(共34张PPT)
§1 集合
1.1 集合的概念与表示
第1课时 集合的含义
第一章 预备知识
情境导学·探新知
NO.1
指定的某些对象
每个对象
不相同
确定性
互异性
无序性
元素a属于集合A
a∈A
元素a不属于集合A
a A
合作探究·释疑难
NO.2
类型1 集合的概念
类型2 元素与集合的关系
类型3 集合中元素的特性及应用
当堂达标·夯基础
NO.3
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
5
1
2
3
4
求解根据集合中元素的确定性,解出字母的所有取值
检验根据集合中元素的互异性,对解出的值进行检验
作答2
写出所有符合题意的字母的取值第1课时 集合的含义
学 习 目 标 核 心 素 养
1．通过实例了解集合的含义．(难点)2．掌握集合中元素的三个特性．(重点)3．体会元素与集合的“属于”关系，记住常用数集的表示符号并会应用. 1．通过集合概念的学习，逐步养成数学抽象素养．2．借助集合中元素的互异性的应用，培养逻辑推理素养.
1．集合与元素的概念是什么？
2．如何用字母表示集合与元素？
3．元素与集合之间有哪两种关系？
4．常见的数集有哪些？分别用什么符号表示？
知识点1 元素与集合的相关概念
1．集合：把指定的某些对象的全体称为集合，通常用大写英文字母A，B，C，…表示．
2．元素：集合中的每个对象叫作这个集合的元素，通常用小写英文字母a，b，c，…表示．
3．集合中元素的性质：一个集合中的任何两个元素都不相同，也就是说，集合中的元素没有重复，集合中元素的特性：确定性，互异性，无序性．
(1)集合中的元素只能是数、点、代数式吗？
(2)某班所有的“帅哥”能否构成一个集合？
(3)某班身高高于175厘米的男生能否构成一个集合？
[提示] (1)集合中的元素可以是数学中的数、点、代数式，也可以是现实生活中的各种各样的事物或人等．
(2)不能．因为“帅哥”没有明确的标准．
(3)能．因为标准确定．
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)接近于0的数可以组成集合．( )
(2)用“book”中的字母构成的集合中元素的个数为4个．( )
[答案] (1)× (2)×
[提示] (1)接近于0没有明确的标准．
(2)由集合中元素的互异性可知，该集合中共有“b”“o”“k”三个元素．
知识点2 元素与集合的关系
1．属于：如果元素a在集合A中，就说元素a属于集合A，记作a∈A.
2．不属于：如果元素a不在集合A中，就说元素a不属于集合A，记作a A.
元素与集合之间有第三种关系吗？
[提示] 没有，对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a A”这两种结果．
2.已知集合A中含有两个元素a－3和2a－1，若3∈A，则实数a的值为________．
2或6 [∵3∈A，∴3＝a－3或3＝2a－1.
若3＝a－3，则a＝6.此时集合A中含有两个元素3,11，符合题意；
若3＝2a－1，则a＝2，此时集合A中含有两个元素－1,3，符合题意．
综上所述，实数a的值为2或6.]
知识点3 常见的数集及符号表示
数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 正实数集
符号 N N＋或N* Z Q R R＋
N与N＋(N*)有何区别？
[提示] N＋(N*)是所有正整数组成的集合，而N是由0和所有的正整数组成的集合，所以N比N＋(N*)多一个元素0.
3.用“∈”或“ ”填空
________N；－3________Z；________Q；0________N*；________R.
[答案] ∈ ∈
类型1 集合的概念
【例1】 下列给出的对象中，能构成集合的是( )
①小于0的所有实数；②与0非常接近的实数；③中国著名的高等院校；④中国双一流的高等院校
A．①③ B．②④
C．①④ D．③④
C [“非常接近”“著名”等词所描述的对象没有确定性，故选C.]
判断所描述的对象构成集合的标准
判断所描述的对象能否构成集合，关键看所描述的对象是否具有确定性，如果具有确定性，就可以组成集合；否则，就不能组成集合．在集合元素的三个特性中，元素的确定性是其本质属性．
1．判断下列说法是否正确，并说明理由．
(1)所有素数能组成一个集合．
(2)数轴上的一些点能组成一个集合．
(3)正偶数的全体可以组成一个集合．
(4)大于2 015且小于2 020的所有整数不能组成集合．
[解] (1)正确，素数具有确定性．
(2)不正确，“一些点”的标准不明确．
(3)正确，正偶数具有确定性．
(4)不正确，具有确定性，能组成集合．
类型2 元素与集合的关系
【例2】 (1)下列所给关系正确的个数是( )
①π∈R；② Q；③0∈N*；④|－5| N*.
A．1 B．2
C．3 D．4
(2)已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，那么a为( )
A．2 B．2或4
C．4 D．0
(1)B (2)B [(1)π是实数，是无理数，0不是正整数；|－5|＝5,5是正整数，则①②正确，故选B.
(2)由题知，a＝2∈A,6－a＝4∈A，∴a＝2或者a＝4∈A,6－a＝2∈A，∴a＝4，
综上知，a＝2,4.故选B.]
1．判断元素与集合关系的2种方法
(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可．
(2)推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征．
2．已知元素与集合的关系求参数的思路
当a∈A时，则a一定等于集合A中的某个元素．反之，当a A时，结论恰恰相反．
利用上述结论建立方程(组)或不等式(组)求解参数即可，注意根据集合中元素的互异性对求得的参数进行检验．
2．已知集合A中的元素x是被3除余2的整数，则有：17________A，－5________A(用“∈”“ ”填空)．
∈ [由题意可设x＝3k＋2，k∈Z，
令3k＋2＝17得，k＝5∈Z.所以17∈A.
令3k＋2＝－5得，k＝－ Z.
所以－5 A.]
3．已知集合A中有四个元素0,1,2,3，集合B中有三个元素0,1,2，且元素a∈A，a B，则a的值为________．
3 [∵a∈A，a B，∴由元素与集合之间的关系知，a＝3.]
类型3 集合中元素的特性及应用
【例3】 已知集合A含有两个元素a和a2，则实数a的取值范围是________．
a≠0且a≠1 [因为A中有两个元素a和a2，所以a≠a2，解得a≠0且a≠1.]
本例若加上条件“1∈A”，其他条件不变，求实数a的值．
[解] 若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1.
当a＝1时，集合A有重复元素，不符合元素的互异性，
∴a≠1；
当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1符合元素的互异性．∴a＝－1.
根据集合中元素的特性求解字母取值(范围)的3个步骤
4．已知集合A含有两个元素1和a2，若“a∈A”，求实数a的值．
[解] 由a∈A可知，
当a＝1时，此时a2＝1，与集合元素的互异性矛盾，所以a≠1.
当a＝a2时，a＝0或a＝1(舍去)．
综上可知，a＝0.
1．下列说法正确的是( )
A．某班中年龄较小的同学能够组成一个集合
B．由1,2,3和，1，组成的集合不是同一个集合
C．不超过20的非负数组成一个集合
D．方程(x－1)(x＋1)2＝0的所有解组成的集合中有3个元素
C [A项中元素不确定．B项中两个集合元素相同，因为集合中的元素具有无序性，所以两个集合表示同一个集合．D项中方程的解分别是x1＝1，x2＝x3＝－1.由互异性知，构成的集合中有2个元素．]
2．已知集合A中的元素x满足x－1<，则下列各式正确的是( )
A．3∈A且－3 A B．3∈A且－3∈A
C．3 A且－3 A D．3 A且－3∈A
D [∵3－1＝2>，∴3 A.
又－3－1＝－4<，∴－3∈A.]
3．(多选)下列说法正确的有( )
A．集合N中的元素都是集合N＋中的元素
B．集合N中的元素都是集合Z中的元素
C．集合Q中的元素都是集合Z中的元素
D．集合Q中的元素都是集合R中的元素
BD [因为集合N＋表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集，所以A、C中的说法不正确，B、D中的说法正确，故选BD.]
4．已知集合A中的元素是自然数，且满足“若a∈A，则4－a∈A”，则集合A中最多有________个元素．
5 [由题得：a＝0时，4－0＝4∈A，a＝1时，4－1＝3∈A，
a＝2时，4－2＝2∈A，a＝3时，4－3＝1∈A，
a＝4时，4－4＝0∈A.]
5．已知集合A含有两个元素a＋3和2a＋1，若3∈A，则实数a的值________．
0或1 [∵3∈A，∴或解得：a＝0或a＝1.]
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5(共56张PPT)
§1 集合
1.1 集合的概念与表示
第2课时 集合的表示
第一章 预备知识
情境导学·探新知
NO.1
一一列举
{ }
满足的条件
{x及x的范围|x满足的条件}
共同特征
有限
无限
不含任何
(－∞，＋∞)
合作探究·释疑难
NO.2
类型1 用列举法表示集合
类型2 用描述法表示集合
类型3 用区间表示集合
类型4 集合表示法的应用
数学阅读·拓视野
NO.3
当堂达标·夯基础
NO.4
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
5
1
2
3
4第2课时 集合的表示
学 习 目 标 核 心 素 养
1.掌握集合的两种表示方法．(列举法、描述法)．(重点)2．能够利用集合的两种表示方法表示一些简单集合．(难点)3．在具体情境中，了解空集的含义．(易错点) 1.通过对集合的表示过程，培养学生的数学抽象素养．2．通过对某些集合描述法表示改为列举法表示的过程，培养学生的数学运算素养.
1．集合有哪两种常用表示方法？它们如何定义？
2．列举法的使用条件是什么？如何用符号表示？
3．描述法的使用条件是什么？如何用符号表示？
4．根据集合中元素的多少，集合分为哪几类？
知识点1 列举法
把集合中的元素一一列举出来写在花括号“{__}”内表示集合的方法，一般可将集合表示为{a，b，c，…}．
一一列举元素时，需要考虑元素的顺序吗？
[提示] 用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序．例如：{a，b}与{b，a}表示同一个集合．
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)由1,1,2,3组成的集合可用列举法表示为{1,1,2,3}．( )
(2)集合{(1,2)}中的元素是1和2.( )
[答案] (1)× (2)×
2.不等式x－3<2且x∈N*的解集用列举法可表示为________．
[答案] {1,2,3,4}
知识点2 描述法
通过描述元素满足的条件表示集合的方法叫作描述法．一般可将集合表示为{x及x的范围|x满足的条件}，即在花括号内先写上集合中元素的一般符号及范围，再画一条竖线“|”，在竖线后写出集合中元素所具有的共同特征．
集合A＝{x|x－1＝0}与集合B＝{1}表示同一个集合吗？
[提示] A＝{x|x－1＝0}＝{1}与集合B表示同一个集合．
3.由大于－1小于5的自然数组成的集合用列举法表示为________，用描述法表示为________．
{0,1,2,3,4} {x∈N|－1
知识点3 集合的分类
1．有限集：含有有限个元素的集合．
2．无限集：含有无限个元素的集合．
3．空集：不含任何元素的集合，记作 .
{0}与 相同吗？
[提示] 不同．{0}表示一个集合，且集合中有且仅有一个元素0；而 表示空集，其不含有任何元素，故{0}与 不相同．
4.下列集合中，是空集的为________(填序号)．
①{0}；②{x|x>8且x<5}；③{x∈N|x2＋1＝0}；
④{x|x>4}；⑤{(x，y)|x2＝－y2，y∈R}．
[答案] ②③
5.下列集合中________是有限集，________是无限集．(填序号)
①由小于8的正奇数组成的集合；
②由大于5且小于20的实数组成的集合；
③由小于0的自然数组成的集合．
①③ ② [①因为小于8的正奇数为1,3,5,7，所以其组成的集合是有限集．
②因为大于5且小于20的实数有无数个，所以其组成的集合是无限集．
③因为小于0的自然数不存在，所以其组成的集合是空集，含有0个元素，所以其组成的集合是有限集．]
知识点4 区间及相关概念
1．区间的概念及记法
设a，b是两个实数，且a定义 名称 符号 数轴表示
{x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b]
{x|a{x|a≤x{x|a2．无穷大
实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．
3．特殊区间的表示
定义 区间 数轴表示
{x|x≥a} [a，＋∞)
{x|x>a} (a，＋∞)
{x|x≤b} (－∞，b]
{x|x(1)区间是数集的另一种表示方法，那么任何数集都能用区间表示吗？
(2)“∞”是数吗？以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端可以是中括号吗？
[提示] (1)不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示．
(2)“∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数．以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端必须是小括号．
6.用区间表示下列数集：
(1){x|x≥1}＝________；
(2){x|2(3)R＝________；
[答案] (1)[1，＋∞) (2)(2,3] (3)(－∞，＋∞)
类型1 用列举法表示集合
【例1】 用列举法表示下列集合：
(1)不大于10的非负偶数组成的集合；
(2)方程x3＝x的所有实数解组成的集合；
(3)一次函数y＝2x＋1的图象与y轴的交点所组成的集合．
[解] (1)因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是{0,2,4,6,8,10}．
(2)方程x3＝x的解是x＝0或x＝1或x＝－1，所以方程的解组成的集合为{0,1，－1}．
(3)将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是(0,1)，
故交点组成的集合是{(0,1)}．
用列举法表示集合的3个步骤
(1)求出集合的元素；
(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；
(3)用花括号括起来．
注意：用列举法表示集合，要求元素不重复、不遗漏、不计次序，且元素与元素间用“，”隔开．
1．若集合A＝{(1,2)，(3,4)}，则集合A中元素的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
B [集合A＝{(1,2)，(3,4)}中有两个元素(1,2)和(3,4)．]
2．用列举法表示下列给定的集合：
(1)大于1且小于6的整数组成的集合A；
(2)方程x2－9＝0的实数根组成的集合B.
[解] (1)因为大于1且小于6的整数包括2,3,4,5，
所以A＝{2,3,4,5}．
(2)因为方程x2－9＝0的实数根为－3,3，
所以B＝{－3,3}．
类型2 用描述法表示集合
【例2】 用描述法表示下列集合：
(1)被3除余1的正整数的集合；
(2)坐标平面内第一象限的点的集合；
(3)大于4的所有偶数．
[解] (1)根据被除数＝商×除数＋余数，可知此集合表示为{x|x＝3n＋1，n∈N*}．
(2)第一象限内的点的横、纵坐标均大于零，故此集合可表示为{(x，y)|x>0，y>0}．
(3)偶数可表示为2n，n∈Z，又因为大于4，故n≥3，从而用描述法表示此集合为{x|x＝2n，n∈Z且n≥3}．
描述法表示集合的2个步骤
注意：描述法的特点是形式简单、应用方便，通常用于表示元素具有明显共同特征的集合，当元素共同特征不易寻找或元素的限制条件较多时，就不宜采用描述法．
3．用适当的方法表示下列集合：
(1)已知集合P＝{x|x＝2n,0≤n≤2且n∈N}；
(2)抛物线y＝x2－2x与x轴的公共点的集合；
(3)一次函数y＝x的图象上去掉原点的点的集合．
[解] (1)列举法：P＝{0,2,4}．
(2)描述法：.
或列举法：{(0,0)，(2,0)}．
(3)描述法：{(x，y)|y＝x，x≠0}．
类型3 用区间表示集合
【例3】 将下列集合用区间及数轴表示出来：
(1){x|x<2}；
(2){x|x≥3}；
(3){x|－1≤x<5}．
[解] (1){x|x<2}用区间表示为(－∞，2)，用数轴表示如下：
(2){x|x≥3}用区间表示为[3，＋∞)，用数轴表示如下：
(3){x|－1≤x<5}用区间表示为[－1,5)，用数轴表示如下：
区间的几何意义可用数轴表示，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点．
4．我们一般称b－a(b>a)为{x|a≤x≤b}所表示的区间长度，则{x|－2≤x≤4}所表示的区间长度为________．
6 [由题意得，所求区间长度为4－(－2)＝6.]
类型4 集合表示法的应用
【例4】 若集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A.
[解] 当k＝0时，原方程变为－8x＋16＝0，x＝2.
此时集合A＝{2}．
当k≠0时，则关于x的一元二次方程kx2－8x＋16＝0有两个相等实数根，只需Δ＝64－64k＝0，即k＝1.
此时方程的解为x1＝x2＝4，集合A＝{4}，满足题意．
综上所述，实数k的值为0或1.当k＝0时，A＝{2}；当k＝1时，A＝{4}．
1．(变条件)若集合A中有2个元素，求k的取值范围．
[解] 由题意得
解得k<1，且k≠0.
2．(变条件)若集合A中至多有一个元素，求k的取值范围．
[解] ①当集合A中含有1个元素时，由例4知，k＝0或k＝1；
②当集合A中没有元素时，方程kx2－8x＋16＝0无解，即
解得k>1.
综上，实数k的取值集合为{k|k＝0或k≥1}．
集合与方程综合问题的解题策略
(1)对于一些已知某个集合(此集合中涉及方程)中的元素个数，求参数的问题，常把集合的问题转化为方程的解的问题．如对于方程ax2＋bx＋c＝0，当a＝0，b≠0时，方程有一个解；当a≠0时，若Δ＝0，则方程有两个相等的实数解；若Δ<0，则方程无解；若Δ>0，则方程有两个不等的实数解．
(2)集合与方程的综合问题，一般要求对方程中最高次项的系数的取值进行分类讨论，确定方程实数根的情况，进而求得结果．需特别注意判别式在一元二次方程的实数根个数的讨论中的作用．
5．已知集合A＝{x|x2－ax＋b＝0}，若A＝{2,3}，求a，b的值．
[解] 由A＝{2,3}知，方程x2－ax＋b＝0的两根为2,3，由根与系数的关系得因此a＝5，b＝6.
以实际问题为背景的集合问题(材料型)
幼升小不仅是对孩子的考察，更是对家长的一次考验，每年，家有即将幼升小的家长们，最关心的就是自家的娃能否进入心心念念的学校，所在区的招生是更看中户口还是房子？入学顺位如何呢？某市东城区今年率先发布了幼升小入学政策：
1．本市户籍适龄儿童入学．凡年满6周岁(2014年8月31日以前出生)的具有东城区常住户口及东城区房屋产权证(监护人持有)的适龄儿童均需参加学龄人口信息采集，免试就近登记入学．
2．非东城区户籍无房家庭，长期在东城区工作、居住，符合在东城区同一地址承租并实际居住3年以上且在住房租赁监管平台登记备案、夫妻一方在东城区合法稳定就业3年以上等条件的本市非东城区户籍无房家庭适龄子女，需要在东城区接受义务教育的，参加信息采集，通过五证审核后，通过电脑派位在东城区内多校划片入学．
该市东城区2020年的入学顺位可以参考2019年公布的入学顺位说明：
第一顺序：“本片区户口＋房屋产权所有人是儿童本人或其父或母”；
第二顺序：“房屋产权所有人是儿童本人或其父或母＋本市户口”；
第三顺序：“本片区户口＋‘四老’房屋产权”；
第四顺序：“本片区集体户口＋房屋产权所有人是儿童本人或其父或母”；
第五顺序：“七类人＋房屋产权所有人是儿童本人或其父或母”；
第六顺序：“本片区户口＋军产房或部队证明及住房”；
第七顺序：“本片户口＋‘(外)曾祖父’房屋产权”．
[问题探究]
1．若在东城区满足入学条件的儿童作为一个集合A，试用描述法表示该集合．
[提示] A＝{x|x具有本片区户口且房屋产权所有人是本人或其父或母，或房屋产权所有人是本人或其父或母且具有本市户口，或具有本片区户口且有“四老”房屋产权，或是七类人且房屋产权所有人是本人或其父或母，或具有本片区户口且有军产房或部队证明及住房，或具有本片区户口及“(外)曾祖父”房屋产权}．
2．某儿童a具有该市户口(非本区)，a是集合A的元素吗？
[提示] a不一定是A中的元素，由于a不是东城区户口，还需满足房屋产权所有人为儿童本人或其父或母．
3．某儿童b的父母在东城区有房屋产权，b是集合A中的元素吗？
[提示] b不一定是A中的元素，因为b不一定具有本片区户口.
1．下列集合的表示方法正确的是( )
A．第二、四象限内的点集可表示为{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R}
B．不等式x－1<4的解集为{x<5}
C．{全体整数}
D．实数集可表示为R
D [A中应是xy<0，B中应为{x|x<5}，C中“{}”与“全体”意思重复，故选D.]
2．区间(－3,2]用集合可表示为( )
A．{－2，－1,0,1,2} B．{x|－3C．{x|－3C [由区间和集合的关系可得，区间(－3,2]可表示为{x|－33．下列四个集合中，不同于另外三个集合的是( )
A. B．
C. D．
B [的元素是x＝2，故选B.]
4．方程组的解集可表示为________(填序号)．
①； ②；
③{1,2}； ④{(x，y)|x＝1，y＝2}．
①②④ [原方程组的解为其解集中只含有一个元素，可表示为①②④.]
5．设A＝{4，a}，B＝{2，ab}，若A与B的元素相同，则a＋b＝________.
4 [因为A与B的元素相同，
所以即a＝2，b＝2.故a＋b＝4.]
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8(共40张PPT)
§1 集合
1.2 集合的基本关系
第一章 预备知识
情境导学·探新知
NO.1
封闭曲线
任何一个
A B
包含于
包含
子集
子集
A＝B
A B
A≠B
A A
合作探究·释疑难
NO.2
类型1 集合间的关系的判断
类型2 子集个数问题
类型3 集合间的关系的应用
数学阅读·拓视野
NO.3
当堂达标·夯基础
NO.4
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
5
1
2
3
4集合的基本关系
学 习 目 标 核 心 素 养
1．理解集合之间的包含与相等的含义，能识别集合的子集．(重点)2．能使用Venn图表达集合间的基本关系，会判断集合间的关系．(难点、易错点) 1．通过对集合之间包含与相等的含义以及子集、真子集概念的学习，培养数学抽象素养．2．借助子集、真子集的应用，培养逻辑推理素养.
1．集合与集合之间的关系有哪几种？如何用符号表示这些关系？
2．集合的子集是什么？真子集又是什么？如何用符号表示？
1．Venn图
用平面上封闭曲线的内部表示集合，称为Venn图．
2．子集、集合相等、真子集
子集 集合相等 真子集
概念 一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都属于集合B，称集合A是集合B的子集，记作A B(或B A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 如果集合A是集合B的子集，且集合B也是集合A的子集，那么称集合A与集合B相等，记作A＝B 对于两个集合A与B，如果A B，且A≠B，那么称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”)
图示
结论 (1)任何一个集合都是它本身的子集，即A A(2)空集是任何集合的子集，即 A(3)对于集合A，B，C，如果A B，且B C，那么A C 若A＝B且B＝C，则A＝C (1)若AB且BC，则AC(2)若A B且A≠B，则AB
(1)任意两个集合之间是否有包含关系？
(2)符号“∈”与“ ”有什么区别？
[提示] (1)不一定，如集合A＝{1,3}，B＝{2,3}，这两个集合就没有包含关系．
(2)①“∈”是表示元素与集合之间的关系，比如1∈N，－1 N.
②“ ”是表示集合与集合之间的关系，比如N R，{1,2,3} {3,2,1}．
③“∈”的左边是元素，右边是集合，而“ ”的两边均为集合．
1.已知集合P＝{－1,0,1,2}，Q＝{－1,0,1}，则( )
A．P∈Q B．P Q
C．Q P D．Q∈P
C [集合Q中的元素都在集合P中，所以Q P.]
2.已知集合A＝{x|－1A．BA B．AB
C．BA [由题意结合集合在数轴上的表示确定两集合的关系即可．如图所示，由图可知，BA.
]
3.设a∈R，若集合{2,9}＝{1－a,9}，则a＝__________.
－1 [因为{2,9}＝{1－a,9}，则2＝1－a，所以a＝－1.]
类型1 集合间的关系的判断
【例1】 判断下列各组中集合间的关系．
(1)A＝，B＝{x|x是等边三角形}；
(2)A＝，B＝；
(3)A＝，B＝；
(4)A＝，B＝.
[解] (1)因为等边三角形一定是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形，故BA.
(2)A＝B.
(3)把集合A与B在数轴上表示出来，根据定义易得AB.
(4)A＝，B＝，又，所以AB.
判断集合间关系的常用方法
(1)列举观察法
当集合中元素较少时，可列举出集合中的全部元素，通过定义得出集合之间的关系．
(2)集合元素特征法
先确定集合的代表元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断得出集合之间的关系．
一般地，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，①若由p(x)可推出q(x)，则A B；②若由q(x)可推出p(x)，则B A；③若p(x)，q(x)可互相推出，则A＝B；④若由p(x)推不出q(x)，由q(x)也推不出p(x)，则集合A，B无包含关系．
(3)数形结合法
利用数轴或Venn图可清晰、明了地判断集合间的关系，其中不等式的解集之间的关系，适合用数轴法．
1．(多选)下列关系中，正确的有( )
A．0∈{0} B． {0}
C．{0,1}{(0,1)} D．{(1,2)}＝{(2,1)}
AB [对于A，集合{0}中含有1个元素0，所以0∈{0}正确；对于B，由于空集是任何非空集合的真子集，所以{0}正确；对于C，{0,1}是数集，{(0,1)}是点集，所以C错误；对于D，{(1,2)}与{(2,1)}是不同的点集，所以D错误．]
2．能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的Venn图是( )
A B C D
B [解x2－x＝0得x＝1或x＝0，故N＝{0,1}，易得NM，其对应的Venn图如选项B所示．]
3．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{1,2}，C＝{x|x<8，x∈N}，用适当的符号填空：
(1)A________B；(2)A________C；
(3){2}________C；(4)2________C.
(1)＝ (2) (3) (4)∈ [集合A为方程x2－3x＋2＝0的解集，即A＝{1,2}，而C＝{x|x<8，x∈N}＝{0,1,2,3,4,5,6,7}．故(1)A＝B；(2)AC；(3){2}C；(4)2∈C.]
类型2 子集个数问题
【例2】 已知M ，试写出满足条件的所有集合M.
[解] 集合M含有元素1,2，且含有3,4,5中的至少一个元素，依据集合元素的个数分类列举如下：
含有3个元素：，，；
含有4个元素：，，；
含有5个元素：.
故满足条件的集合M共有上述7个集合．
求集合子集、真子集个数的3个步骤
4．已知集合A＝{－1,0,1}，则含有元素0的A的子集的个数为( )
A．2 B．4
C．6 D．8
B [根据题意，含有元素0的A的子集为{0}，{0,1}，{0，－1}，{－1,0,1}，共4个．]
5．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集及真子集．
[解] ∵A＝{(x，y)|x＋y＝2，x∈N，y∈N}，
∴A＝{(0,2)，(1,1)，(2,0)}，
∴A的子集有 ，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}，{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．
A的真子集有 ，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}．
类型3 集合间的关系的应用
【例3】 已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}，且B A，求实数m的取值范围．
[解] 当B＝ 时，有m＋1≥2m－1，得m≤2，
当B≠ 时，有解得2＜m≤4.
综上得m≤4.
1．对于本例中的集合A，B，是否存在实数m使A B
[解] 若A B，则 ，该不等式组无解，故实数m不存在．
2．若将本例中的“A＝{x|－2≤x≤7}”改为“A＝”，其他条件不变，求实数m的取值范围．
[解] 当B＝ 时，有m＋1≥2m－1，得m≤2，
当B≠ 时，有或解得m≥6，综上得m≤2或m≥6.
由集合的包含关系求参数的方法
(1)当集合为不连续实数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论；
(2)当集合为连续实数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，应注意端点处是实点还是虚点．
注意：(1)不能忽视集合为 的情形．
(2)当集合中含有字母参数时，一般要分类讨论．
6．已知集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，BA，求m的值．
[解] A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}．
因为BA，所以B＝{－3}或B＝{2}或B＝ .
当B＝{－3}时，
由m·(－3)＋1＝0，得m＝.
当B＝{2}时，
由m·2＋1＝0，得m＝－.
当B＝ 时，m＝0.
综上所述，m＝或m＝－或m＝0.
子集个数的探究
观察下表并回答后面的问题．
集合B 集合A 关系 集合C的所有子集 集合C的个数
{a} {a，b} B C A {a}，{a，b} 2
{a} {a，b，c} B C A {a}，{a，b}，{a，c}，{a，b，c} 4
{a} {a，b，c，d} B C A {a}，{a，b}，{a，c}，{a，d}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{a，b，c，d} 8
[问题探究]
1．若集合A有n个元素，则集合A有多少个子集？多少个真子集？多少个非空真子集？
[提示] 若集合A含有n个元素，则集合A有2n个子集；其真子集要去掉集合A本身，故有2n－1个；非空真子集要去掉集合A本身与空集，故有2n－2个．
2．对于有限集A，B，C，设集合A中含有n个元素，集合B中有m个元素(n，m∈N，且n>m)．
(1)当B C A时，满足条件的C有多少个？
(2)如果集合C分别满足如下条件：B CA，BC A，BCA，那么C的个数为多少？
[提示] (1)由表格中的集合可知，若B C A，则集合C中一定有集合B的全部元素，也就是A中元素去掉B中元素后剩余元素构成的集合的子集，故有2n－m个．
(2)①当B CA时，在问题(1)的基础上，去掉与A集合相等的集合，故满足条件的C有2n－m－1个．
②当BC A时，在问题(1)的基础上，去掉与B集合相等的集合，故满足条件的C有2n－m－1个．
③当BCA时，在问题(1)的基础上，去掉与A，B相等的两个集合，故有
2n－m－2个.
1．下列命题中正确的是( )
A．空集没有子集
B．空集是任何一个集合的真子集
C．任何一个集合必有两个或两个以上的子集
D．设集合B A，那么，若x A，则x B
D [空集有唯一一个子集，就是其本身，故A、C错误；空集是任何一个非空集合的真子集，故B错误；由子集的概念知D正确．]
2．已知集合A＝{x|x＝3k，k∈Z}，B＝{x|x＝6k，k∈Z}，则A与B之间的最适合的关系是( )
A．A B B．A B
C．AB D．AB
D [集合A是能被3整除的整数组成的集合，集合B是能被6整除的整数组成的集合，所以BA.]
3．集合A＝真子集的个数是( )
A．3 B．4
C．7 D．8
C [因为A＝，所以其真子集的个数是23－1＝7.]
4．已知集合A {0,1,2}，且集合A中至少含有一个偶数，则这样的集合A的个数为________．
6 [集合{0,1,2}的子集为： ，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}，其中含有偶数的集合有6个．]
5．设集合A＝{1,3，a}，B＝{1,1－2a}，且B A，则a的值为________．
－1或 [由题意得1－2a＝3或1－2a＝a，
解得a＝－1或a＝.
当a＝－1时，A＝{1,3，－1}，B＝{1,3}，符合条件．
当a＝时，A＝，B＝，符合条件．
所以a的值为－1或.]
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7(共33张PPT)
§1 集合
1.3 集合的基本运算
第1课时 交集与并集
第一章 预备知识
情境导学·探新知
NO.1
又
A∩B
A交B
{x|x∈A，且x∈B}
B∩A
A
A∪B
A并B
{x|x∈A，或x∈B}
B∪A
A
A
合作探究·释疑难
NO.2
类型1 交集运算
类型2 并集运算
类型3 由集合的并集、交集求参数
当堂达标·夯基础
NO.3
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
5
1
2
3
4第1课时 交集与并集
学 习 目 标 核 心 素 养
1．理解两个集合的交集与并集的含义，会求两个集合的交集与并集．(重点、难点)2．能使用Venn图表达集合的关系与运算，体会图示对理解抽象概念的作用．(难点) 1．借助Venn图培养直观想象素养．2．通过并集与交集的运算，提升数学运算素养.
1．两个集合的并集与交集的含义是什么？
2．如何用Venn图表示集合的并集与交集？
3．并集与交集有哪些性质？
知识点1 交集
文字语言 一般地，由既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的集合，叫作集合A与B的交集，记作A∩B读作“A交B”
符号语言 A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}
图形语言
运算性质 A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩ ＝ ∩A＝ ，(A∩B) A，(A∩B) B，A B A∩B＝A
(1)当集合A，B无公共元素时，A与B有交集吗？
(2)若A∩B＝A，则A与B有什么关系？
[提示] (1)有，交集为空集．
(2)若A∩B＝A，则A B.
1.已知集合A＝{－1,0,1,2}，B＝{－1,0,3}，则A∩B＝________.
[答案] {－1,0}
2.若集合A＝{x|－32}；C＝{x|x≤－3}，则A∩B＝________，A∩C＝________.
[答案] {x|2知识点2 并集
文字语言 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，叫作集合A与B的并集，记作A∪B读作“A并B”
符号语言 A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}
图形语言
运算性质 A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪ ＝ ∪A＝A，A (A∪B)，B (A∪B)，A B A∪B＝B
(1)集合A∪B的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数和？
(2)在什么条件下，集合A∪B的元素个数等于集合A与B的元素个数之和？
[提示] (1)不一定，A∪B的元素个数小于或等于集合A与集合B的元素个数和．
(2)A∩B＝ .
3.设集合M＝{4,5,6,8}，N＝{3,5,7,8}，则M∪N＝________.
[答案] {3,4,5,6,7,8}
4.已知A＝{x|x>1}，B＝{x|x>0}，则A∪B＝________.
[答案] {x|x>0}
类型1 交集运算
【例1】 (1)∩{x|x是等边三角形}＝________.
(2)∩＝( )
A. B．
C. D．
(3)已知集合A＝，B＝{6,8,10,12,14}，则集合A∩B元素的个数为( )
A．5 B．4
C．3 D．2
(1){x|x是等边三角形} (2)A (3)D [(1)因为 {x|x是等腰三角形}，
所以∩＝{x|x是等边三角形}．
(2)如图，
所以{x|－1≤x≤2}∩{x|0≤x≤4}＝.
(3)因为8＝3×2＋2；14＝3×4＋2，
所以A∩B＝.]
1．在进行集合的交集运算时，要根据交集的定义进行运算，尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时要用Venn图表示；集合元素是连续时用数轴表示，但要注意端点值的取舍．
2．恰当地运用交集的交换律与结合律，可简化运算过程．
1．(1)已知集合A＝，B＝，则A∩B＝( )
A. B．
C. D．
(2)设集合A＝，B＝，若A∩B≠ ，则实数a的取值范围是( )
A．－12
C．a≥－1 D．a>－1
(1)A (2)D [(1)由交集的定义可知，A∩B＝.
(2)在数轴上表示两集合，
由上图可知，当a>－1时，A∩B≠ .]
类型2 并集运算
【例2】 (1)设集合A＝，B＝{x|x2－2x＝0}，则A∪B＝
( )
A. B．
C. D．
(2)已知集合M＝，N＝，则M∪N＝( )
A. B．
C. D．
(3)已知集合A＝，B＝，且A∪B＝{1,4，x2}，则满足条件的实数x的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
(1)D (2)A (3)A [(1)因为A＝，B＝{0,2}，所以A∪B＝{－2,0,2}．
(2)如图，在数轴上表示两集合，
所以M∪N＝.
(3)由A∪B＝，得x＝x2，又x≠1，所以x＝0.]
在进行集合的并集运算时
(1)若集合是用列举法表示的，可以直接用并集的定义求解，但要注意集合元素的互异性．
(2)若集合是连续的数集，可以借助数轴进行运算．
2．(1)已知集合A＝，B＝，则A∪B＝( )
A. B．
C. D．
(2)设集合A＝，B＝，则A∪B＝________.
[答案] (1)A (2)
类型3 由集合的并集、交集求参数
【例3】 已知集合A＝{x|－3[解] ①当B＝ 时，即k＋1>2k－1时，k<2，满足A∪B＝A.
②当B≠ 时，要使A∪B＝A，
只需解得2≤k≤.
综合①②可知k≤.
1．(变条件)把本例条件“A∪B＝A”改为“A∩B＝A”，试求k的取值范围．
[解] 由A∩B＝A可知A B.
所以
即
所以k∈ .
所以k的取值范围为 .
2．(变条件)把本例条件“A∪B＝A”改为“A∪B＝{x|－3[解] 由题意可知解得k＝3.
所以k的值为3.
利用集合交集、并集的性质解题的方法
(1)在利用集合的交集、并集性质解题时，常常会遇到A∩B＝A，A∪B＝B等这类问题，解答时常借助于交、并集的定义及上节学习的集合间的关系去分析，如A∩B＝A A B，A∪B＝B A B等，解答时应灵活处理．
(2)当集合B A时，如果集合A是一个确定的集合，而集合B不确定，运算时一定要考虑B＝ 的情况，切不可漏掉．
3．已知M＝{1,2，a2－3a－1}，N＝{－1，a,3}，M∩N＝{3}，则实数a的值为________．
4 [因为M∩N＝{3}，所以a2－3a－1＝3，
解得a＝－1或a＝4.
又N＝{－1，a,3}，所以a≠－1，所以a＝4.]
1.∩＝( )
A. B．
C. D．
[答案] D
2．已知集合A＝{x|－3≤x<4}，B＝{x|－2≤x≤5}，则A∪B＝( )
A．{x|－3≤x≤5} B．{x|－2≤x<4}
C．{x|－2≤x≤5} D．{x|－3≤x<4}
A [因为集合A＝{x|－3≤x<4}，集合B＝{x|－2≤x≤5}，所以A∪B＝{x|－3≤x≤5}．]
3．设集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，C＝{2,3,4}，则(A∩B)∪C等于( )
A．{1,2,3} B．{1,2,4}
C．{2,3,4} D．{1,2,3,4}
D [因为A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，
所以A∩B＝{1,2}．又C＝{2,3,4}，
所以(A∩B)∪C＝{1,2}∪{2,3,4}＝{1,2,3,4}．]
4．已知集合A＝{x|－11}，则A∪B＝( )
A．{x|－1C．{x|x>－1} D．{x|x>1}
C [由题可知A＝{x|－11}，则A∪B＝{x|x>－1}．]
5．设集合A＝，B＝{(x，y)|x－y＝2}，则集合A∩B＝________.
[A∩B＝＝{(1，－1)}．]
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6(共31张PPT)
§1 集合
1.3 集合的基本运算
第2课时 全集与补集
第一章 预备知识
情境导学·探新知
NO.1
全集
U
所有不属于
x∈U，且x A
U
A
合作探究·释疑难
NO.2
类型1 补集运算
类型2 交、并、补的综合运算
类型3 补集及补集思想的应用
当堂达标·夯基础
NO.3
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
5
1
2
3
4
M
N第2课时 全集与补集
学 习 目 标 核 心 素 养
1．了解全集的含义及符号表示．(重点) 2．理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定集合的补集．(重、难点)3．会用Venn图、数轴进行集合的运算．(重点) 1．通过补集的运算，培养数学运算素养．2．借助集合对实际生活中的对象进行判断归类，培养数学抽象素养.
1．全集的含义是什么？
2．补集的含义是什么？
3．如何理解“ UA”的含义？
4．如何用Venn图表示 UA
1．全集：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫作全集，常用符号U表示．全集包含所要研究的这些集合．
在集合运算问题中，全集一定是实数集吗？
[提示] 全集是一个相对性的概念，只包含研究问题中涉及的所有的元素，所以全集因问题的不同而异．
2．补集：(1)定义：设U是全集，A是U的一个子集(即A U)，则由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫作U中子集A的补集，记作 UA.
(2)符号： UA＝{x|x∈U，且x A}．
(3)Venn图
(4)补集的性质
①A∪( UA)＝U.
②A∩( UA)＝ .
③ UU＝ ， U ＝U， U( UA)＝A.
④( UA)∩( UB)＝ U(A∪B)．
⑤( UA)∪( UB)＝ U(A∩B)．
UA，A，U三者之间有什么关系？
[提示] A U， UA U，A∪( UA)＝U，A∩( UA)＝ .
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)数集问题的全集一定是R.( )
(2)集合 BC与 AC相等．( )
(3)A∩ UA＝ .( )
(4)一个集合的补集中一定含有元素．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×
2.设全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,3,5}，则 UM＝________.
{2,4,6} [因为全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,3,5}，所以 UM＝{2,4,6}．]
类型1 补集运算
【例1】 已知全集U，A＝{x|23}，B＝{x|4≤x＜6}，求 UB.
[解] 因为A＝{x|23}，如数轴：
所以U＝A∪( UA)＝{x|x>2}，
所以 UB＝{x|2求集合补集的2种方法
(1)当集合用列举法表示时，直接用定义或借助Venn图求解；
(2)当集合是用描述法表示的连续实数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解．
1．(1)已知集合A＝{x|x＜1}，则 RA＝( )
A．{x|x＞1} B．x≥1
C．{x|x≥1} D．
(2)设集合A＝，B＝，则 AB＝( )
A. B．
C. D．
(1)C (2)C [(1)结合补集的定义，借助数轴知 RA＝{x|x≥1}．
(2)因为A＝，所以 AB＝.]
类型2 交、并、补的综合运算
【例2】 设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2[解] 把全集R和集合A、B在数轴上表示如下：
由图知，A∪B＝{x|2∴ R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}，
∵ RA＝{x|x<3或x≥7}，
∴( RA)∩B＝{x|2解决集合交、并、补运算的技巧
(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn图来求解．
(2)如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题．
2．(1)已知U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,3,5,7}，B＝{2,4,5}，则 U(A∪B)＝
( )
A．{6,8} B．{5,7}
C．{4,6,7} D．{1,3,5,6,8}
(2)设集合A＝{x|1A．(1,4) B．(3,4)
C．(1,3) D．(1,2)∪(3,4)
(1)A (2)B [(1)∵A∪B＝{1,2,3,4,5,7}，∴ U(A∪B)＝{6,8}．
(2)∵ RB＝∪，∴A∩( RB)＝(3,4)．]
类型3 补集及补集思想的应用
【例3】 设全集U＝R，A＝，B＝{x|－2[解] 法一： UA＝＝，
∵∩B＝ ，
∴－m≤－2，∴m≥2.
法二：A＝，由∩B＝ ，得A B，
∴－m≤－2，∴m≥2.
1．若将本例中的“∩B＝ ”改为“∩B＝B”，求实数m的值．
[解] 由已知得 UA＝， UA B，所以－m≥4，解得m≤－4.
2．若将本例中的“∩B＝ ”改为“∪A＝R”，求实数m的值．
[解] 由已知得，A＝，A B，所以－m≤－2，解得m≥2.
3．若将本例中的“∩B＝ ”改为“∩B≠ ”，求实数m的值．
[解] 由例3知，当∩B＝ 时，m≥2，所以当∩B≠ 时，m<2.
1．要注意下面五个关系式A∩B＝A、A∪B＝B、 UA UB、A∩＝ 、∪B＝U都与A B等价．
2．对于一些难于从正面入手的问题，在解题时，可以从问题的反面入手，往往能化难为易，从而将问题解决．这就是“正难则反”的解题策略．该策略运用的是补集思想，即已知全集U，求子集A，若直接求A困难，则可先求 UA，再由 U＝A求A.
1．设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，则 UM＝( )
A．U B．{1,3,5}
C．{3,5,6} D．{2,4,6}
C [∵U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，∴ UM＝{3,5,6}．]
2．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，M＝{1,2}，N＝{2,5}，则如图所示，阴影部分表示的集合是( )
A．{3,4,5} B．{1,3,4}
C．{1,2,5} D．{3,4}
D [由图可知，阴影部分表示的集合是 U(M∪N)．
∵M∪N＝{1,2,5}，
又U＝{1,2,3,4,5}，
∴ U(M∪N)＝{3,4}．]
3．设集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，则 U(A∩B)等于( )
A．{2,3} B．{1,4,5}
C．{4,5} D．{1,5}
B [∵A∩B＝{2,3}，∴ U(A∩B)＝{1,4,5}．]
4．已知全集U＝R，M＝{x|－1{x|x<1，或x≥2} [∵U＝R， UN＝{x|0∴N＝{x|x≤0，或x≥2}，
∴M∪N＝{x|－15．设U＝R，A＝{x|a≤x≤b}，若 UA＝{x|x<3，或x>4}，则a＋b________.
7 [由题意知a＝3，b＝4，则a＋b＝7.]
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