第二章 2.5 2.5.2 等比数列前n项和的性质

(共21张PPT)
2.5.2 等比数列前 n 项和的性质
掌握等比数列{an}前 n 项和公式的一些基本性质．
1．数列{an}是等比数列，Sn是其前n 项和，则Sn，S2n－Sn，
S3n－S2n也成__________．
等比数列
练习1：在等比数列{an}中，a1＋a2＝20，a3＋a4＝40，则
S6＝_______.
140
练习2：在正项等比数列{an}中，若S2＝7，S6＝91，则S4
的值为(
)
A
A．28
B．32
C．35
D．49
2．在等比数列中，若项数为 2n(n∈N*)，S偶与 S奇分别为
偶数项和与奇数项和，则
S偶
S奇
＝______.
q
练习3：已知等比数列{an}中，公比 q＝3，a1＋a3＋a5＋a7
＝4，则a2＋a4＋a6＋a8＝_____，a3＋a5＋a7＋a9＝_____.
练习4：在公比为整数的等比数列{an}中，已知a1＋a4＝18，
a2＋a3＝12，那么a5＋a6＋a7＋a8=(
)
A
B．493
C．495
D．498
A．480
12
36
题型1
等比数列前 n 项和性质的应用
例1：已知等比数列前 n 项和为 10，前 2n 项和为 30.求前
3n 项的和．
　　自主解答：解法一：设数列为{an}，
　　依题意，可得Sn＝10，S2n＝30.
　　又∵在等比数列{an}中，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，
　　∴(S2n－Sn)2＝Sn·(S3n－S2n)，(30－10)2＝10·(S3n－30)，
　　即S3n＝70.
与Sn有关的性质主要是Sn，S2n－Sn，S3n－S2n
的关系．在与Sn 有关的运算中，经常用到两种技巧，①两式相
除法；②整体代入法，但都不要忽略对q 的讨论．
【变式与拓展】
　　2．在等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＝18，a2＋a3＋a4＝
－9，Sn＝a1＋a2＋…＋an，则Sn＝__________________.
题型2
等比数列前 n 项和的综合运算
例2：在等比数列{an}中，a1＋an＝66，a2·an－1＝128，且前
n 项和 Sn＝126，求 n 及公比 q.
自主解答：∵a1an＝a2an－1＝128，
又a1＋an＝66，
∴a1，an是方程x2－66x＋128＝0的两根，
解方程得x1＝2，x2＝64，
∴a1＝2，an＝64或a1＝64，an＝2，显然q≠1.
解本题的关键是利用a1·an＝a2·an－1，进而求出
a1，an，要注意a1，an有两组解．
项和，若 a2·a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为— ，则 S5＝(
【变式与拓展】
3．(2010 年广东)已知数列{an}为等比数列，Sn 是它的前 n
5
4
)
A．35
B．33
C．31
D．29
C
B
题型3
等比数列前 n 项和的实际应用
例3：小君有人民币若干，拟作股票投资或长期储蓄，若
存入银行年利率为 6%，若购某种股票年红利为 24%，不考虑
物价变化因素，且银行年利率及该种股票年红利不变，股份公
司不再发行新股票，但每年的利息和红利可存入银行．
(1)求小君购股票或储蓄 x 年后所拥有人民币总额 y 与 x 的
函数关系式；
(2)问：经过几年，购买股票与储蓄所拥有的人民币相等(lg2
＝0.301 0，lg3＝0.477 1，lg1.06＝0.025 3)
自主解答：(1)设小君有人民币 a 元，若长期储蓄，则 x 年
后人民币总额为 y＝a(1＋0.06)x，即 y＝1.06x·a.
若购买股票，则 x 年后利息和红利总额为
y ＝[0.24 ＋0.24(1 ＋0.06) ＋0.24(1 ＋0.06)2 ＋…＋0.24(1 ＋
0.06)x－1]a，
即 y＝4(1.06x－1)a.
即大约经过 5 年，股票与储蓄拥有的人民币相等．
此题是复利问题，问题的关键是每满一年将前面
的本息和作为整体自动转存．
答案：B
例4：已知数列{an}是等比数列，试判断该数列从第一项起
依次 k 项的和组成的数列{bn}是否仍为等比数列．
　　试解：设bn＝a(n－1)k＋1＋a(n－1)k＋2＋…＋ank，…，且数列{an}的公比为q.
　　则当q＝1时，b1＝b2＝…＝bn＝ka1.
　　∴{bn}是公比为1的等比数列．
等比数列的定义、通项公式、求和公式是等比数列的基本
知识点，适当了解等比数列的一些基本性质，会给解题带来一
定的帮助．