(共39张PPT)
§2 常用逻辑用语
2.1 必要条件与充分条件
第一章 预备知识
情境导学·探新知
NO.1
q
p
q
p
p
q
必要
充分
p q
q p
p q
等价
充要
合作探究·释疑难
NO.2
类型1 充分、必要、充要条件的判断
类型2 必要条件、充分条件的应用
当堂达标·夯基础
NO.3
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
5
1
2
3
4必要条件与充分条件
学 习 目 标 核 心 素 养
1．通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系．(重点)2．通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系．(重点)3．通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系．(重点、难点) 1．通过必要条件、充分条件的判断，提升逻辑推理素养．2．借助必要条件、充分条件的应用，培养数学运算素养.
1．什么是必要条件？
2．什么是充分条件？
3．什么是充要条件？
知识点1 必要条件与性质定理
一般地，当命题“若p，则q”是真命题时，称q是p的必要条件．也就是说，一旦q不成立，p一定也不成立，即q对于p的成立是必要的．
知识点2 充分条件与判定定理
一般地，当命题“若p，则q”是真命题时，称p是q的充分条件．
综上，对于真命题“若p，则q”，即p q时，称q是p的必要条件，也称p是q的充分条件．
(1)p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同？
(2)以下五种表述形式：①p q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗？
[提示] (1)相同，都是p q.
(2)这五种表述形式是等价的．
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)“两角不相等”是“两角不是对顶角”的必要条件．( )
(2)若p是q的充分条件，则p是唯一的．( )
(3)若q不是p的必要条件，则“pq”成立．( )
(4)“x>1”是“x>0”的充分条件．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√
2.设集合M＝{x|0[答案] 必要
知识点3 充要条件
(1)一般地，如果p q，且q p，那么称p是q的充分且必要条件，简称p是q的充要条件，记作p q.
(2)p是q的充要条件也常常说成“p成立当且仅当q成立”，或“p与q等价”．
(3)当p是q的充要条件时，q也是p的充要条件．
(1)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？
(2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？
[提示] (1)正确．若p是q的充要条件，则p q，即p等价于q.
(2)①p是q的充要条件说明p是条件，q是结论．
②p的充要条件是q说明q是条件，p是结论．
3.“x<2”是“<0”的( )
A．充要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] A
4.设p：“四边形为菱形”，q：“四边形的对角线互相垂直”，则p是q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] A
5.若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的________条件．
[答案] 充要
类型1 充分、必要、充要条件的判断
【例1】 下列各题中，p是q的什么条件？(指充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要条件)
(1)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝；
(2)p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直平分；
(3)p：xy>0，q：x>0，y>0；
(4)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形．
[解] (1)因为x＝1或x＝2 x－1＝，x－1＝ x＝1或x＝2，所以p是q的充要条件．
(2)若一个四边形是正方形，则它的对角线互相垂直平分，即p q.反之，若四边形的对角线互相垂直平分，该四边形不一定是正方形，即qp.
所以p是q的充分不必要条件．
(3)因为xy>0时，x>0，y>0或x<0，y<0.
故pq，但q p.
所以p是q的必要不充分条件．
(4)因为
所以p是q的既不充分也不必要条件．
充分、必要、充要条件的判断方法
(1)定义法
若p q，qp，则p是q的充分不必要条件；
若pq，q p，则p是q的必要不充分条件；
若p q，q p，则p是q的充要条件；
若pq，qp，则p是q的既不充分也不必要条件．
(2)集合法
对于集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，具体情况如下：
若A B，则p是q的充分条件；
若A B，则p是q的必要条件；
若A＝B，则p是q的充要条件；
若AB，则p是q的充分不必要条件；
若AB，则p是q的必要不充分条件．
1．指出下列各题中p是q的什么条件
(1)在△ABC中，p：AB＝AC，q：∠B＝∠C；
(2)p：x＝2，q：x>1；
(3)p：a>b，q：>1.
[解] (1)由等腰三角形的性质定理与判定定理知，p是q的充要条件．
(2)x＝2 x>1，但x>1x＝2，故p是q的充分不必要条件．
(3)当b<0时，由a>b，可得<1，由>1，可得a类型2 必要条件、充分条件的应用
【例2】 已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
[解] 由p是q的充分不必要条件，得集合{x|－2≤x≤10}是集合{x|1－m≤x≤1＋m}的真子集，
所以 ，或 ，
解得m≥9.
所以实数m的取值范围是m≥9.
1．把本例中的“p是q的充分不必要条件”改为“p是q的必要不充分条件”，其他条件不变，试求实数m的取值范围．
[解] 由p是q的必要不充分条件，得集合{x|1－m≤x≤1＋m}是集合{x|－2≤x≤10}的真子集，
当＝ ，即m<0时，符合题意；
当≠ ，即m≥0时，
可得 ，
或 ，
解得0≤m≤3.
综上得，实数m的取值范围是m≤3.
2．本例中，是否存在实数m，使p是q的充要条件，若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．
[解] 若p是q的充要条件，
则＝，
即 ，
由于该方程组无解，所以实数m不存在．
利用必要条件与充分条件求参数的取值范围
(1)化简p与q；
(2)把p与q之间的关系转化为相应集合之间的关系；
(3)利用集合之间的关系建立不等式；
(4)解不等式求参数的取值范围．
类型3 充要条件的探求与证明
【例3】 求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是<0.
[证明] ①必要性：因为方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，所以两根之积小于零，即<0.
②充分性：由<0，得ac<0，所以Δ＝b2－4ac>0，所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，设这两个实根分别为x1，x2，由一元二次方程根与系数的关系得x1x2＝<0，
所以两根异号．
综上所述，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是<0.
充要条件的证明思路
(1)在证明有关充要条件的问题时，通常从“充分性”和“必要性”两个方面来证明．在证明时，要注意：若证明“p的充要条件是q”，那么“充分性”是q p，“必要性”是p q；若证明“p是q的充要条件”，则与之相反．
(2)证明充要条件问题，其实质就是证明一个命题的原命题和其逆命题都成立．若不易直接证明，可根据命题之间的关系进行等价转换，然后加以证明．
注意：证明时一定要注意证明的方向性，分清充分性与必要性的证明方向．
2．求证：关于x的方程ax3＋bx2＋cx＋d＝0有一根为1的充要条件是a＋b＋c＋d＝0.
[证明] 充分性：∵a＋b＋c＋d＝0，
∴a×13＋b×12＋c×1＋d＝0成立，
故x＝1是方程ax3＋bx2＋cx＋d＝0的一个根．
必要性：关于x的方程ax3＋bx2＋cx＋d＝0有一个根为1，
∴a＋b＋c＋d＝0，
综上所述，关于x的方程ax3＋bx2＋cx＋d＝0有一根为1的充要条件是a＋b＋c＋d＝0.
1．设x∈R，则“1A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
B [“12．“两个三角形面积相等”是“两个三角形全等”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
B [由两个三角形全等可得：两个三角形面积相等．反之不成立．
即“两个三角形面积相等”是“两个三角形全等”的必要不充分条件．故选B.]
3．设a，b是实数，则“a＋b>0”是“ab>0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
D [若a＋b>0，取a＝3，b＝－2，则ab>0不成立；反之，若ab>0，取a＝－2，b＝－3，则a＋b>0也不成立，因此“a＋b>0”是“ab>0”的既不充分也不必要条件．]
4．在判断定理中，条件是结论的________条件．
[答案] 充分
5．若“x<－1”是“x≤a”的必要不充分条件，则a的取值范围是________．
{a|a<－1} [若“x<－1”是“x≤a”的必要不充分条件，
则{x|x≤a}{x|x<－1}，则a<－1，
即实数a的取值范围是{a|a<－1}．]
PAGE
6(共44张PPT)
§2 常用逻辑用语
2.2 全称量词与存在量词
第一章 预备知识
情境导学·探新知
NO.1
同一种性质
任意
任何
一切
对任意的
一种性质
有一个
存在
存在
存在量词
x∈M，x不具有性质p(x)
全称量词
x∈M，x不具有性质p(x)
合作探究·释疑难
NO.2
类型1 全称量词命题与存在量词命题的判断
类型2 全称量词命题、存在量词命题的真假判断
类型3 含有一个量词的命题的否定
当堂达标·夯基础
NO.3
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4全称量词与存在量词
学 习 目 标 核 心 素 养
1．通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义．(重点)2．能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定．(易错点、难点)3．能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定．(易错点、难点) 1．通过对含量词的命题的否定，培养逻辑推理素养．2．借助含量词的命题的应用，培养数学运算素养.
1．全称量词、全称量词命题的定义是什么？
2．存在量词、存在量词命题的定义是什么？
3．全称量词命题与存在量词命题的否定分别是什么命题？
4．全称量词命题“ x∈M，x具有性质p(x)”的否定是什么？
5．存在量词命题“ x∈M，x具有性质p(x)”的否定是什么？
知识点1 全称量词命题与全称量词
1．全称量词命题
在给定集合中，断言所有元素都具有同一种性质的命题．
2．全称量词
在命题中，诸如“所有”“每一个”“任意”“任何”“一切”这样的词叫作全称量词，用符号“ ”表示，读作“对任意的”．
“相似三角形是全等三角形”是否是全称量词命题？
[提示] 该命题是全称量词命题，只不过省略了全称量词．
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)命题“任意一个自然数都是正整数”是全称量词命题．( )
(2)命题“三角形的内角和是180°”是全称量词命题．( )
(3)命题“梯形有两边平行”不是全称量词命题．( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
2.下列命题是全称量词命题的是________(填序号)．
①每个四边形的内角和都是360°；
②任何实数都有算术平方根；
③ x∈Z，有2x＋1是整数；
④存在一个x∈R，使2x＋1＝3.
[答案] ①②③
知识点2 存在量词命题与存在量词
1．存在量词命题
在给定集合中，断言某些元素具有一种性质的命题．
2．存在量词
在命题中，诸如“有些”“有一个”“存在”这样的词叫作存在量词，用符号“ ”表示，读作“存在”．
“不等式x2－1<0有解”是全称量词命题还是存在量词命题？用符号表示该命题．
[提示] 是存在量词命题，可表示为“ x∈R，x2－1<0”．
3.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)命题“有些菱形是正方形”是全称命题．( )
(2)命题“存在一个菱形，它的四条边不相等”是存在量词命题．( )
(3)命题“有的实数绝对值是正数”是存在量词命题．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√
4.下列语句是存在量词命题的是________(填序号)．
①任意三条线段都能构成三角形；
②存在整数n，使n能被11整除；
③若3x－7＝0，则x＝；
④有些函数为奇函数．
[答案] ②④
知识点3 全称量词命题与存在量词命题的否定
1．全称量词命题的否定
(1)全称量词命题的否定是存在量词命题．
(2)全称量词命题p： x∈M，x具有性质p(x)的否定为： x∈M，x不具有性质p(x)．
2．存在量词命题的否定
(1)存在量词命题的否定是全称量词命题．
(2)存在量词命题p： x∈M，x具有性质p(x)的否定为： x∈M，x不具有性质p(x)．
如何对省略量词的命题进行否定？
[提示] 对于含有一个量词的命题，容易知道它是全称量词命题或存在量词命题．一般地，省略了量词的命题是全称量词命题，可加上“所有的”或“对任意”，它的否定是存在量词命题．反之，亦然．
5.命题“对于任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是________．
[答案] x∈R，x3－x2＋1>0
6.若命题p： x>0，x2－3x＋2>0，则命题p的否定为________．
[答案] x>0，x2－3x＋2≤0
类型1 全称量词命题与存在量词命题的判断
【例1】 判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题：
(1)凸多边形的外角和等于360°；
(2)矩形的对角线不相等；
(3)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；
(4)有些实数a，b能使|a－b|＝|a|＋|b|；
(5)方程3x－2y＝10有整数解．
[解] (1)可以表述为“所有的凸多边形的外角和等于360°”，故为全称量词命题．
(2)可以表述为“所有矩形的对角线不相等”，故为全称量词命题．
(3)“若一个四边形是菱形”，也就是“所有的菱形”，故为全称量词命题．
(4)含存在量词“有些”，故为存在量词命题．
(5)可改表述为“存在一对整数x，y，使3x－2y＝10成立”．故为存在量词命题．
1．判断一个命题是全称量词命题，还是存在量词命题，主要看命题中是否含有全称量词，或者存在量词，有些全称量词命题虽然不含全称量词，但是可以根据命题的意义去判断．
2．存在量词命题真假的判断
要判断存在量词命题“存在x∈M，p”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使得p成立即可；如果在集合M中，使得p成立的x不存在，那么这个存在量词命题就是假命题．
注意：全称量词命题可能省略全称量词，存在量词命题的存在量词一般不能省略．
1．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假．
(1)任意一个二次函数的图象都与y轴相交；
(2)至少有一个整数，它既能被2整除，又能被3整除；
(3)所有的素数都是奇数；
(4)三角形都有外接圆．
[解] (1)是全称量词命题，真命题．
(2)是存在量词命题，真命题．
(3)是全称量词命题，假命题．
(4)是全称量词命题，真命题．
类型2 全称量词命题、存在量词命题的真假判断
【例2】 判断下列命题的真假：
(1) x∈Z，x3<1；
(2)存在一个四边形不是平行四边形；
(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；
(4) x∈N，x2>0.
[解] (1)因为－1∈Z，且(－1)3＝－1<1，所以“ x∈Z，x3<1”是真命题．
(2)真命题，如梯形．
(3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题．
(4)因为0∈N,02＝0，所以命题“ x∈N，x2>0”是假命题．
全称量词命题与存在量词命题的真假判断的技巧
(1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x，使得p(x)不成立即可．
(2)要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x使p(x)成立即可；否则，这个存在量词命题就是假命题．
2．下列是存在量词命题且是真命题的是( )
A． x∈R，x2>0 B． x∈Z，x2>2
C． x∈N，x2∈N D． x，y∈R，x2＋y2<0
B [对于A， x∈R，x2>0是全称量词命题，不合题意；
对于B， x∈Z，x2>2是存在量词命题，且是真命题，满足题意；
对于C， x∈N，x2∈N是全称量词命题，不合题意；
对于D， x，y∈R，x2＋y2<0是存在量词命题，是假命题，不合题意，故选B.]
3．(多选)下列结论中正确的是( )
A． n∈N*,2n2＋5n＋2能被2整除是真命题
B． n∈N*,2n2＋5n＋2不能被2整除是真命题
C． n∈N*,2n2＋5n＋2不能被2整除是真命题
D． n∈N*,2n2＋5n＋2能被2整除是真命题
CD [当n＝1时，2n2＋5n＋2不能被2整除，
当n＝2时，2n2＋5n＋2能被2整除，
所以A、B错误，C、D正确．故选CD.]
类型3 含有一个量词的命题的否定
【例3】 (1)命题“ x≥0，x3＋x≥0”的否定是( )
A． x<0，x3 ＋ x< 0 B． x<0，x3＋ x≥0
C． x≥0，x3＋ x< 0 D． x≥0，x3＋ x< 0
(2)命题“存在x∈Z，x2＋2x＋m≤0”的否定是( )
A．存在x∈Z，x2＋2x＋m>0
B．不存在x∈Z，x2＋2x＋m>0
C．对任意x∈Z，x2＋2x＋m≤0
D．对任意x∈Z，x2＋2x＋m>0
[答案] (1)C (2)D
含有一个量词的命题的否定
(1)首先找到命题中的量词与结论，然后把全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论．
(2)对于省略量词的命题，通常省略的是全称量词，先补上相应的量词，再进行否定．
4．写出下列命题的否定并判断其真假：
(1)若x>0，则x2>0；
(2)矩形的对角线相等；
(3)若集合A是集合B的真子集，则存在x∈B，使得x A；
(4)至少有一个实数x，使x2＋ 1 ＝ 0.
[解] (1)存在x>0，使得x2≤0 ，为假命题．
(2)存在一个矩形，它的对角线不相等，为假命题．
(3)若集合A是集合B的真子集，则对任意x∈B，都有x∈A，为假命题．
(4)对任意x∈R，都有x2＋1≠0，为真命题.
1．下列命题正确的个数是( )
①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题；
②命题“ x∈R，x2＋2<0”是全称量词命题；
③命题“ x∈R，x2＋4x＋4≤0”的否定形式是“ x∈R，x2＋4x＋4>0”．
A．0 B．1
C．2 D．3
C [①命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题，故①错误；
②命题“ x∈R，x2＋2<0”是全称量词命题，故②正确；
③命题“ x∈R，x2＋4x＋4≤0”的否定形式是“ x∈R，x2＋4x＋4>0”，故③正确．故选C.]
2．以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是( )
A．锐角三角形的内角是锐角或钝角
B．至少有一个实数x，使x2≤0
C．两个无理数的和必是无理数
D．存在一个负数x，使>2
B [A是全称量词命题．
B项为存在量词命题，当x＝0时，x2＝0成立，所以B正确．
因为＋(－)＝0，所以C为假命题．
对于任何一个负数x，都有<0，所以D错误．故选B.]
3．命题“ x∈N，x3>x2”的否定形式为( )
A． x∈N，x3≤x2 B． x∈N，x3>x2
C． x∈N，x3D [命题“ x∈N，x3>x2”的否定形式是存在量词命题“ x∈N，x3≤x2”．故选D.]
4．给出四个命题：①偶数都能被2整除；②实数的绝对值大于0；③存在一个实数x，使x＋≤－2；④对顶角相等，其中既是全称量词命题又是假命题的是________．
[答案] ②
5．下列命题中，是全称量词命题的是________；是存在量词命题的是________．(填序号)
①正方形的四条边相等；
②有两个角相等的三角形是等腰三角形；
③正数的平方根不等于0；
④至少有一个正整数是偶数．
①②③ ④ [①可表述为“每一个正方形的四条边相等”，是全称量词命题；②是全称量词命题，即“凡是有两个角相等的三角形都是等腰三角形”；③可表述为“所有正数的平方根不等于0”是全称量词命题；④是存在量词命题．]
PAGE
6
