第三章 3.3 3.3.3 简单的线性规划问题(二)

(共23张PPT)
3.3.3 简单的线性规划问题(二)
1．进一步了解线性规划的意义，了解线性约束条件、线性
目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念．
2．掌握线性规划问题的图解法，会用图解法求目标函数的
最大值、最小值．
3．训练数形结合、化归等常用思想，培养和发展数学应用
意识．
设 z＝— ，求 z
非线性目标函数．
x，y
要求最值中的函数不是关于变量________的一次解析式．
x－4y＋3≤0，
练习：变量 x，y 满足 3x＋5y－25≤0，
x≥1，
y
x
的最小值和最大值．其中_______为非线性目标函数．
y
x
z＝
答案：分别是“斜率型”、“两点间距离型” 、“点到直
线距离型”的目标函数．
(－1,2)
(1,－2)
|3x＋4y＋5|
(3)
5
表示点 P(x，y)与________________的距离．
直线3x＋4y＋5＝0
(0,0)
(0,0)
题型1
非线性目标函数(斜率)
例1：求 z＝
y＋1
x＋1
的最大值，其中 x，y 满足约束条件
思维突破：把所求问题看成区域上的点与点(－1，－1)连
线的斜率．
自主解答：作出不等式组表示的可行域如图 D18.
当把 z 看作常数时，它表示点(x，y)与点(－1，－1)所在直
线的斜率，点(x，y)在可行域内．因此当点(x，y)是点 A 时，斜
率 z 最大．
∵点 A 为直线 y＝11 与 y 轴的交点，
∴点 A 的坐标为(0,11)．
∴zmax＝
11＋1
0＋1
＝12.
图 D18
设 z＝—，求 z 的最
【变式与拓展】
x－4y＋3≤0，
1．变量 x，y 满足 3x＋5y－25≤0，
x≥1，
y
x
小值和最大值．
解：作出可行域，如图 D22，当把 z 看作常数时，它表示
直线 y＝zx 的斜率，因此，当直线 y＝zx 过点 A 时，z 最大；当
直线 y＝zx 过点 B 时，z 最小．
图 D22
x－y≥0，
2．设变量满足约束条件 x＋y≥0，
2x＋y≤1，
则
y
x＋1
的最大值是
(
)
B
题型2
非线性目标函数(距离)
自主解答：作出不等式组所表示的可行域如图 D19.
把 z 当作常数时，它表示点(x，y)到点(0，－1)的距离，点(x，
y)在可行域内．由图 D19 可知：z 的最小值为点(0，－1)到直线
2x＋5y＝15 的距离．
图 D19
对形如z＝(x－a)2＋(y－b)2 的目标函数可化为
可行域内的点(x，y)与点(a，b)间的距离的最值的问题．
【变式与拓展】
A
2x＋5y≥10，
4．已知 x，y 满足约束条件 2x－3y≥－6，
2x＋y≤10，
则 z＝x2＋y2
的最小值为____________．
100
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题型3
非线性目标函数(面积)
图 D20
答案：D
【变式与拓展】
5．在直角坐标平面上，不等式组
y≥2|x|－1，
y≤x＋1
所表示的
平面区域的面积为(
)
B
解析：作出不等式表示的平面区域即可．
x＋y≤5，
6．求由约束条件 2x＋y≤6，
确定的平面区域的面积 S
x≥0，y≥0
和周长 C.
图D23，
其四个顶点为 O(0,0)，B(3,0)，A(0,5)，P(1,4)．
过点 P 作 y 轴的垂线，垂足为点 C.
则 AC＝|5－4|＝1，PC＝|1－0|＝1，
解：由约束条件作出其所确定的平面区域(阴影部分)，如
图D23
图 D21
答案：A
易错点评：直线在y轴上的截距与目标函数y＝kx＋—取值
4
3
的关系上出错．没有正确的思维，同顶点，同高是关键．
1．求目标函数的最值时，要确定目标函数是线性的还是非
线性的．
2．计算非线性目标函数的最值，常借助其几何意义，运用
线性规划的知识解决，计算量小，且直观形象．