2021∽2022 学年度第一学期第一学段模块考试 所以 | x 1 | | 2x 4 |，解得1 x 5，故选：D.
7. x由题意可知当 x 2时， 2 a a, 4 a ， x 2时， x2 4，
高一（数学）试卷答案
若要使得 f (x)存在最小值，只需要 a 4，即 a 4 .故选：D.
x
1.因为 A x 0
x 0 x 2 B x 2x 1 ， 1 x x 1 0 x x 1 ，
x 2 8.解：由题意可知[ f (x)]2 (a 1) f (x) a 0即 f (x) a 0或 f (x) 1 0
所以， B x x 1 ，因此， A B (1,2) .故选：C. 画出函数 f（x）的图象，如图示：R R
3 6 3
2.对于 A， a 5 5 a 3 ，A错误；对于 B，当 x 0时， x 4有意义，而 x 2没有意义，B错误；
1 1 2
1 1 1 1 1 1 1 4
对于 C，
5 3 3 3 0 1
a 2a 4a 8 a 2 4 8 a8 ，C错误；对于 D，2x x 2x x 4x 1 2 x，D正确.
故选：D.
3.由题意可设生物组织内原有的碳 14含量为 x，需要经过 n个才能不被测到碳 14， 方程 f (x) 1 0有两个不同的实数根，所以当 [ f (x)]2 (a 1) f (x) a 0有五个实数根时，方程
x 1 1 1 1则 n x，即
n 13
n 4 ,所以 2 10000，2 8192 10000, 2
14 16384 10000，所以 n 14 .
2 10000 2 10 f (x) a 0有三个不同的实数根，即 y＝f（x）和 y＝a的图象有 3个不同的交点，结合图象：0＜a
故选：B． ＜1，故选：A．
4.解：因为 x [ 1,3], x [0, 2] ，使得 f (x )≥ g(x 9.当 a 0时，a
0没有意义，当 a 0时， a0 1，故 A错误；
1 2 1 2 )，所以 f (x)min g(x)min
0 1 3 1 1 1
2 5 1
0
2 2 2 2 1
x 1,3 f ( x ) m,9 m f (x) f (0) m, g(x) 1 1
1 1 1 1 , 2 3 1 ， 1 1故 B正确；
因为 1 ， 1 ， min min ，所以 m ,
1 1 1
2 4 4 2 2 2 5 2
3 3
1 g( x) 2x f (x)，所以 f (x) 2x与 g(x) 2 x关于 y轴对称，故 C错误；
解得m ，故选：C
4
x
x 1 2
x 1 1 y 2x 1 为R 上的增函数， y 2
x 为R 上的减函数，所以函数 f (x) 2x 2 xy f x 0 2 1 是R 上的增函数，5. 的定义域为 0,1 ， 1
，即 ， 2
2x 1
故 D正确.故选：BD.
x 1
，解得： x 1且 x 0， F x f 2x 1 的定义域为 ,0) (0,1 .故选：B.
x 0 10.解：令 x 1 0得 y 2，即函数图象必过定点 (1,2)，所以m 1，n 2，故 A正确；
x 0 x 2
6. f (x)的定义域为 R ,因为 f ( x) 3| x| ( x)2 n 3|x| x2 f (x)，所以 f (x)是偶函数， f x 2x ， ，解得 x 0,1
m 0 2x 2
所以不等式 f (x 1) f (2x 4) 可化为 f (| x 1 |) f (| 2x 4 |) ，
g x f (x) f (2x) 2x 22x，令 t 2x，所以 y t 2 t, t [1, 2]，
因为 y 3x , y x2在 (0, )上均为增函数，所以 f (x)在 (0, )上为增函数，
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1 1 1 1 1
所以 g x 的值域 2,6 .故 C正确，故选：AC. 当0 a 1、 x 1,1 时， t a, ，此时 ymax 2 1，解得 a 或 （舍去）； a a a 2 3
1
x 3
x 1,x 0 x 当 a 1，
x 1,1 时， t ,a ，此时 y a
2 a 1 5 a 2 3
11.解：由题得 f x 3 1 x .所以函数 f x 3 1
max ，解得 或 （舍去）， 的图象如下图所示： a
1 3 ,x 0
1 1
综上所述，实数 a的值为 或 2，故答案为： 或 2 .
2 2
16.令 x1< x2< x3< x4 ，作出 f x 的图象，∴ x1 x4 x2 x3 2， x1 x2 0， x3 x4 4，
2 2
∴ x21 x
2 x2 x2 x2 22 3 4 1 x2 2 x2 2 x2 4x22 8，
∵ x2 0,1 ，∴ x21 x2 2 22 x3 x4 8,12 .故答案为： 4； 8,12 .
函数 f x 3x 1 在（0，+ ）上单调递增，因为 a b c，且 f a f c f b ，
所以 a 0，c 0，b的正负不能确定，1 3a 3c 1,3a 3c 2；
故 A中， a 0， c 0不正确；B中， a 0，c 0正确；C中，b的正负不能确定，故 C不正确；
D中，3a 3c 2，故 D正确.故选：BD 1 1
17.解：(1) f (0) .-----------（2分）
x x 2 2 30 1 2
12. f (x) 3 1 3 1 2 x x 1
2
x ， 3
x 1 1， 2 x 0， 1 1 x 1，3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 x
(2) f (x)
1
f ( x)
1 1 3
当 1 f (x) 0时， [ f (x)] 1；当 0 f (x) 1时， [ f (x)] 0， y [ f (x)]的可能取值为 1,0 由 x ，得 3 x 1 1 x1 1 3 ，-----------（4分）3 1 x 3
故选：BC.
故有 f x f x 1．-----------（6分）
13. f x 2x， f y 2 y， f x y 2x y，满足 f x y f x f y x，且 f x 2 在 R上单调递 (3)由(2)知， f ( 5) f ( 4) f ( 3) f (5) = [ f ( 5) f (5)] [ f ( 4) f (4)] f (0)
增；故答案： f x 2x（答案不唯一）. =5 1 11 ．-----------（10分）.
2 2
14.当 x 0时，函数 f (x) 2x单调递增，则 f (x) f (0) 1，要使 f (x 1) f (2x)， 18.解：（1）由指数幂的运算性质，可得
1 1 1 1
x 1 0 25 2 27
3原式
625 4 4 2 5 3 1 5
x 1 0 4 8
1 3 .-----------（4分）
2x 0 1 x 0 0 x 1 1 x 1. 10000 25须 或 ，解得 或 ，即 故答案为：（ 1,1）. 2 2 2 22x 0
2x x 1
（2）由 2 2x x 1 x x 1 4 9 4 5，所以 x x 1 5 -----------（6分）
15.令 t a x（ a 0、a 1），则 y t2 t 1， x x 1 2 x2 x 2 2 9，所以 x2 x 2 7，-----------（8分）
2
a 0 1 5
2
因为 ，所以 t a x 0 y ，函数 t 是增函数， x3+x 3 x x 1 x2 1 x 22 4 3 6=18 -----------（10分）
高一数学试卷答案第 2 页 共 3 页
5 3
故原式 .-----------（12分） 21.解：（1）当 时， f (x) 4x 3 2 x 3, x [ 1,2] -----------（1分）
16 2
2 3 3 119.解：（1）函数 f (x) 2x m 2 x的定义域为 , ， 设 t 2x，得h(t) t 3t 3 (t )2 , t [ ,4]，2 4 2
∵ f (x)为奇函数，∴ f (x) f ( x) 0对 x R恒成立，-----------（1分） h(t) 3min ，h(t)max 7 -----------（各占 1分），4
即 2x m 2 x 2 x m 2x 0对 x R恒成立，∴m 1 .-----------（2分） 3
所以 f (x)的值域为 ,7 .-----------（4分）
f (x) 3 3
4
此时 2x 2 x (2x )2，即 2x 1 0
，
2 2 2 1
（2） f (x) 4x 2 x 1 3 4x 2 2x 3, x [ 1,2]，设 t 2x，得 g(t) t 2 t 3, t [ ,4] . （5分）
x 1 2
解得2x 2或 2 （舍去）， -----------（3分），2
当
1 1 9
时， g(t)min 3 1，解得 ，不符合舍；-----------（7分）
∴不等式的解集为 (1， )． -----------（4分） 2 4 4
1
x m 当 4时， g(t)
2 3 1
f (x) 4 x x ， 所以 （不符合舍去）或 -----------（9分）（2）由 得 2 m 2 4，即 2 x 4， 2
min 2 2
2
x 1 m 1 当 4时， g(t)min 16 8 3 1，解得
9
x [ 1 2] 2 t , 4 ，不符合舍；-----------（11分）当 ， ，令 ，原问题等价于 t 4对 t [ ，4]恒成立，-----------（6分） 4 2 t 2
1 综上所述，实数 的值为 2． -----------（12分）
即m t 2 4t对 t [ ，4]恒成立，-----------（8分）2
22.解（1）由于 f (x)为奇函数， f (x) f ( x)，当 x 0时， f ( x) 4x 2x 1 3，
g(t) t2令 4t， t [
1
，4]，∵ g (t) [
1
在 ，2]上单调递增，在 [2，4]上单调递减，-----------（10分）
2 2
故 f (x) 4x 2x 1 3 .------------（4分）；
∴ g(t)min g(4) 0，∴m 0．-----------（12分） 1 2
（2）因为 f x 为奇函数，当 x 0， f (x) + -3
f (0) 2b 1 4x 2x
20.解：（1）由题意知： a b 1且 f (x) 2
ax b单调递减，-----------（2分） x2 x1 x2 x1
f (1) 2 0 x x f (x ) f (x )
1 1 2 2 4 4 2(2 2 )
1 2，
2 1 2 4x1 4x2 2x1 2x
2 4x x
，
1 2 2x1 x2
∴ y ax b
1
单调递减，即a 0 2a，由上， ，故a 1 0符合题意，则b 0， 又 x x ，则 2x1 2x1 2 2 ，4x1 4x2 于是得 f (x1) f (x2 2
) 0，即 f (x1) f (x2)，
∴ a 1，b 0 .-----------（6分） 所以 f (x)在[0, )上单调递减；------------（7分）
（2）由（1）知：设未清洗前的农药量为 1， 又因为 f (x)为定义在 R上的奇函数， f (0) 0，所以 f (x)在R上单调递减,------------（8分）
第一种方案： t(t 0)单位量的水清洗 1次，残留农药量为 f (x) 2 t，-----------（8分） 且 f (t 2 2t) f (2t 2 k) 0 的解集非空，可得 f (t2 2t) f (k 2t2 )的解集非空，
t t
第二种方案把水平均分成 2份后清洗 2次，则第 1次残留农药量为 f ( ) 2 2，第 2次残留农药量为 又因为 f x 在 R上单调递减，所以 t2 2t k 2t2的解集非空，------------（10分）
2
t t
f 2( t ) 2 2 2 2 2 t，-----------（10分）， 即 k 3t2 2t在 R上有解，------------（11分）
2
由上知：两种方案残留农药量一样多.-----------（12分） 1 1则满足，解得 k ，所以实数 k的取值范围 ( , ) .------------（12分）
3 3
高一数学试卷答案第 3 页山东省四校2021-2022学年高一上学期期中考试
（数学）试卷
本试卷共2页，22小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，集合，（ ）
A． B． C． D．
2.下列各式正确的为（ ）
A． B． C． D．
3.当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减．按照惯例，人们将每克组织的碳14含量作为一个单位，大约每经过5730年一个单位的碳14衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物组织内的碳14的含量不足死亡前的万分之一时，用一般的放射性探测器就测不到碳14了．如果用一般的放射性探测器不能测到碳14，那么死亡生物组织内的碳14至少经过了（ ）个“半衰期”．（参考数据）
A．15 B．14 C．13 D．12
4.已知， 若对，，，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
6.若函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
7.已知函数，若存在最小值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8.已知函数，若方程有五个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列说法正确的为（ ）
A. B.
C.与关于轴对称 D.函数是上的增函数
10.对任意实数，函数的图象必过定点A，的定义域为，，则下列说法正确的为（ ）
A． B． C．的值域为 D．的值域为
11.已知函数，，且，则（ ）
A．， B．，
C． D．
12.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如：，.已知，则函数的值可能为（ ）
A． B． C． D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
已知函数满足如下条件：①；②函数在上单调递增，满足上述两个条件的一个函数解析式是___________（答案不唯一，写出一个即可）.
14.设函数，则满足的的取值范围是__________.
15.设，且，函数在上的最大值为，则实数的值为_____________.
16.已知函数若方程有四个不相等的实数根，，，，则_____________，的取值范围为_____________.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.已知f(x)＝，
（1）求；
（2）探求的值；
（3）利用（2）的结论求的值．
18.（1）计算：；
（2）已知，求的值.
19.已知函数．
（1）若为奇函数，求的值和此时不等式的解集；
（2）若不等式对恒成立，求的取值范围．
20.用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的，用越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上.设用单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数，假定函数，、为实数，的定义域为，值域为.
（1）求、的值；
（2）现有单位量的水，可以清洗1次，也可以把水平均分成2份后清洗2次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？说明理由.
已知函数，
（1）若，求的值域；
（2）若函数的最小值为，求的值.
22.已知定义在上的奇函数，当时，.
（1）当时，求函数的解析式；
（2）若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围.
高一数学试卷
