第三章 3.3 3.3.4 简单线性规划问题的实际应用

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3.3.4 简单线性规划问题的实际应用
1．从实际情境中抽象出简单的线性规划问题，建立数学模型．
2．掌握线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的
实际问题．
线性规划的理论和方法主要用于解决以下两类问题：一是在
人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最
多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少
的人力、财力、物力、资金等资源来完成该项任务．
线性规划解应用题的一般步骤．
(1)设出____________；
x，y，z
约束条件
目标函数
(2)列出________，确定________；
(3)画出________；
(4)作目标函数表示的一族平行直线，使其中某条直线与
________有交点，且使其截距最大或最小；
可行域
(5)判断________，求出目标函数的______，并回到原问题
中作答．
最优解
最值
可行域
练习1：有5 辆 6 吨的汽车，4 辆 4 吨的汽车，要运送最多
的货物，完成这项运输任务的线性目标函数为___________．
x≥1，
练习2：已知变量 x，y 满足 y≤2，
x－y≤0，
则 x＋y 的最小
)
值是(
A．4
C．2
B．3
D．1
z＝6x＋4y
C
1．简单线性规划在实际生产生活中主要解决哪些问题？
答案：简单的线性规划在实际生产生活中应用非常广泛，
主要解决的问题是：在资源的限制下，如何使用资源来完成最
多的生产任务；或是给定一项任务，如何合理安排和规划，能
以最少的资源来完成如常见的任务安排问题、配料问题、下料
问题、布局问题、库存问题，通常解法是将实际问题转化为数
学模型，归结为线性规划，使用图解法解决．
2．应用线性规划的图解方法，应具备哪些条件？
(3)确定线性目标函数 z＝f(x，y)；
(4)画出可行域(即各约束条件所示区域的公共区域)；
(5)利用线性目标函数作平行直线系 f(x，y)＝t(t 为参数)；
(6)观察图形，找到直线 f(x，y)＝t 在可行域上使 t 取得欲求
最值的位置，以确定最优解，给出答案．
答案：线性规划问题一般用图解法，其步骤如下：
(1)根据题意，设出变量 x，y；
(2)找出线性约束条件；
题型1
资源配置问题
例1：某工艺品加工厂准备生产具有收藏价值的奥运会标志
——“中国印·舞动的北京”和奥运会吉祥物——“福娃”．该厂
所用的主要原料为 A，B 两种贵重金属，已知生产一套奥运会标志
需用原料 A 和原料 B 的量分别为 4 盒和 3 盒，生产一套奥运会吉
祥物需用原料 A 和原料 B 的量分别为 5 盒和 10 盒．若奥运会标志
每套可获利 700 元，奥运会吉祥物每套可获利 1 200 元，该厂月初
一次性购进原料 A，B 的量分别为 200 盒和 300 盒．问该厂生产奥
运会标志和奥运会吉祥物各多少套才能使该厂月利润最大，最大
利润为多少？
思维突破：将文字语言转化为数学式子建立线性规划模型．
图 D24
自主解答：设该厂每月生产奥运会标志和奥运会吉祥物分
别为 x，y 套，月利润为 z 元，由题意，得
将点 A(20,24)代入 z＝700x＋1 200y，
得 zmax＝700×20＋1 200×24＝42 800 元
答：当该厂生产奥运会标志和吉祥物分别为 20,24 套时，
月利润最大，最大利润为 42 800 元．
解线性规划应用题时，先转化为简单的线性规
划问题，再按如下步骤完成：①作图：画出约束条件所确定的
平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的一条直线 l；②平
移：将直线 l 平行移动，以确定最优解的对应点 A 的位置；③
求值：解有关方程组求出点 A 坐标(即最优解)，代入目标函数，
即可求出最值．
混合 烹调 包装
A 1 5 3
B 2 4 1
【变式与拓展】
1．某糖果厂生产 A，B 两种糖果，A 种糖果每箱获利润 40
元，B 种糖果每箱获利润 50 元，其生产过程分为混合、烹调、
包装三道工序，下表为每箱糖果生产过程中所需平均时间(单
位：分钟).
每种糖果的生产过程中，混合的设备至多能用 12 小时，烹
调的设备至多只能用机 30 小时，包装的设备只能用 15 小时，
试求每种糖果各生产多少箱可获得最大利润．
求目标函数 z＝40x＋50y 的最大值，
作出可行域(如图 D28)，其边界 OA：y＝0，
AB：3x＋y－900＝0，BC：5x＋4y－1 800＝0，
CD：x＋2y－720＝0，DO：x＝0.
图 D28
产品
原料 产品 A 产品 B 产品 C
燃料甲/吨 10 7 5
燃料乙/吨 5 9 13
题型2
降低资源消耗问题
例2：某工厂利用两种燃料生产三种不同的产品 A，B，C，
每消耗一吨燃料与产品 A，B，C 有下列关系：
现知每吨燃料甲与燃料乙的价格之比为 2∶3，现需要三种
产品 A，B，C 各 50 吨，63 吨，65 吨．问如何使用两种燃料，
才能使该厂成本最低？
思维突破：由于该厂成本与两种燃料使用量有关，而产品
A，B，C 又与这两种燃料有关，且这三种产品的产量也有限制，
因此这是一道求线性目标函数在线性约束条件下的最小值问
题，这类简单的线性规划问题一般都可以利用二元一次不等式
组求在可行域上的最优解．
自主解答：设该厂使用燃料甲 x 吨，燃料乙 y 吨，甲每吨
2t 元，则乙每吨为 3t 元．
则成本为 z＝2tx＋3ty＝t(2x＋3y)．因此只需求 2x＋3y 的最
小值即可．
10x＋5y≥50，
又由题意，可得 x,y 满足条件 7x＋9y≥63，
5x＋13y≥65.
作出不等式组所表示的平面区域(如图 D25)．
图 D25
【变式与拓展】
2．医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐，甲种
原料每 10 g 含 5 个单位蛋白质和 10 个单位铁质，售价 3 元；
乙种原料每 10 g 含 7 个单位蛋白质和 4 个单位铁质，售价 2 元．
若病人每餐至少需要 35 个单位蛋白质和 40 个单位铁质．试问：
应如何使用甲、乙原料，才能既满足营养，又使费用最省？
图 D29
题型3
整数解处理
例3：某公司每天至少要运送 180 t 货物．公司有 8 辆载重
为 6 t 的 A 型卡车和 4 辆载重为 10 t 的 B 型卡车，A 型卡车每天
可往返 4 次，B 型卡车可往返 3 次，A 型卡车每天花费 320 元，
B 型卡车每天花费 504 元，问如何调配车辆才能使公司每天花
费最少．
思维突破：设A型卡车x 辆，B 型卡车y 辆．问题转化为
线性规划问题．同时应注意到题中的x，y只能取整数．
自主解答：设 A 型卡车 x 辆，B 型卡车 y 辆，则
0≤x≤8，
0≤y≤4，
24x＋30y≥180，
0≤x≤8，
即 0≤y≤4，
4x＋5y≥30，
目标函数 z＝320x＋504y.作如图 D26 所示的可行域，
图 D26
做直线 l′：320x＋504y＝0.在可行域中打上网格，找出(8 ,
0)，(8 , 1)，(8 , 2)，(7 , 1)，(7 , 2)，(7 , 3)，…等整数点．作直
线 l：320x＋504y＝t 与直线 l′平行，可见当直线 l 过点(8, 0)
时，t 最小，即 zmin＝8×320＝2 560(元)．
根据已知条件写出不等式组是做题的第一步；
第二步画出可行域；第三步找出最优解．其中最困难的是第二
步．
整数解的线性规划问题．如果取最小值时不是整数点，则
考虑此点附近的整数点．
例4：某沙漠地带，考察车每天行驶 200 千米，每辆考察
车可以装载供行驶 14 天的汽油．现有 5 辆考察车，同时从驻地
A 出发，计划完成任务后，再沿原路返回驻地，为了让其中 3
辆车尽可能向更远的地方进行考察(然后再一起返回)，甲、乙
两车行至 B 处后，仅留足自己返回驻所必需的汽油，将多余的
汽油供给另外 3 辆使用，问：其他 3 辆可以行进的最远路是多
少千米？
试解：设考察行至B 处用了x天，从B处到最远处用了y
天，则有 2[3(x＋y)＋2x]≤14×5，
即 5x＋3y≤35，且 x>0，y>0.
同时从其余 3 辆车的载油量考虑，
14×5－(5＋2)x≤14×3，即 x≥4.
5x＋3y≤35，
下求 z＝x＋y
于是问题转化为在约束条件 x≥4，
y>0
的最大值．
作可行域(如图 D27)，则 M(4,5)，
图 D27
作直线 l：x＋y＝0，向右平移过点 M 时，zmax＝9.
∴最远路程为 200×(4＋5)＝1 800(千米)．
易错点评：对线性的约束条件考虑不清不全，没考虑甲、
乙两车供油后，自己还须返回这一条件，导致约束条件出错．
1．线性规划的两类重要实际问题的解题思路：
(1)应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定
线性目标函数．
(2)用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域
内求得使目标函数取最值的解．
(3)还要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的
解，即结合实际情况求得最优解．
2．应用线性规划处理实际问题时应注意的问题：
(1)在求解实际问题时，除严格遵循线性规划求目标函数最
值的方法外，还应考虑实际意义的约束，要认真解读题意，仔
细推敲并挖掘相关条件，同时还应具备批判性检验思维，以保
证解决问题的准确和完美．
(2)在处理实际问题时，x≥0，y≥0 常被忽略，在解题中应
注意．
(3)在求解最优解时，一般采用图解法求解．