第三章 3.4 3.4.3 基本不等式的实际应用

(共26张PPT)
3.4.3 基本不等式的实际应用
2．熟练理解并应用基本不等式解决一些简单的应用问题．
1．已知 x，y 都是正数，
(1)如果积 xy 是定值 P，那么当 x＝y 时，和________有最
小值________．
x＋y
(2)如果和 x＋y 是定值 S，那么当 x＝y 时，积______有最
小值________．
xy
S2
4
练习1：已知 a＞0，b＞0，若 ab＝9，则 a＋b 有最小值为
______；若 a＋b＝4，则 ab 有最大值为_____．
6
4
1
x
当 x＜0 时，ymax＝________.
2
－2
练习2：已知函数y＝x＋—，当x＞0时，ymin＝________，
1．你是设计师！春天到了，学校决定用篱笆围一个面积为
100 平方米的花圃种花．有以下两种方案：
圆形花圃：造价 12 元/米；矩形花圃：造价 10 元/米；
你觉得哪个方案更省钱呢？
2．在问题 1 中，假若现在只有 36 米的篱笆可用，怎么样
设计才能使得矩形花圃的面积最大？
题型1
基本不等式在(函数)最值中的应用
【变式与拓展】
题型2
利用基本不等式进行优化设计(最大值问题)
例2：某村计划建造一个室内面积为 800 m2 的矩形蔬菜温
室．在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留 1 m 宽的通道，
沿前侧内墙保留 3 m 宽的空地．当矩形温室的边长各为多少
时？蔬菜的种植面积最大，最大种植面积是多少？
自主解答：设矩形温室的左侧边长为 a m，后侧边长为 b m，
则 ab＝800.
蔬菜的种植面积
S＝(a－4)(b－2)＝ab－4b－2a＋8＝808－2(a＋2b)．
所以 S≤808－4 ＝648(m2).
当 a＝2b，即 a＝40(m)，b＝20(m)时，S最大值＝648(m2)．
答：当矩形温室的左侧边长为 40 m，后侧边长为 20 m 时，
蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为 648 m2.
【变式与拓展】
2．某单位用 2 160 万元购得一块空地，计划在该地块上建
造一栋至少 10 层，每层 2 000 平方米的楼房．经测算，如果将
楼房建为 x(x≥10) 层，则每平方米的平均建筑费用为 560 ＋
48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，则
)
B
楼房应建为(
A．10 层
C．20 层
B．15 层
D．30 层
题型3
利用基本不等式进行优化设计(最小值问题)
例3：为迎接北京奥运会，北京市决定在首都国际机场粘
贴一幅“福娃”宣传画，如图 3－4－1 要求画面面积为 72 m2，
左、右各留 1 米，上、下各留 0.5 米，问怎样设计画面的长和
宽才能使宣传画所用纸张面积最小？
图 3－4－1
自主解答：设宣传画的长、宽分别为 x，y 米，则 xy＝72，
设纸张面积为 S，则：
S＝(x＋2)(y＋1)＝xy＋x＋2y＋2
由 xy＝72，即 y＝
72
x
代入上式，
得 S＝74＋x＋
144
x
≥74＋2
＝98，
当且仅当 x＝
144
x
，即 x＝12 时，Smin＝98.
所以宣传画的长为 12 米，宽为 6 米，所用纸张面积最小．
【变式与拓展】
3．设计一幅宣传画，要求画面面积 4 840 cm2，画面的上、
下各留 8 cm 的空白，左右各留 5 cm 的空白．怎样确定画面的
高与宽的尺寸，能使宣传画所用纸张最小？
(2)修1m旧墙的费用是—元；
(3)拆去1m旧墙，用所得的材料建1m新墙的费用为—元．
例4：某工厂有旧墙 14 m，现准备利用这面旧墙建造平面
图形为矩形，面积为 126 m2 的厂房，工程条件是：
(1)建 1 m 新墙的费用为 a 元；
a
4
a
2
经讨论有两种方案：
(1)利用旧墙的一段 x m(x<14)为矩形厂房的一面的边长；
(2)矩形一面的边长 x≥14 m.
问如何利用旧墙，即 x 为多少时建墙费用最省？
易错点评：在实际问题中，没有考虑“等号”是否成立，
以至出错．此题是生活实际中常碰到的，有实际意义，综合分
析能力很强，尤其(2)x≥14，往往容易疏忽，不加以考虑，仅以
(1)分析，利用部分旧墙，拆除部分旧墙，用拆得的材料建新墙，
其余的建新墙，虽然结果正确，但没有与(2)作比较，不能算是
一种完整的解法．
1．不等式的应用问题大都与函数相关联，在求最值时，基
本不等式是经常使用的工具，但若对自变量有限制，一定要注
意等号能否取得，若取不到，则必须利用函数的单调性去求函
数的最值．
2．解答不等式应用题的一般步骤：
(1)阅读并理解材料；
(2)建立数学模型；
(3)讨论不等关系；
(4)作出结论．