2-4x+1=0变形为(x-2)2+y2=3，所表示的图形是圆.
(Ⅰ)y-x看作是直线y=x+b在y轴上的截距，当直线y=x+b与圆相切时，
纵截距b取得最大值和最小值，此时
解得b=-2± ,
所以y-x的最大值为-2+ ，最小值为-2- .
（Ⅱ）x2+y2表示圆上一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线和圆的两个交点处取得最大值和最小值.
又圆心到原点的距离为
所以x2+y2的最大值是(2+　)2=7+4　　;最小值是(2-　 )2=7-4 .
　　　涉及与圆有关的最值，可以借助圆的几何性质，依照数形结合思想进行求解；联想过两点的直线的斜率公式，两点间距离公式，过定点的直线系或平行线系等知识的应用.
　　　　　已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0，求　的最大值与最小值.
　　　设　=k，即y=kx，当直线y=kx与圆相切时，斜率k取得最大值和最小值.因为圆心（2,0）到直线y=kx的距离为　，所以
　　　　得k=±　 .
所以
　　重点突破：直线与圆的方程的应用
　　图中是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图，该圆拱跨度AB=20 m，拱高OP=4 m，在建造时每隔4 m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的高度（精确到0.01）.
　　　　　　先建立直角坐标系，只需求出P2的纵坐标，就可得支柱A2P2的高度.
　　　建立如图所示的直角坐标系,设圆心坐标是(0,b),圆的半径是r,则圆的方程是x2+(y-b)2=r2，下面确定b和r的值.
　　因为P，B都在圆上，所以它们的坐标(0,4),(10,0)都满足方程x2+(y-b)2=r2，
　　　　　　　　　　02+(4-b)2=r2
　　　　　　　　　　102+(0-b)2=r2，
　　解得：b=-10.5,r2=14.52.
于是得到方程组
所以圆的方程为x2+（y+10.5）2=14.52
把点P2的横坐标x=-2代入圆的方程，
得（-2）2+（y+10.5）2=14.52.
因为y>0,
所以 　　　　 -10.5≈14.36-10.5=3.86 m
答：支柱A2P2的长度约为3.86 m.
　　　直线与圆的方程在实际生活以及平面几何中有着广泛的应用，用坐标方法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆，将几何问题转化为代数问题；然后通过代数运算解决代数问题；最后解释代数运算的结果的几何含义，得到几何问题的结论.
　　　　　一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心O位于轮船A正西70 km处，受影响的范围是半径为30 km的圆形区域.已知港口B位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？
　　　　　以台风中心为原点O，东西方向为x轴，建立如图所示的直角坐标系，其中，取10 km为单位长度.则受台风影响的圆形区域对
应的圆心为O的圆的方程为x2+y2=9；轮船航线所在直线l的方程为4x+7y-28=0；因为圆心O
到直线的距离　　　　　 所以这艘轮船不改
变航线，不会受到台风的影响.
　　已知圆x2+y2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P，Q两点，且OP⊥OQ（O为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径.
　　　利用OP⊥OQ得到O点在以PQ为直径的圆上，在利用勾股定理求解.
　　　设已知圆的圆心为C，弦PQ中点为M，
因为CM⊥PQ,所以kCM=2，
所以CM所在直线的方程为
即：y=2x+4.
　　　　　y=2x+4
　　　　　x+2y-3=0,
解得M的坐标为（-1，2）.
由方程组
则以PQ为直径的圆可设为(x+1)2+(y-2)2=r2，
因为OP⊥OQ所以点O在以PQ为直径的圆上.
所以(0+1)2+(0-2)2=r2，即r2=5，MQ2=5.
在Rt△CMQ中，因为CQ2=CM2+MQ2，
所以
所以m=3.所以半径为　，圆心为(-　 ，3).
　　　在解决与圆有关的问题中.借助与圆的几何性质，往往会使得思路简洁明了，简化运算.
1.求圆的方程常用待定系数法，步骤大致是：
①根据题意，选择标准方程或一般方程；
②根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组；
③解出a,b,r或D,E,F代入标准方程或一般方程.
2.研究与圆有关的最值问题时，可借助图形的性质，利用数形结合求解，一般地
①形如　　　　形式的最值问题，可转化为动直线的斜率的最值问题；
②形如t=ax+by形式的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；
③形如v=（x-a）2+（y-b）2形式的最值问题，可转化为动点到定点的最值问题.
3.点与圆的位置关系可利用点与圆心的距离和半径r的大小来判断.
4.圆的问题的解题技巧：处理有关圆的问题，要特别注意圆心半径及平面几何知识的应用，如弦心距，半径，弦长的一半构成的直角三角形经常用到，利用圆的一些特殊几何性质解题，往往使问题简化.
1.（2009·辽宁卷）已知圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为（ 　）
A. (x+1)2+(y-1)2=2 B. (x-1)2+(y+1)2=2
C. (x-1)2+(y-1)2=2 D. (x+1)2+(y+1)2=2
　　圆心在x+y=0上,排除C、D,再结合图象,或者验证A、B中圆心到两直线的距离等于半径 即可.选B.
　　 本小题考查圆的标准方程，直线与圆的位置关系，属于基础题.
B
　　 2.(2009·广东卷)以点(2，-1)为圆心且与直
线x+y=6相切的圆的方程是 .
　　　　　将直线x+y=6化为x+y-6=0,则易知圆
的半径 　　　　　 所以圆的方程为(x-
2)2+(y+1)2= .故填(x-2)2+(y+1)2= .
　　　　　本小题主要考查直线与圆的位置关系，圆的标准方程及点到直线的距离公式.