天津市河北区2021-2022学年高二上学期中质量检测数学试题（Word版含答案）

河北区2021-2022学年度第一学期中高二年级质量检测
数学
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．直线x﹣2y＋1＝0的一个方向向量是（　　）
A．（1，﹣2） B．（1，2） C．（2，﹣1） D．（2，1）
2．已知圆的方程为x2＋y2﹣2x＋6y＋1＝0，那么圆心坐标和半径分别为（　　）
A．（﹣1，﹣3），9 B．（1，﹣3），3 C．（﹣1，3），3 D．（1，3），9
3．如图所示，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，若，则下列向量中与相等的向量是（　　）
A． B． C． D．
4．空间两点A，B的坐标分别为（a，b，c），（﹣a，﹣b，c），则A，B两点的位置关系是（　　）
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于z轴对称 D．关于原点对称
5．△ABC的三个顶点是A（4，0），B（6，7），C（0，3），则边BC上的高所在直线的方程为（　　）
A．5x＋y﹣20＝0 B．3x＋2y﹣12＝0 C．3x＋2y﹣19＝0 D．3x﹣2y﹣12＝0
6．已知两条直线l1：x＋2y﹣4＝0，l2：2x＋4y＋7＝0，则直线l1与直线l2间的距离为（　　）
A． B． C． D．
7．直线y＝x与圆x2＋（y＋3）2＝4的位置关系是（　　）
A．相离 B．相切
C．相交且直线过圆心 D．相交但直线不过圆心
8．已知直线l1：ax＋2y＝0与直线l2：x＋（a＋1）y＋4＝0平行，则实数a的值为（　　）
A．a＝﹣2 B．a＝1 C．a＝﹣2或a＝1 D．不存在
9．下列四个命题中，正确命题的个数是（　　）
①若是空间的一个基底，则对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得；
②若两条不同直线l，m的方向向量分别是，则l∥m ；
③若是空间的一个基底，且，则A，B，C，D四点共面；
④若两个不同平面α，β的法向量分别是，且，则α∥β．
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，PA＝AB＝2，以B为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，设平面PAB和平面PBC的一个法向量分别为，则下列结论中正确的是（　　）
A．点P的坐标为（0，0，2） B．
C． D．
二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分．答案填在题中横线上．
11．直线x﹣y＋1＝0的倾斜角为　 　．
12．在长方体OABC﹣O1A1B1C1中，OA＝2，OC＝2，OO1＝1，以O为原点，OA，OC，OO1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则点B1的坐标为 　 　．
13．直线l：3x﹣y﹣6＝0被圆C：（x﹣1）2＋（y﹣2）2＝5截得的弦AB的长是　 　．
14．已知空间向量＝（1，0，1），＝（1，1，2），则 的值为 　 　，向量，的夹角为 　 　．
15．希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ（λ≠1）的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，A（﹣2，0），B（4，0），点P满足，则点P所构成的曲线C的方程为 　 　．
三、解答题：本大题共4个小题，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步
16．（8分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，且AB＝2AD＝2，PA＝2，∠PAB＝∠PAD＝60°．
（Ⅰ）求PC的长；
（Ⅱ）求异面直线PC与BD所成角的余弦值．
17．（10分）已知两圆C1：x2＋y2﹣2x﹣6y﹣1＝0，C2：x2＋y2﹣10x﹣12y＋45＝0．
（1）求证：圆C1和圆C2相交；
（2）求圆C1和圆C2的公共弦所在直线方程和公共弦长．
18．（10分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E为BA1的中点，F为CC1的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面ABCD；
（Ⅱ）求直线EF与平面ABB1A1所成角的正弦值；
（Ⅲ）求点B到平面A1CD的距离．
19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PCD⊥平面ABCD，△PCD是边长为2的等边三角形，底面ABCD是矩形，BC＝2，M为BC的中点．
（Ⅰ）求证：AM⊥PM；
（Ⅱ）求平面AMP与平面AMD的夹角的大小；
（Ⅲ）求点D到平面AMP的距离．
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．D； 2．B； 3．A； 4．C； 5．B； 6．A； 7．A； 8．C； 9．D； 10．D；
二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分．答案填在题中横线上．
11．； 12．（2，2，1）； 13．； 14．3；； 15．（x＋4）2＋y2＝16；
三、解答题：本大题共4个小题，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步
16．解：(I)设
∵AB＝2AD＝2，PA＝2，∠PAB＝∠PAD＝60°，
∵
(II)，且
∴＝
∴异面直线PC与BD所成角的余弦值为
17．证明：（1）圆C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0的圆心C1（1，3），半径，
C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0的圆C2（5，6），半径，|C1C2|＝，
∵4－＜|C1C2|＝5＜4＋，
∴圆C1和圆C2相交．
解：（2）∵两圆C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0，C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0，
∴两圆相减，得圆C1和圆C2的公共弦所在直线方程为：
8x＋6y－46＝0，即4x＋3y－23＝0．
圆心C2（5，6）到直线4x＋3y－23＝0的距离，
∴圆C1和圆C2的公共弦长．
18．证明：
（1）取AB中点为H，
则EH∥FC，又EH＝FC，
所以四边形EHCF为平行四边形，
所以EF∥HC，又EF 平面ABCD，
所以∥平面ABCD，
解：（2）因为EF∥HC，
所以EF与平面ABB1A1所成的角的正弦值与HC与平面ABB1A1所成的角的正弦值相等．又
即EF与平面ABB1A1所成的角的正弦值为．
（3）因为VB A1CD＝VA1 BCD，所以，
解得h＝．
所以点B到平面A1CD的距离为．
19．解：（Ⅰ）证明：取CD的中点O，连接OA，OM，
∵四边形ABCD是矩形，CD＝2，BC＝2，且O，M分别是CD，BC的中点，
∴OD＝OC＝1，CM＝BM＝，AB＝2，AD＝2，
∴，
∴OA2＝OM2＋AM2，
∴AM⊥OM，
∵△PCD是等边三角形，O是CD的中点，
∴PO⊥CD，
又平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，PO 平面PCD，
∴PO⊥平面ABCD，
又AM 平面ABCD，
∴PO⊥AM，
又AM⊥OM，PO∩OM＝O，PO 平面POM，OM 平面POM，
∴AM⊥平面POM，
又PM 平面POM，
∴AM⊥PM；
（Ⅱ）由（1）可知AM⊥平面POM，则AM⊥OM，AM⊥PM，
∴∠PMO为二面角P－AM－D的平面角，
∵△PCD是边长为2的等边三角形，
∴PO＝，
又OM＝，PO⊥平面ABCD，
∴PO⊥OM，
∴△POM为等腰直角三角形，则∠PMO＝，
∴平面AMP与平面AMD的夹角为；
(亚)连接DM，则VP－ADM＝
M⊥PM
设点D到平面PAM的距离为则，即点D到平面APM的距离为
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