第一章 1.1 1.1.2 余弦定理

(共14张PPT)
1.1.2 　余弦定理
1．掌握余弦定理的两种表示形式．
2．初步掌握余弦定理的应用．
3．培养推理探索数学规律和归纳总结的思维能力．
1．余弦定理．
平方
平方
夹角
两倍
三角形中任何一边的____等于其他两边的____的和减去这
两边与它们的____的余弦的积的____．即 a2＝______________，
b2＝__________________，c2＝__________________.
练习1：在△ABC 中，已知 C＝60°，a＝3，b＝4，则边长
c＝________.
b2＋c2－2bccosA
a2＋c2－2accosB
a2＋b2－2abcosC
2．余弦定理的推论．
cosA＝________________；cosB＝________________；
cosC＝______________.
b2＋c2－a2
2bc
a2＋c2－b2
2ac
a2＋b2－c2
2ab
练习2:在△ABC 中，已知 a＝3，b＝4，c＝6，则 cosC＝
_______.
－
11
24
1．余弦定理对任意三角形都适合吗？
答案：都适用．
2．余弦定理的式子中有几个量？从方程的角度看已知其中
三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？
答案：四个，能．
3．勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余
弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这
两个定理之间的关系？
答案：若△ABC 中，C＝90°，则 cosC＝0，这时 c2＝a2＋
b2.由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理
的特例．
4．余弦定理及其推论的基本作用是什么？
答案：(1)已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出
第三边；(2)已知三角形的三条边就可以求出其他角．
题型1
已知两边及夹角解三角形
求 b 及 A.
思维突破：已知两边及其夹角，可直接使用余弦定理求解．
应注意确定 A 的取值范围，根据问题的具体
情况，灵活地选择定理及其变形公式，是解三角形的关键所在．
【变式与拓展】
D
题型2
已知三边解三角形
例2：已知△ABC 的三边长 a＝3，b＝4，c＝ 　 ，求三角
形的最大内角．
思维突破：已知三边，可直接使用余弦定理求解．
在三角形中有“大边对大角，小边对小角”、
“等边对等角，等角对等边”．
【变式与拓展】
3．在△ABC 中，sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶4，则△ABC
是(
)
B
A．锐角三角形
C．直角三角形
B．钝角三角形
D．不能判断
4．已知三角形三边之比 5∶7∶8，则最大角与最小角的和
为__________．
120°
题型3
余弦定理的简单应用
a2＋c2－b2与ac 之间的关系式在解与三角形有
关的问题中经常遇到，应养成自觉使用余弦定理的习惯．
【变式与拓展】
5．在△ABC 中，若 a＝9，b＝10，c＝12，则△ABC 的形
状是__________．
锐角三角形
例4：在不等边△ABC 中，a 为最大边，如果 a2求 A 的取值范围．
则 cosA＝
b2＋c2－a2
2bc
>0.
由于 cosA 在(0°，180°)上为减函数，
且 cos90°＝0，∴A<90°.
又∵A 为△ABC 的内角，∴0°又∵a 是最大边，∴A>60°.
因此得 A 的取值范围是(60°，90°)．
试解：∵a20.
易错点评：审题不细心，对已知条件的弱用．题设a 为最
大边，而同学们很可能只把a 看做是三角形的普通的一条边，
从而造成解题错误．
1．余弦定理是三角形边角之间关系的共同规律，勾股定理
是余弦定理的特例．
2．已知两边及其中一边所对角用余弦定理解方程的方法求
解时可能有两个解，注意用边与角之间的关系特点进行取舍．