第一章 1.1 1.1.1 正弦定理

(共17张PPT)
第一章
解三角形
1.1
正弦定理和余弦定理
1.1.1
正弦定理
1．掌握正弦定理的内容．
2．掌握正弦定理的证明方法．
3．会运用正弦定理解决一些简单的三角形度量问题．
1．正弦定理．
正弦
在一个三角形中，各边和它所对角的________的比相等，
即________＝________＝________.
a
sinA
b
sinB
c
sinC
练习1：在△ABC中，A＝30°, B＝45°, b＝2, 则a＝___.
2．解三角形．
边和角
一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的__________
过程叫做解三角形．
练习2 ：在△ ABC中，A＝30°，B＝60°，b＝ ，则
C＝______， a＝______，c＝______.
90°
1
2
1．正弦定理对任意三角形都适合吗？
答案：都适用.
2．由方程的思想，用正弦定理解三角形需要多少个已知条
件？哪几个？
答案：三个，任意两角及其一边或任意两边与其中一边的
对角．
3．正弦定理的基本作用是什么？
；
角，如 a＝
bsinA
sinB
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角
答案：①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边与
题型1
已知两角及一边解三角形
例1 ：在△ ABC 中，已知 a＝10，B＝60°，C＝45°，
求 A，b，c.
思维突破：已知两角及一边，可直接使用正弦定理及三角
形内角和定理得到．
已知两角和任一边，求其他两边和一角，解是
唯一的．
知 A＝— ，a＝ ，B＝30°，则 b＝(
【变式与拓展】
1．已知△ABC中，A＝30°，B＝45°, b＝ ，则 a＝(
)
A．3
B．1
C．2
D.
1
2
B
2．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已
π
3
)
A．1
B．2
C．2
D．4
A
题型2 已知两边及一边的对角解三角形
例2：已知△ABC 中，a＝ ，b＝ ，B＝45°，求 A，C
和 c.
思维突破：已知两边及一边的对角，可运用正弦定理求解，
但要注意解的个数的判定．
已知三角形的两边及其中一边的对角，此类问
题可能出现一解、两解或无解的情况，具体判断方法是：可用
三角形中大边对大角定理，也可利用几何图形加以理解.
A 为锐角 A 为钝角或直角
图形
关系
式 ①a＝bsinA；
②a≥b bsinA＜a＜b a＜bsinA a＞b a≤b
解的
个数 一解 两解 无解 一解 无解
【变式与拓展】
3．在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且B
＝30°，c＝2
，b＝2，求 A，C 和 a.
4．已知 b＝6，c＝9，B＝45°，求 C，a，A.
2sinA－sinB
题型3
正弦定理的简单应用
例3：在△ABC中，若a∶b∶c＝2∶3∶4.求
sinC
的值．
因所求的是角的关系式，题目给出的是边的关
系式，所以应利用正弦定理，将边的关系转化为角的关系．
＝
＝
2sinA－sinB 4x－3x
＝ .
自主解答：∵
a b c
sinA sinB sinC
，
∴sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝2∶3∶4.
不妨设 sinA＝2x，sinB＝3x，sinC＝4x(x≠0)，
∴
＝
sinC 4x
1
4
【变式与拓展】
5．在△ABC 中，sin2A＝sin2B＋sin2C，则△ABC 为(
)
A．直角三角形
C．等边三角形
B．等腰直角三角形
D．等腰三角形
6．△ABC 的三个内角 A，B，C 的对边边长分别是 a，b，
A
B
例4 ：在△ABC 中，已知 acosA＝bcosB，试判断△ABC 的
形状．
＝
＝k，由 acosA＝bcosB，得
试解：设
a b
sinA sinB
ksinAcosA＝ksinBcosB，∴sin2A＝sin2B.
∴2A＝2B 或 2A＋2B＝180°，即 A＝B 或 A＋B＝90°.
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．
易错点评：在解三角形时，要注意分类讨论，否则会漏解．
1．正弦定理可建立边角关系，角的正弦越大所对的边就越
长．
2．应用正弦定理得出角的大小时特别要注意是一个解还是
两个解．