第三章 3.1 3.1.1 不等关系与不等式的性质

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第三章
不等式
3.1 不等关系与不等式
3.1.1 不等关系与不等式的性质
1．能判断生活中的不等关系．
2．会把生活中的不等关系用不等式刻化．
3．掌握不等式的性质；会将一些基本性质结合起来应用．
1．符号法则．
>
a＋b≥0
a
b
练习1：“a 与 b 的和是非负数”用不等式表示为________．
设a>0，b>0则a＋b______0, ab______0，—______0.
>
>
2．不等式的基本性质．
(1)如果 a>b，那么 b______a；
<
>
(2)如果 a>b，b>c，那么 a______c；
(3)如果 a>b，那么 a＋c______b＋c；
(4)如果 a>b，c>0，那么 ac______bc；
如果 a>b，c<0，那么 ac______bc；
(5)如果 a>b，c>d 那么 a＋c______b＋d；
(6)如果 a>b>0，c>d>0 那么 ac______bd；
(7)如果 a>b>0，那么 an______bn(n∈N，n≥2)；
>
>
>
>
>
>
<
5
练习2：(1)x>2，y>3 x＋y>______；
(2)x>y －2x______－2y；
<
6
(3)x>2，y>3 xy>______；
(4)x≥2 x2≥______.
4
1．不等关系与不等式有何区别？
答案：不等关系强调的是量与量之间的关系，而不等式则
是用来表示不等关系的式子．不等关系是通过不等式来表示的．
2．符号“ ”与“ ”的意义一样吗？
答案：不一样，“ ”是指“推出”，而“ ”是指“等
价于”．
3．两个同向不等式可以相乘吗？
答案：不能，除非是同号的．
题型1
不等式的性质
例1：对于实数 a，b，c，
上述命题中正确的个数是(
)
A．1 个
C．3 个
B．2 个
D．4 个
思维突破：以上的结论，无论对错，都不是很复杂，对于
一些简单的不等式证明，绝不能视为显然而直接证得，而应该
运用不等式性质等知识进行严密的逻辑推理．
答案：A
准确记忆各性质成立的条件，是正确应用的前
提．在不等式的判断中，特殊值法也是非常有效的方法，尤其
是对于选择题或填空题，特殊值法可以节省时间．
【变式与拓展】
1．设 a，b∈R，若 a－|b|>0，则下列不等式中正确的是
(
)
D
A．b－a>0
B．a3＋b3<0
C．a2－b2<0
D．b＋a>0
2．判断下列命题的真、假(真命题要说明成立的依据，假
命题要举出反例)：
c－a c－b
题型2
利用不等式的性质证明不等式
例2：已知 c>a>b>0，求证：
>
a b
.
思维突破：利用不等式的性质进行变形．
c－b c－a
c－a c－b
∴0<
1 1
.
又 a>b>0，∴
>
a b
.
证明：∵c>a>b>0，∴－a<－b<0.
在运用性质时，注意变形前后的等价性，需
要充分理解其因果关系，掌握其推导思维与过程，只有充分理
解不等式的基本性质，才能打好证明不等式和解不等式的基础．
【变式与拓展】
题型3
利用不等式的性质求取值范围
本题需使用性质去求解，而不能错误地使用同
向不等式相减(除)等．同向不等式只能相加，不能相减．
【变式与拓展】
例4：已知：1≤a－b≤2,2≤a＋b≤4，求 4a－2b的取值范围．
∴
m＋n＝4，
n－m＝－2，
解得
m＝3，
n＝1.
∴4a－2b＝3(a－b)＋(a＋b)．
∵1≤a－b≤2，∴3≤3(a－b)≤6.
又 2≤a＋b≤4，∴5≤3(a－b)＋(a＋b)≤10，
即 5≤4a－2b≤10.
试解：方法一：待定系数法．
设 4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)＝(m＋n)a＋(n－m)b，
方法二：换元法．
令 a＋b＝m, a－b＝n，则 1≤n≤2,2≤m≤4.
由
a＋b＝m，
a－b＝n，
解得
a＝
b＝
m＋n
2
m－n
2
，
.
∴4a－2b＝4·
m＋n
2
－2·
m－n
2
＝m＋3n.
而 2≤m≤4,3≤3n≤6，
则 5≤m＋3n≤10，即 5≤4a－2b≤10.
易错点评：本题主要考查多个不等式等号能否成立的问题，
可以考虑待定系数法和换元法，要特别注意1≤a－b ≤ 2,2 ≤ a
＋b ≤ 4 中的a，b 不是独立的，而是相互制约的，因此无论用
哪种方法都必须将a－b，a＋b 当作一个整体来看待．
1．用不等式(组)来描述不等关系，是研究不等关系的数学
工具，要能从不等关系中正确列出不等式．
2．不等式的基本性质是解不等式与证明不等式的理论依
据，要注意不等式成立的条件．
3．处理分式不等式时，不要随便将不等式两边乘以含字母
的式子，如果需要去分母，要考虑所乘的代数式的正负．