(共51张PPT)
§4 一元二次函数与一元二次不等式
4.1 一元二次函数
第一章 预备知识
情境导学·探新知
NO.1
|h|
|k|
合作探究·释疑难
NO.2
类型1 二次函数的图象及应用
类型2 一元二次函数图象的应用
类型3 一元二次函数解析式的求法
类型4 一元二次函数在闭区间上的最值问题
当堂达标·夯基础
NO.3
1
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4
2L向上(k>0)或下(k<0平移个单位长度
yad
y=ax the
平移一个
平
向左>
左
(h>0)
单或
位右
或
右
长度
先向左(>0或右(<0平移个单位长度
h<0
0平移k个单位长度
移一个单位长度
h<0)
y=ala+h)
向上(>0)或下k<0平秘个单位长度Ly=a(x+b)2+k一元二次函数
学 习 目 标 核 心 素 养
1．掌握一元二次函数的图象及图象变换．(重点)2．会求一元二次函数的最值及相关问题．(重点、难点) 1．通过学习一元二次函数的图象，培养直观想象素养．2．借助一元二次函数性质的应用，培养逻辑推理素养.
1．函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)中，a，h，k分别对该函数的图象起了什么作用？
2．如何确定函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象开口方向、对称轴、顶点坐标、单调区间和最值？
1．抛物线
通常把一元二次函数的图象叫作抛物线．
2．一元二次函数的图象变换
一元二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象可以由y＝ax2的图象经过向左(或向右)平移|h|个单位长度，再向上(或向下)平移|k|个单位长度而得到．
3．一元二次函数的性质
函数 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)
图象 a>0 a<0
性质 抛物线开口向上，并向上无限延伸 抛物线开口向下，并向下无限延伸
对称轴是x＝－；顶点坐标是
在区间－∞，－上y随x的增大而减小，在区间上y随x的增大而增大 在区间－∞，－上y随x的增大而增大，在区间上y随x的增大而减小
抛物线有最低点，当x＝－时，y有最小值，ymin＝ 抛物线有最高点，当x＝－时，y有最大值，ymax＝
(1)如何把二次函数的一般式化成顶点式？
(2)①能否仅通过平移函数y＝x2的图象得到y＝2的图象？
②二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的参数a对其图象的开口大小与方向有什么影响？
[提示] (1)y＝ax2＋bx＋c＝a＋c＝a＋c
＝a＋c＝a2－＋c＝a2＋
(2)①不能，平移只改变图象的位置，不改变其形状，而二者形状不同．
②当a>0时，图象开口向上，a值越大，开口越小；
当a<0时，图象开口向下，a值越大，开口越大．
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数y＝2x2与y＝－2x2的图象开口大小相同，开口方向相反．( )
(2)函数y＝2(x－1)2＋1的图象可由函数y＝2x2的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到．( )
(3)函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在上y随x的增大而增大．( )
(4)函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在x＝－处取得最大值．( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)×
2.若函数y＝x2＋2(2a－1)x＋2在区间(－∞，7]上y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是( )
A．{－3} B．(－3，＋∞)
C．(－∞，－3] D．[－3，＋∞)
C [由y在(－∞，7]上递减，可知－(2a－1)≥7，所以a≤－3.]
3.函数y＝x2－1的最小值是________．
－1 [y＝x2－1≥－1，所以函数的最小值为－1.]
4.函数y＝x2＋2x＋3的图象可由y＝x2＋x的图象向左移________单位长度，再向上平移________个单位长度得到．
[y＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2，y＝x2＋x＝－，将y＝x2＋x的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度即得到y＝x2＋2x＋3的图象．]
类型1 二次函数的图象及应用
【例1】 在同一坐标系中作出下列函数的图象．
(1)y＝x2；(2)y＝x2－2；(3)y＝2x2－4x.
并分析如何把y＝x2的图象变换成y＝2x2－4x的图象．
[解] 列表：
x －3 －2 －1 0 1 2 3
y＝x2 9 4 1 0 1 4 9
y＝x2－2 7 2 －1 －2 －1 2 7
y＝2x2－4x 30 16 6 0 －2 0 6
描点、连线即得相应函数的图象，如图所示．
由图象可知由y＝x2到y＝2x2－4x的变化过程如下．
法一：先把y＝x2的图象向右平移1个单位长度得到y＝(x－1)2的图象，然后把y＝(x－1)2的图象横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，得到y＝2(x－1)2的图象，最后把y＝2(x－1)2的图象向下平移2个单位长度便可得到y＝2x2－4x的图象．
法二：先把y＝x2的图象向下平移1个单位长度得到y＝x2－1的图象，然后再把y＝x2－1的图象向右平移1个单位长度得到y＝(x－1)2－1的图象，最后把y＝(x－1)2－1的图象横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，便可得到y＝2(x－1)2－2，即y＝2x2－4x的图象．
任意二次函数y＝ax2＋bx＋c都可转化为y＝a(x＋h)2＋k的形式，都可由y＝ax2图象经过适当的平移得到，具体平移方法，如图所示：
上述平移规律为：“h正左移，h负右移”；“k正上移，k负下移”．
1．如何把y＝2x2－4x的图象变换成y＝x2的图象？
[解] ∵y＝2x2－4x＝2(x－1)2－2，
故可先把y＝2x2－4x的图象向上平移2个单位长度得到y＝2(x－1)2的图象，
然后再把y＝2(x－1)2的图象向左平移1个单位长度，得到y＝2x2的图象，
最后把y＝2x2的图象纵坐标变为原来的，便可得到y＝x2的图象．
类型2 一元二次函数图象的应用
【例2】 已知二次函数y＝3x2－2x－1.
(1)求其顶点坐标；
(2)判断其在区间上是增加的还是减小的；
(3) 当x取何值时，y＝0
[解] (1)配方得y＝3x2－2x－1＝32－，
所以其顶点坐标为.
(2)由于该函数在区间上是减小的，且 ，所以该函数在区间上也是减小的．
(3)y＝0，即3x2－2x－1＝0，
解得x＝1或－，
所以，当x＝1或－时，y＝0.
观察图象主要是把握其本质特征：开口方向决定a的符号，在y轴上的交点决定c的符号(值)，对称轴的位置决定－的符号，另外还要注意与x轴的交点、函数的单调性等．
2．如图是一元二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：
①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a
其中正确的是( )
A．②④ B．①④
C．②③ D．①③
B [因为图象与x轴交于两点，
所以b2－4ac>0，即b2>4ac，①正确；
对称轴为x＝－1，即－＝－1,2a－b＝0，②错误；
结合图象，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，③错误；
由对称轴为x＝－1知，b＝2a.又函数图象开口向下，所以a<0，所以5a<2a，即5a类型3 一元二次函数解析式的求法
【例3】 已知一元二次函数的最大值是8，且当x＝2时，y＝－1；当x＝－1时，y＝－1.求此一元二次函数的解析式．
[解] 法一：(利用一般式)：
设y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由题意得解得
∴所求一元二次函数的解析式为y＝－4x2＋4x＋7.
法二：(利用顶点式)：
设y＝a(x－m)2＋n.
∵当x＝2时，y＝－1，且x＝－1时，y＝－1.
∴抛物线的对称轴为x＝＝.
∴m＝.又根据题意知函数有最大值8，
∴n＝8.
∴y＝a2＋8.
又抛物线过点(2，－1)，
∴a2＋8＝－1，解得a＝－4，
∴y＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7.
求一元二次函数解析式的方法，应根据已知条件的特点，选用解析式的形式，利用待定系数法求解．
(1)若已知条件是图象上的三个点，则设所求一元二次函数为一般式y＝ax2＋bx＋c，a，b，c为常数，a≠0的形式．
(2)若已知一元二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大(小)值，则设所求一元二次函数为顶点式y＝a(x－h)2＋k(其中顶点(h，k)，a为常数，a≠0)．
(3)若已知一元二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为(x1,0)，(x2,0)，则设所求一元二次函数为两根式y＝a(x－x1)(x－x2)(a为常数，且a≠0.)．
3．根据下列条件，求一元二次函数的解析式：
(1)图象过点(1,1)，(0,2)，(3,5)；
(2)图象顶点为(1,2)并且过点(0,4)；
(3)图象过点(2,0)，(4,0)，(0,3)．
[解] (1)设函数解析式为y＝ax2＋bx＋c，
由题设知
∴函数解析式为y＝x2－2x＋2.
(2)设所求函数解析式为y＝a(x－1)2＋2.
整理得y＝ax2－2ax＋a＋2，∴a＋2＝4，
∴a＝2.
∴解析式为y＝2x2－4x＋4.
(3)设所求函数解析式为y＝a(x－2)(x－4)，
整理得y＝ax2－6ax＋8a，
∴8a＝3，∴a＝.
∴解析式为y＝(x－2)(x－4)．
类型4 一元二次函数在闭区间上的最值问题
轴定区间定
【例4】 求一元二次函数y＝－x2＋4x－2在区间[0,3]上的最大值和最小值．
[解] 函数y＝－x2＋4x－2＝－(x－2)2＋2是定义在区间[0,3]上的一元二次函数，其对称轴方程是x＝2，顶点坐标为(2,2)，且其图象开口向下，显然其顶点横坐标在[0,3]上，
如图所示．在区间[0,3]上，
函数y在x＝2处取得最大值，即ymax＝2；函数y在x＝0处取得最小值，即ymin＝－2.
轴定区间变
【例5】 如果函数y＝(x－1)2＋1定义在区间[t，t＋1]上，求函数的最小值．
[解] 函数y＝(x－1)2＋1，其对称轴方程为x＝1，顶点坐标为(1,1)，图象开口向上．
如图(1)所示，若顶点横坐标在区间[t，t＋1]左侧时，有t>1，此时，当x＝t时，函数取得最小值ymin＝(t－1)2＋1.
如图(2)所示，若顶点横坐标在区间[t，t＋1]上时，有t≤1≤t＋1，即0≤t≤1.当x＝1时，函数取得最小值ymin＝1.
如图(3)所示，若顶点横坐标在区间[t，t＋1]右侧时，有t＋1<1，即t<0.当x＝t＋1时，函数取得最小值ymin＝t2＋1.
图(1) 图(2) 图(3)
综上可知，ymin＝
轴变区间定
【例6】 求函数y＝－x(x－a)在[－1,1]上的最大值．
[解] 函数y＝－2＋图象的对称轴方程为x＝，应分<－1，－1≤≤1，>1，即a<－2，－2≤a≤2和a>2这三种情形讨论．
(1)当a<－2时，函数大致图象如图①所示，由图可知ymax＝－a－1；
(2)当－2≤a≤2时，函数大致图象如图②所示，由图可知ymax＝；
(3)当a>2时，函数大致图象如图③所示，由图可知ymax＝a－1.
图① 图② 图③
∴ymax＝
求一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)在[m，n]上的最值的步骤：
(1)配方，找对称轴；
(2)判断对称轴与区间的关系；
(3)求最值．若对称轴在区间外，则一元二次函数在[m，n]的端点处取得最值；若对称轴在区间内，则在对称轴取得最小值，最大值在[m，n]端点处取得．
4．当x≥0，y≥0，且x＋2y＝1，那么2x＋3y2的最小值为________．
[由x≥0，y≥0，x＝1－2y≥0知0≤y≤，
令t＝2x＋3y2＝3y2－4y＋2，
∴t＝32＋.
其在上，函数值t随自变量y的增大而减小，当y＝时，t取到最小值，tmin＝.]
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)y＝ax2＋bx＋c是二次函数．( )
(2)函数y＝ax2＋bx＋c的图象一定与y轴相交．( )
(3)二次函数y＝2x2与y＝－2x2的图象开口大小相同，开口方向相反．( )
(4)把函数y＝x2图象上的每一点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，可得到函数y＝2x2的图象．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√
2．函数y＝－(x－1)2＋4的图象的顶点坐标是( )
A．(－1,4) B．(－1，－4)
C．(1，－4) D．(1,4)
[答案] D
3．已知函数y＝ax2＋bx＋c，如果a>b>c且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是
( )
A B C D
D [∵a>b>c，且a＋b＋c＝0，∴a>0，c<0.]
4．若抛物线y＝x2－(m－2)x＋m＋3的顶点在y轴上，则m的值为________．
2 [因为抛物线y＝x2－(m－2)x＋m＋3的顶点在y轴上，所以顶点横坐标－＝＝0，故m＝2.]
5．已知某二次函数的图象与x轴交于A(－2,0)，B(1,0)，且过点C(2,4)，则该二次函数的表达式为_______．
[答案] y＝x2＋x－2
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8(共35张PPT)
§4 一元二次函数与一元二次不等式
4.2 一元二次不等式及其解法
第一章 预备知识
情境导学·探新知
NO.1
一个
2
所有未知数
合作探究·释疑难
NO.2
类型1 一元二次不等式的解法
类型2 含参数的一元二次不等式的解法
类型3 三个“二次”关系的应用
当堂达标·夯基础
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4一元二次不等式及其解法
学 习 目 标 核 心 素 养
1．经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．(重点、难点)2．借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．(难点) 1．通过学习一元二次不等式的学习，培养数学抽象和直观想象素养．2．通过一元二次不等式解集的求解，培养数学运算能力.
1．一元二次不等式的概念是什么？
2．一元二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的解有什么对应关系？
3．求解一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的过程是什么？
知识点1 一元二次不等式的概念
1．定义：一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式叫作一元二次不等式．
2．一般表达式：ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，或ax2＋bx＋c≥0，或ax2＋bx＋c≤0(其中a，b，c均为常数，且a≠0)．
3．解集：使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫作这个一元二次不等式的解集．
(1)不等式x2＋>0是一元二次不等式吗？
(2)一元二次不等式的一般形式中“a≠0”可以省略吗？
[提示] (1)不是，一元二次不等式一定为整式不等式．
(2)不可以，若a＝0，就不是二次不等式了．
1.下面所给关于x的几个不等式：①3x＋4<0；②x2＋mx－1>0；③ax2＋4x－7>0；④x2<0.其中一定为一元二次不等式的有________．(填序号)
[答案] ②④
知识点2 一元二次不等式的求解方法
y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与方程ax2＋bx＋c＝0的实数根、不等式ax2＋bx＋c>0和ax2＋bx＋c<0的解集之间的关系：
y＝ax2＋bx＋c(a>0)
方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
方程ax2＋bx＋c＝0的实数根 x1,2＝(x1函数y＝ax2＋bx＋c的图象
不等式ax2＋bx＋c>0的解集 {x|xx2} R
不等式ax2＋bx＋c<0的解集 {x|x1(1)关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R，a，b，c满足的条件是什么？
(2)关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为 ，a，b，c满足的条件是什么？
[提示] (1) 或 .
(2) 或 .
2.不等式x(x－2)>0的解集为________，不等式x(x－2)<0的解集为________．
[答案] {x|x<0，或x>2} {x|03.不等式3x2－2x＋1>0的解集是________．
R [因为Δ＝(－2)2－4×3×1＝4－12＝－8<0，所以不等式3x2－2x＋1>0的解集为R.]
类型1 一元二次不等式的解法
二次项系数大于0
【例1】 解不等式3x2＋5x－2>0.
[解] 方程3x2＋5x－2＝0的两解是x1＝－2，x2＝.
函数y＝3x2＋5x－2的图象是开口向上的抛物线，与x轴有两个交点(－2,0)和.观察图象(下图)可得，
不等式的解集为.
二次项系数小于0
【例2】 解不等式－2x2＋3x＋2≤0.
[解] 原不等式化为2x2－3x－2≥0，∵2x2－3x－2＝0的两解为x1＝－，x2＝2，且a＝2>0，
∴不等式2x2－3x－2≥0的解集是.即原不等式的解集是.
一元二次不等式一般解题步骤
(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零；
(2)计算对应方程的判别式，若判别式不小于零，求出相应的一元二次方程的根；
(3)画出对应函数的简图，由图象得出不等式的解集．
1．解不等式：x2>2x－1.
[解] 原不等式化为x2－2x＋1>0.
∵Δ＝0，
∴方程x2－2x＋1＝0有两相等实根x1＝x2＝1.
函数y＝x2－2x＋1的图象是开口向上的抛物线，如下图
观察图象可得，原不等式的解集为{x|x≠1}．
类型2 含参数的一元二次不等式的解法
【例3】 解关于x的不等式ax2＋2x＋1<0.
[解] (1)当a＝0时，不等式的解集为，
(2)当a>0时，Δ＝4－4a，
①Δ>0即0不等式的解集为；
②Δ≤0即a≥1时，
不等式的解集为 .
(3)当a<0时，Δ＝4－4a>0，
不等式的解集为{x|x<或x>}．
解含参数的一元二次不等式时，应对系数中的参数进行讨论：
(1)讨论二次项系数的符号，即相应二次函数图象的开口方向．
(2)讨论判别式的符号，即相应二次函数图象与x轴交点的个数．
(3)当Δ>0时，讨论相应一元二次方程两根的大小．
简记为“一a，二Δ，三两根大小”.
最后对系数中的参数进行完全分类，即将(－∞，＋∞)分成若干个区间，根据相应二次函数在各个区间的值，写出一元二次不等式的解集．
2．解关于x的不等式x2－ax－2a2<0.
[解] 原不等式变形为(x－2a)(x＋a)<0.
①若a>0，则－a②若a<0，则2a③若a＝0，则原不等式即为x2<0，此时解集为 .
类型3 三个“二次”关系的应用
【例4】 (1)若不等式ax2＋bx－2＜0的解集为，则ab＝( )
A．－28 B．－26
C．28 D．26
(2)若关于x的不等式ax2－6x＋a2<0的解集为(1，m)，则实数a的值为________，m的值为________．
(1)C (2)2 2 [(1)－2，是方程ax2＋bx－2＝0的两根，∴
∴a＝4，b＝7.∴ab＝28.
(2)由题意可知1，m是方程ax2－6x＋a2＝0的两个根，且a>0，所以解得]
一元二次不等式解集逆向应用问题的解法及步骤
(1)求解方法：
由已知不等式的解可转化为一元二次方程的两根，从而由根与系数的关系，找出系数a，b，c之间的关系，写出不等式的解集．
(2)求解步骤：
第一步：审结论——明确解题方向
如要解ax2＋bx＋c<0，首先确定a的符号，最好能确定a，b，c的值．
第二步：审条件——挖掘题目信息
利用一元二次方程的根与一元二次不等式的解集的关系列出关于a，b，c的方程组，用c表示a，b.
第三步：建联系——找解题突破口
由给定不等式的解集形式→确定关于a，b，c的方程组→用c表示a，b→代入所求不等式→求解ax2＋bx＋c<0的解集．
3．已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是 ，则不等式x2－bx－a＜0的解集是( )
A．(2,3)
B．(－∞，2)∪(3，＋∞)
C．(，)
D．(－∞，)∪(，＋∞)
A [依题意，－ 与－是方程ax2－bx－1＝0的两根，
则 即
又a＜0，不等式x2－bx－a＜0可化为x2－x－1＞0，即－x2＋x－1＞0，
解得2＜x＜3.]
1．不等式x2－3x＋2＜0的解集为( )
A．(－∞，－2)∪(－1，＋∞)
B．(－2，－1)
C．(－∞，1)∪(2，＋∞)
D．(1,2)
D [∵(x－1)(x－2)＜0，
∴1＜x＜2.
故原不等式的解集为(1,2)．]
2．下列四个不等式：
①－x2＋x＋1≥0；②x2－2x＋>0；③x2＋6x＋10>0；④2x2－3x＋4<1.其中解集为R的是( )
A．① B．②
C．③ D．④
C [①显然不可能；②中Δ＝(－2)2－4×>0，解集不为R；③中Δ＝62－4×10<0.满足条件；④中不等式可化为2x2－3x＋3<0，所对应的二次函数开口向上，显然不可能．故选C.]
3．设集合S＝{x||x|<5}，T＝{x|x2＋4x－21<0}，则S∩T＝( )
A．{x|－7C．{x|－5C [S＝{x|－5∴S∩T＝{x|－54．不等式2x2＋x－15<0的解集为________．
[由2x2＋x－15＝(2x－5)(x＋3)<0，得－3∴原不等式的解集为.]
5．不等式ax2＋5x＋c>0的解集为，则a＝________，c＝________.
－6 －1 [由题意知，方程ax2＋5x＋c＝0的两根为x1＝，x2＝，由根与系数的关系得x1＋x2＝＋＝－，x1x2＝×＝，解得a＝－6，c＝－1.]
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6(共31张PPT)
§4 一元二次函数与一元二次不等式
4.3 一元二次不等式的应用
第一章 预备知识
情境导学·探新知
NO.1
合作探究·释疑难
NO.2
类型1 分式不等式的解法
类型2 不等式恒成立问题
类型3 一元二次不等式的实际应用
当堂达标·夯基础
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4一元二次不等式的应用
学 习 目 标 核 心 素 养
1．经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程．了解一元二次不等式的现实意义．(重点)2．能够构建一元二次函数模型，解决实际问题．(重点、难点) 1．通过从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，培养数学抽象素养．2．通过构建一元二次函数模型，培养数学建模和数学运算素养.
利用不等式解决实际问题的一般步骤是什么？
1．分式不等式的解法
类型 同解不等式
>0(其中a，b，c，d为常数) 法一： ，或 ；法二：>0.
≥0(其中a，b，c，d为常数) 法一： ，或 ；法二：.
>k(其中a，b，c，d，k为常数) 先移项转化为>0，再求解
对于分式不等式的其他类型，可仿照上述方法求解．
已知集合A＝，则集合 RA与相等吗？
[提示] 不相等， RA＝.
2．建立一元二次不等式模型的步骤
(1)阅读理解，认真审题，分析题目中有哪些已知量和未知量，找准不等关系．
(2)设出起关键作用的未知量，用不等式表示不等关系(或表示成函数关系)．
(3)解不等式(或求函数的最值)．
(4)回扣实际问题.
类型1 分式不等式的解法
【例1】 解不等式≤3.
[解] 原不等式可化为－3≤0，即≤0，
∴≥0，
∴ 解得x≥或x<0.
故原不等式的解集为{x|x≥或x<0}．
分式不等式一般解题步骤
(1)移项并通分，不等式右侧化为“0”；
(2)转化为同解的整式不等式；
(3)解整式不等式．
1．不等式≥0的解集是( )
A．[2，＋∞) B．(－∞，1]∪(2，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－∞，1)∪[2，＋∞)
D [原不等式可化为
解得x≥2或x＜1，
故原不等式的解集为(－∞，1)∪[2，＋∞)．]
类型2 不等式恒成立问题
【例2】 若x2－x＋3<0对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围．
[解] 由题意可知当m＋1＝0，即m＝－1时，原不等式可化为2x－6<0，
解得x<3，不符合题意，应舍去．
当m＋1≠0时，
若x2－x＋3<0对任何实数x恒成立，则有
解得m<－.
综上所述，实数m的取值范围是.
一元二次不等式在R上的恒成立问题
(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，对任意实数x∈R恒成立的条件是
(2)一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，对任意实数x∈R恒成立的条件是
(3)一元二次不等式ax2＋bx＋c<0，对任意实数x∈R恒成立的条件是
(4)一元二次不等式ax2＋bx＋c≤0，对任意实数x∈R恒成立的条件是
注意：当不等式ax2＋bx＋c>0未说明为一元二次不等式时，对任意实数x∈R恒成立时满足的条件为或
2．已知不等式ax2＋4x＋a＞1－2x2对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围．
[解] 原不等式等价于(a＋2)x2＋4x＋a－1＞0对一切实数x恒成立，显然a＝－2时，解集不是R，因此a≠－2，
从而有
整理得所以
所以a＞2.
故a的取值范围是(2，＋∞)．
类型3 一元二次不等式的实际应用
【例3】 某农贸公司按每担200元收购某农产品，并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x个百分点，预测收购量可增加2x个百分点．
(1)写出税收y(万元)与x的函数关系式；
(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围．
[解] (1)降低税率后的税率为%，农产品的收购量为a万担，收购总金额为200a(1＋2x%)．
依题意：y＝200a%＝a(100＋2x)(10－x)(0(2)原计划税收为200a·10%＝20a(万元)．
依题意得：a≥20a×83.2%，
化简得，x2＋40x－84≤0，
∴－42≤x≤2.又∵0∴x的取值范围是{x|0解不等式应用题的步骤
3．某种商品原来定价为每件p元，每月将卖出n件．假若定价上涨x成(x成即，0 [解] 依题意，涨价后的售货金额为npz＝p·n·，∴np > np.
∵n＞0，p＞0，y＝x，
∴＞1.
整理得x2－5x＜0，解得0＜x＜5.
又∵0＜x≤10，∴0＜x＜5.
故x的取值范围是{x|0＜x＜5}.
1．不等式≥0的解集为( )
A．{x|1≤x≤2} B．{x|x≤1或x≥2}
C．{x|1≤x<2} D．{x|x>2或x≤1}
D [由题意可知，不等式等价于
∴x>2或x≤1.故选D.]
2．不等式≥1的解集是( )
A．{x|x<－1或－1C．{x|x≤2} D．{x|－1D [∵≥1，∴－1≥0，∴≥0，即≤0，等价于(x－2)(x＋1)<0或x－2＝0，故－13．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件售价提高1元，销售量就会减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，售价每件应定为( )
A．12元 B．16元
C．12元到16元之间 D．10元到14元之间
C [设售价定为每件x元，利润为y，
则y＝(x－8)[100－10(x－10)]，
依题意有(x－8)[100－10(x－10)]>320，
即x2－28x＋192<0，解得12所以每件售价应定为12元到16元之间．]
4．若实数a，b满足a＋b<0，则不等式<0的解集为________．
{x|x>－a或x(x＋a)(b－x)<0 (x－b)(x＋a)>0.
又a＋b<0，所以b<－a.
所以原不等式的解集为{x|x>－a或x5．某地每年销售木材约20万m3，每立方米的价格为2 400元．为了减少木材消耗，决定按销售收入的t%征收木材税，这样每年的木材销售量减少t万m3，为了既减少了木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t的取值范围是________．
{t|3≤t≤5} [设按销售收入的t%征收木材税时，税金收入为y万元，
则y＝2 400×t%＝60(8t－t2)．
令y≥900，即60(8t－t2)≥900，解得3≤t≤5.]
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