第三章 3.4 3.4.1 基本不等式(一)

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3.4.1 基本不等式(一)
1．通过实例探究抽象基本不等式，体会数学来源于生活．
2．推导并掌握基本不等式，并从不同的角度探索不等式
3．理解基本不等式的几何意义．
1．算术平均数及几何平均数．
设 a，b 是任意的两个正数，称________为 a，b 的算术平
均数；称________为 a，b 的几何平均数．
练习1：1 和 9 的算术平均数是________，而 1 和 9 的几何
平均数是________．
5
3
a＋b
2
2．重要不等式．
2ab
a＝b
一般地，对于任意实数 a，b，我们有 a2＋b2≥________，
当且仅当________时，等号成立．
3．基本不等式．
设 a，b 是任意的两个正数，那么
，当且仅当
____________时，等号成立．基本不等式可叙述为：两个正数
的___________________________________．
a＝b
算术平均数不小于它们的几何平均数
如果把
a＋b
2
看作是正数 a，b 的等差中项， 看作是正数
a，b 的等比中项，那么基本不等式也可以叙述为：两个正数的
______________________________________．
)
＋b2，b 中最大的是(
A．b
B．a2＋b2
C．2ab
D.
1
2
等差中项不小于它们的等比中项
A
答案：不一定，当 a，b 都为正数时，不等式才成立．
2．对于任意实数 a，b，这两个数的算术平均数一定存在
吗？那几何平均数呢？
数为
a＋b
2
. 几何平均数不一定．
答案：任意两个数 a，b 的算术平均数一定存在，算术平均
当且仅当 x＝0 时等号成立．
答案：(1)[2，＋∞)
(－∞，－2]∪[2，＋∞) (2)[1，＋∞)
【变式与拓展】
1．若 x>0，求 f(x)＝
12
x
＋3x 的最小值．
2．已知 x>3，求
4
x－3
＋x 的最小值．
【变式与拓展】
题型3
利用基本不等式证明简单的不等式
【变式与拓展】
4
a＋b≥u 恒成立的 u 的取值范围是(
)
A．(0,16]
C．(0,10]
B．(0,12]
D．(0,8]
A