第三章 3.1 3.1.2 比较大小

(共13张PPT)
3.1.2 比较大小
1．理解实数大小比较的方法及不等式的基本性质．
2．掌握多项式大小比较的常用方法．
1．比较实数大小的依据．
(1)a>b ____________；
(2)a＝b ____________；
a－b＝0
(3)aa－b<0
P>Q
练习：若P＝x2＋2，Q＝2x，则P 与Q的大小关系是_____．
2．作差比较法：
变形
定正负
作差比较法的基本步骤是：(1)作差；(2)_____；(3)______；
(4)得结论．
a－b>0
1．常见的非负数有哪几个？
2．在作差法作差变形中，有哪些常用方法？
答案：作差变形中常用方法有配方、因式分解、通分、有
理化等．
题型1
作差(配方法)比较大小
例1：比较函数 f(x)＝3x2－x＋1 与 g(x)＝2x2＋x－1 的大小．
思维突破：把两式直接作差比较．
自主解答：∵f(x)－g(x)＝(3x2－x＋1)－(2x2＋x－1)
＝x2－2x＋2
＝(x－1)2＋1>0，
∴f(x)>g(x)．
【变式与拓展】
1．求证：x2＋3>3x.
题型2
作差(因式分解法)比较大小
例2：若 q＞0，且 q≠1，比较 1＋q2 与 2q 的大小．
思维突破：多项式与多项式比较大小，由于展开时较繁，
作差后灵活选择乘法公式进行因式分解，利用实数的符号法则
确定积的正负．
自主解答：(1＋q2)－2q＝1－2q＋q2＝(1－q)2，
∵q＞0，且 q≠1，∴(1－q)2＞0.
故 1＋q2＞2q.
比较a 与b 的大小，归结为判断它们的差a－b
的符号．比较a 与b 大小的步骤是：①作差；②变形(分解因式
或配方)；③判断差的符号．
a 2a＋b
【变式与拓展】
2．已知a>b>0，求证： >
b a＋2b
.
2a＋b a b2－a2
证明：
－ ＝ ＝
a＋2b b (a＋2b)b
(b－a)(b＋a)
.
(a＋2b)b
∵a>b>0，∴b－a<0，b＋a>0，(a＋2b)b>0.
∴
(b－a)(b＋a) a 2a＋b
<0.∴ >
(a＋2b)b b a＋2b
.
题型3
作商法比较大小
一般地，比较含有根式的两个数的大小时，常
用有理化的变形方法.
【变式与拓展】
易错点评：为了判断差式的符号，要对a 的符号进行分类
讨论，分类时容易重复或遗漏．
1．运用作差比较法比较大小时，在式子变形过程中要根据
式子的结构特征选用适当的变形方法．
2．运用作差比较法比较大小时，要注意结合不等式的性质
进行综合运用，如“变式与拓展 3”．