第二章 2.5 2.5.1 等比数列的前n项和

(共18张PPT)
2.5
2.5.1
等比数列的前 n 项和
等比数列的前 n 项和
1．掌握等比数列{ an}前 n 项和公式．
2．通过等比数列的前 n 项和公式的推导过程，体会错位相
减法以及分类讨论的思想方法．
等比数列{an}的前 n 项和．
等比数列前n项和公式为______________ (q≠1)，当q＝1时，
__________.
练习1：设{an}是公比为正数的等比数列，若 a1＝1，a5＝
16，则数列{an}前 7 项的和为(
)
C
A．63
B．64
C．127
D．128
Sn＝na1
练习2：在等比数列{an}中，a1＝2，前 3 项和 S3＝26，则
公比 q＝(
)
C
A．3
C．3 或－4
B．－4
D．－3 或 4
1．等比数列前 n 项和公式 Sn ＝
a1(1－qn)
1－q
的使用条件是什
么？
答案：公比 q≠1，当 q＝1 时 Sn＝na1，使用等比数列前 n
项和公式应注意公式成立的前提条件．
2．等比数列{an}的前 n 项和的两个公式涉及几个量？至少
知道几个量才能求解其他的几个量？
答案：涉及五个量．已知 a1，an，q，n，Sn中任意三个，
可求其余两个，称为“知三求二”．
题型1
利用方程思想求a1，n，q，an，Sn中有关的量
例1：已知在等比数列{an}中，公比 q＜1.
(2)若 a3＝2，S4＝5S2，求{an}的通项公式．
思维突破：求等比数列前n 项和或已知前n 项和求数列的
通项的思路都是根据已知条件建立方程组求出a1 与q.
1. a1，n，q，an，Sn中知道三个可求另外两个，
需建立方程组求解，此法为“基本量法”．
2．运用等比数列的前n 项和公式要注意公比q＝1 和q≠1
两种情形，在解有关的方程组时，通常用约分或两式相除的方
法进行消元．
【变式与拓展】
题型2
等比数列前n 项和公式的应用
例2：等比数列{an}的各项均为正数，其前 n 项中，数值最
大的一项是 54，若该数列的前 n 项之和为 Sn，且Sn＝80，S2n
＝6 560，求：
(1)前 100 项之和 S100.
(2)通项公式 an.
1.转化为基本量．
2．当解的方程次数较高时，两式相除可降次．
【变式与拓展】
2．在等比数列{an}中，a1a3＝36，a2＋a4＝60，Sn>400，求
n 的取值范围．
题型3
等差数列和等比数列的综合应用
例3：在等差数列{an}中，a2＝9，a5＝21.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令 bn＝2an，求数列{bn}的前 n 项和 Sn.
思维突破：首先求出a1和d，再计算an，由bn＝2an可判断
数列{bn}的类型．
在解决等差、等比数列的综合题时，重点在于
读懂题意，而正确利用等差、等比数列的定义、通项公式及前
n 项和公式是解决问题的关键．
【变式与拓展】
例4：已知在等比数列{an}中，a1＝2，S3＝6，求a3和q.
1．用等比数列前 n 项和公式，应注意公比 q 是否等于 1.
2．用错位相减法不只能推导等比数列求和公式，还可以在
其他特定类型的数列求和中应用．