第三章 3.4 3.4.2 基本不等式(二)

(共16张PPT)
3.4.2 基本不等式(二)
1．进一步理解并掌握基本不等式 ≤
a＋b
2
及其变形公式．
2．掌握用基本不等式解决一些简单的最值问题．
a＋b
1．基本不等式 ≤
2
，成立满足的条件是_____________．
当且仅当________时，等号成立．
a，b 都是正数
a＝b
练习1：已知 x>0，若 x＋
81
x
的值最小，则 x 为(
)
B
A．81
B．9
C．3
D．16
2．当 a，b 均为正数时，
a＝b
(1)a＋b≥________，当且仅当_______时，等号成立．
(2)ab≤________，当且仅当______时，等号成立．
练习2：若 a＞b＞0，则下面不等式正确的是( )
C
练习3：若 x＋2y＝1，则 2x＋4y的最小值是________．
2
a＝b
2．(1)当两个正数 a，b，它们的和 a＋b 为定值时，ab 有
最小值还是最大值，它是多少？
(2)当两个正数 a，b，它们的乘积 ab 为定值时，a＋b 最小
值还是最大值，它是多少？
(2) 已知 x> －1 ，求函数 y ＝ 2
题型1
利用基本不等式求最值
(x＋5)(x＋2)
x＋1
的最小值为
例1：(1)已知 x>－1，求函数 y＝
________；
x＋1
x ＋5x＋6
(x> －1) 的最大值为
________．
＋5
解析：(1)y＝
(x＋5)(x＋2)
x＋1
＝
(x＋1＋4)(x＋1＋1)
x＋1
＝(x＋1)＋
4
x＋1
因为 x>－1，所以 x＋1>0.
所以(x＋1)＋
4
x＋1
＋5≥
＋5＝9，
当且仅当 x＋1＝
4
x＋1
，即 x＝1 时，ymin＝9.
【变式与拓展】
B
题型2
利用基本不等式整体换元
例2：若正数 a，b 满足 ab＝a＋b＋3，求 ab 及 a＋b 的取
值范围．
思维突破：本题主要考查均值不等式在求最值时的运用，
并体现了换元法、构造法等重要思想．
整体思想是分析这类题目的突破口，即a＋b
与ab分别是统一的整体，把a＋b 转换成ab 或把ab 转换成a
＋b.
【变式与拓展】
2．(2010 年浙江)若正实数 x，y，满足 2x＋y＋6＝xy，则
xy 的最小值是________．
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是“当且仅当 时”；这显然不可能同时成立，因此等号取
易错点评：多次利用基本不等式解题，没有考虑等号能否
同时成立．
在解题过程中先后两次用到了重要不等式，第一次等号成
立的条件是“当且仅当 a＝2b 时”；而第二次等号成立的条件
不到．
利用基本不等式求最值及取值范围：
(1)应用基本不等式时，应注意三个条件：“一正、二定、
三相等”．
(2)常用方法：拼凑系数法、整体代换法、换元法、配方法
等．