第二章 2.4 2.4.2 等比数列的性质

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2.4.2 等比数列的性质
1．掌握等比数列的定义和通项公式．
2．探索发现等比数列的性质，并能应用性质灵活的解决一
些实际问题．
1．等比数列常用的判定方法．
(1)定义法：若________(q 为常数且不为零) {an}为等比数
列．
(2)等比中项法：若____________(n∈N*且 an≠0) {an}为等
比数列．
2．等比数列的性质．
(1) 若三个数成等比数列 ， 一 般设这三个数分别为
____________；
a
q
，a，aq
(2)①若{an} 为等比数列，且 k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)
则__________；
②若{an} 是等比数列，且 m ＋n ＝2k(k ，m ，n∈N*) ，则
____________；
③若{an}为等比数列，公比为 q，则{a2n}也是等比数列，公
比为________；
q2
ak·al＝am·an
比数列．
④若{an}，{bn}是等比数列，则________和________也是等
1．应用等比数列的性质 ak·al＝am·an时应注意什么条件？
{anbn}
答案：必须满足是等比数列且 k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈
N*)．
2．数列{an}是等比数列，那么 λan 也为等比数列吗？
答案：不一定，只有当λ≠0 时该结论才成立．
题型1
等比数列性质
例1：在等比数列{an}中，若 a2＝2，a6＝162，求 a10.
思维突破：可利用通项公式或等比数列的性质来求.
已知a1与q，用a1qn－1可以求出等比数列的任
何一项，但不一定简单．本题两种解法都避开了求a1 与q.直接
利用等比数列的性质求解，使问题更加简单明了．
【变式与拓展】
1．在等比数列 {an}中，若an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25.求
a3＋a5 的值．
解：a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，即a＋2a3a5＋a＝25，
∴(a3＋a5)2＝25.
又an>0，∴a3＋a5＝5.
题型2
等比数列性质的应用
思维突破：利用等比数列性质：在等比数列中，若m＋n
＝k＋l(k，l，m，n∈N*)，则有am·an＝ak·al进行解题．
D
【变式与拓展】
2．在等比数列{an}中，若a2·a8＝36，a3＋a7＝15，则公比
q 值的可能个数为(
)
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
题型3
等差、等比数列性质的综合应用
例3：已知：数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，且
a2＝3,4S2＝S4.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求证：数列{2an}是等比数列；
(3)求使得 Sn＋2>2Sn成立的 n 的集合．
【变式与拓展】
3. (2010 年湖北)已知：在等比数列{an}中，各项都是正数，
C
易错点评：审题不细心．根据a7是a5与a9的等比中项求
出a7 后易忽视对a7 符号的讨论．
1．准确掌握等比数列的通项公式与定义，由此得出的一些
等比数列的性质，掌握推导性质的方法比记忆性质更重要．
2．适当记忆一些性质，利用性质提高解题速度与解题的正
确率．如用等比数列的性质：若 k＋l＝m＋n，则 ak·al＝am·an可
以解决很多相关的问题．
3．等比数列的一些项组成的新的等比数列也经常遇到，要
准确判断用好定义与通项公式．