第二章 2.6 数列求和

(共24张PPT)
2.6 数列求和
1．熟练掌握等差数列与等比数列的求和公式．
2．会用错位相减法，裂项相消法求一些简单数列的前 n 项
和．
1．等差数列{an}的求和公式为________________________．
练习1：在等差数列{an}中，若 a1＝100，S100＝100，则公
差 d＝________.
－2
2．等比数列{an}的求和公式为___________________________．
3．裂项求和法．
把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程中消
去中间项，只剩下有限项再求和．
练习2：数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 an＝
1
n(n＋1)
，则 S5
＝(
)
B
4．错位相减法．
给 Sn＝a1＋a2＋…＋an各边同乘以一个适当的数或式子，
然后把所得的等式和原等式相减，对应项相互抵消，最后得出
前 n 项和 Sn.一般适应于数列{anbn}的前n项求和，其中{an}成
等差数列，{bn}成等比数列．
1．当数列{an}是一个等差数列或等比数列时，用什么方法
求和？
答案：公式法.
2．等差数列的求和公式是用什么方法推导出来的？等比数
列呢？
答案：等差数列的求和公式是用倒序相加法推导出来的，
等比数列的求和公式是用错位相减法推导出来的．
题型1
公式法求和
例1：已知在等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{an}的前 k 项和 Sk＝－35，求 k 的值．
【变式与拓展】
1．求和：22＋23＋24＋…2n＋3＝________.
解析：这是一个以 4 为首项，2 为公比的等比数列的求和
问题，其项数为(n＋3)－2＋1＝n＋2，
2n＋4－4
题型2
分组求和
例2：设{an}是公比为正数的等比数列，a1＝2，a3＝a2＋4.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设{bn}是首项为 1，公差为 2 的等差数列，求数列{an＋
bn}的前 n 项和 Sn.
【变式与拓展】
2．已知在等差数列{an}中，Sn 是它前 n 项和，a6＝2，S10
＝10.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若从数列{an}中依次取出第 2 项，第 4 项，第 8 项，…，
第 2n 项，…，按取出的顺序组成一个新数列{bn}，试求数列{bn}
的前 n 项和 Tn.
例3：求数列
，
，…的前 n 项和．
题型3
裂项相消法求和
1 1
1×3 3×5
，…，
1
(2n－1)(2n＋1)
【变式与拓展】
1
1＋2＋3＋…＋n
，则数列{an}的前 n 项和 Sn
3．已知 an ＝
＝__________.
，
，
的前 n 项和．
4．求数列
1 1 1
1×3 2×4 3×5
，…，
1
n(n＋2)
题型4
错位相减法求和
例4：求和：Sn＝1＋3x＋5x2＋7x3＋…＋(2n－1)xn－1(x≠0)．
【变式与拓展】
易错点评：本题的处理易忽略已知条件an>0 而导致解答错
误．因而在审题的时候要仔细认真．
对于数列的求和问题，常用的方法有三种，如下：
(1)公式法：对于等差数列和等比数列的求和，可运用其前
n 项和公式．
(2)裂项相消法：通过把通项分裂成两项之差，从达到项相
互抵消．
(3)错位相减法：有的数列既不是等差数列，也不是等比数
列，但通过适当的变换，可以化成等差数列或等比数列的求和
问题来解决．