第三章 3.3 3.3.2 简单的线性规划问题(一)

(共23张PPT)
3.3.2 简单的线性规划问题(一)
1．了解线性规划的意义，了解线性约束条件、线性目标函
数、可行解、可行域、最优解等基本概念．
2．掌握线性规划问题的图解法，会用图解法求目标函数的
最大值、最小值．
3．训练数形结合、化归等熟悉思想，培养和发展数学应用
意识．
名称 意义
约束条件 关于变量 x，y 的不等式(方程)组
线性约束条件 关于 x，y 的一次不等式(或方程)组成的平面区
域
目标函数 欲求最大值或最小值的关于变量 x，y 的函数解
析式
线性目标函数 关于 x，y 的一次解析式
线性规划相关概念.
名称 意义
可行解 满足_______________的解(x，y)
可行域 由所有________组成的集合
最优解 使目标函数取得________或________的可行解
线性规划问题 在______________下求线性目标函数的最
大值或最小值问题
续表
线性约束条件
可行解
最大值
最小值
线性约束条件
x－y≥6，
练习1：已知 x，y 满足约束条件 2x＋y＜9，
分别确定
x≥1，
x，y 的值，使 z＝x＋3y 取到最大值或最小值，其中__________
为可行域，__________为线性目标函数．
z＝x＋3y
x≥0，
练习2：已知实数 x，y 满足 y≤1，
求 2x＋y 的
x－2y＋1≤0，
最大值，这个问题就是______________．满足不等式组的解(x，
y)叫做_______，如
是一组可行解，
由所有可行解组成的集合即不等式组所表
示的平面区域(如图 3－3－1 中阴影部
分)是________．易知，当 x＝1，y＝1 时，
目标函数 z＝2x＋y取最大值 3，故(1,1)
是这个规划问题的________．
线性规划问题
可行解
可行域
最优解
图 3－3－1
1．z＝x2＋y2－3 是线性目标函数吗？
答案：不是，因为 x，y 的系数是 2
2．线性目标函数的最优解只有唯一一个吗？
答案：不是，最优解可能有无数个．
题型1
线性目标函数的最值
x－4y≤－3，
例1：已知变量 x，y满足 3x＋5y≤25，
求 z＝2x＋y 的
x≥1，
最大值和最小值．
思维突破：把z 看成直线在y 轴上的截距，先画出可行域，
再求z 的最值．
自主解答：作出不等式组所表示的可行域，如图 D14.
图 D14
设直线 l0：2x＋y＝0，直线 l：2x＋y＝z，则 z 的几何意义
是直线 y＝－2x＋z 在 y 轴上的截距．
显然，当直线越往上移动时，对应在 y 轴上的截距越大，
即 z 越大；当直线越往下移动时，对应在 y 轴上的截距越小，
即 z 越小．
作一组与直线 l0 平行的直线系 l，上下平移，可得：
当直线 l 移动到直线 l2 时，即过点 A(5,2)时，zmax＝2×5＋2
＝12；
当直线 l 移动到直线 l1 时，即过点 B(1,1)时，zmin＝2×1＋1
＝3.
正确作出可行域后，将目标函数变为直线方程
的斜截式的形式，应注意该直线在y 轴上的截距与目标函数z
取值的关系．再注意该直线的斜率与可行域边界直线的斜率关
系，以便准确找到最优解．
【变式与拓展】
x－2y＋4≥0，
1．已知实数 x，y 满足约束条件 2x＋y－2≥0，
3x－y－3≤0，
则目标
函数 z＝x＋2y 的最大值的可行解为________．
(2,3)
x－2≤0，
2．若x，y满足线性约束条件 y－1≤0，
求 z＝x＋
x＋2y－2≥0，
y 的最小值．
解：作出不等式组所表示的可行域如图 D17 中阴影部分．
将 z＝x＋y 变形为 y＝－x＋z，这是斜率为－1，随 z 变化
的一组平行线，当直线 y＝－x＋z 经过可行域内的 A 点时，直
线 y＝－x＋z 在 y 轴上的截距最小，z 也最小．这里 A 点是直线
x＋2y－2＝0 与直线 y＝1 的交点．
解方程组
x＋2y－2＝0，
y＝1，
得
x＝0，
y＝1.
此时 z＝0＋1＝1.故 z 的最小值为 1.
图 D17
题型2
线性规划的逆向性问题
y≥1，
例2：已知实数 x，y 满足 y≤2x－1，
x＋y≤m，
如果目标函数 z
＝x－y 的最小值为－1，则实数 m＝(
)
A．7
B．5
C．4
D．3
思维突破：画出x，y 满足的可行域，可得直线y＝2x－1
与直线x＋y＝m 的交点使目标函数z＝x－y 取得最小值．
答案：B
【变式与拓展】
3．在如图 3－3－2 所示的可行域内，目标函数 z＝x＋ay
)
取得最小值的最优解有无数个，则 a 的一个可能值是(
图 3－3－2
A. －3
B．3
C. －1
D．1
解析：分析知“目标函数与直线 BC 重合时 z 最小”，故
D
x－y＋5≥0，
4．已知 x，y 满足 x≤3，
x＋y＋k≥0，
且 z＝2x＋4y 的最小值
)
为－6，则常数 k＝(
A．2
B．9
C．3
D．0
解析：画图后知：当 x＝3 时 z＝2x＋4y 取最小值－6.
D
题型3
线性规划的间接应用
x＋2y－19≥0，
例3：设二元一次不等式组 x－y＋8≥0，
所表示的平
2x＋y－14≤0，
面区域为 M，使函数 y＝ax(a＞0，a≠1)的图象过区域 M 的 a
)
的取值范围是(
A．[1,3]
C．[2,9]
B．[ 2, ]
D．[ ,9]
思维突破：本题考查线性规划与指数函数．画出平面区域
M，观察图象并结合指数函数性质即可．
解析：如图 D15 中的阴影部分为平面区域 M, 显然，只需
研究过(1,9)，(3,8)两种情形．
图 D15
a1≤9 且 a3≥8，即 2≤a≤9.
答案：C
【变式与拓展】
x－y＋1≥0，
5．若实数 x，y 满足 x＋y≥0，
x≤0，
则 z＝3x＋2y 的最小值
是(
B
)
A．0
C.
B．1
D．9
例4：若 x，y 满足不等式组
求 z＝－3x
－2y 的最值．
试解：作出约束条件表示的可行域，如图 D16 中的阴影部
分，则点 A(10,4)，B(3,6)．
令 p＝3x＋2y，
作直线 l：3x＋2y＝0，
当直线 l 右移过点 B(3,6)时，pmin＝21；
当直线 l 继续右移过点 A(10,4)时，pmax＝38.
又 z＝－p，
故 zmax＝－21，zmin＝－38.
图 D16
易错点评：直线在y 轴上的截距与目标函数z＝－3x－2y
取值的关系上出错．直线ax＋by＝z 往右(或往左)平移时，z 随
之增大(或减小)，只有当a>0 时，才能成立．当a<0 时，可利
用换元将a 变为大于0.
解简单线性规划问题的基本步骤：
(1)画图：画出线性约束条件所表示的平面区域；
(2)定线：令 z＝0，得到一过原点的直线；
(3)平移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平
移的方法找出与可行域有公共点且截距最大或最小的直线；
(4)求最优解；
(5)求最值．