北师大版五年级上册4.2《认识底和高》教案

《认识底和高》
教材分析：
学生已经认识梯形、平行四边形以及三角形的特征、初步认识平行四边形和梯形的高、掌握运用三角尺或直尺画垂线的方法，是学生学习平行四边形、三角形和梯形面积计算的基础。“高”在小学阶段一直是学生理解非常抽象的几何知识。以往的教学中，高被打乱在四年级和五年级各册教材中，让学生对高的理解变得零散而没有系统化。
学情分析：
我们对学生高的认知进行一个简单的前测，通过前测分析发现，如果平行线位置上下平行，学生可以基本可以掌握并能画出多条高，部分认为高就是平行线之间的距离。如下图：
但左右平行的平行线学生有一半学生没有关注也可以产生一组高，有学生不能解释为什么梯形的两条腰之间不能作高。
从前测的结果中可以发现，学生对于简单的高作图技能可以过关，但是对高的印象只停留在直观、模糊的层次上。
教学思考：
教学底和高，肯定涉及认识概念。尽管小学概念教学中，某些概念没有给出严格的定义或者只是给出模糊的定义，对于以往的老教材，对底和高也没有给出科学的定义。但如果数学概念“只能意会，不能言传”，那就丢失了数学本身最重要的“对客观世界的定性把握和定量刻画”的意义了。因此，教师应在尽量保证“高”概念科学性的前提下，寻找合理的教学方法，引导学生从“适当模糊”到“趋向本质”来理解概念。
教学目标：
1.回忆辨析平行四边形、梯形的底和高，认识三角形的高；会画高。
2.经历多次对比，将学生原认知的高与定义中的高进行辨析，从而建构对高概念的理解。
3.在学习过程中，将点到直线的垂线段与三种图形的高建立联系，体会转化思想。
教学重点：从定义的角度认识高、会画高
教学难点：将点到直线的垂线段与三种图形的高建立联系
教学过程：
一、回顾与辨析，旧知识新起点
① ② ③ ④ ⑤
1.快速判断图中的线段是不是平行四边形或梯形的高，是的请找出对应的底。
2. （1）平行四边形的高辨析。
学生可能的情况如下：①号图中第一条不是高，高必须是对边上的一个点向对边作垂线。②号图中两组不同方向的高判断出现分歧。
教师引导：平行四边形中高的必须从哪里找点？找到点之后向哪里作垂直线段？小结：平行四边形的高就是平行边上的一点到它对边的垂直距离。
（2）梯形的高辨析。
学生可能对④、⑤表示的线段产生分歧，教师引导：梯形中的高从哪里找点？梯形的高和平行四边形有什么相同和不同？小结：梯形的高必须是平行边上的一点到对边的距离，也就是上底到下底的距离。
3.尝试总结平行四边形的高和梯形的高的定义。
板贴高的定义：
平行边上的一点到对边的垂直线段
平行边上的一点到对边的垂直线段
【教学意图：学生已经学过平行四边形和梯形的高，还是出现“高”的辨析错误，这是生活中的高是“竖着的”“垂直于地面”的负经验的影响，以及尽管学过高但仍对高停留在较为表面的认知。以学生的操作技能进入，对高辨析判断，真正理解两种图形高的定义，让学生对高的理解更贴近数学本质。】
二、尝试与理解，新方法促认知
1.猜：请你猜一猜，你觉得三角形的高是什么样子的？
2.画：现在也给大家三角形的定义，你能根据定义试着画出三角形的高吗？
板贴：顶点到对边的垂直线段
3.辨：反馈学生所画的高。
① ②
学生可能出现的情况：②号不是三角形的高，但是如果摆正了是三角形的高。
②号是三角形的高，无论三角形怎么摆放都是它的高。
教师引导：如果三角形的位置不移动，如何判断这是三角形的高？三角形位置不停转动，还是三角形的高吗？小结：不管三角形怎么摆放，三角形的高就是从顶点到对边的垂直线段。
4.思：三角形有几条高？你是如何找到的？
【教学意图：猜想引入，基于从概念角度认识平行四边形和梯形的经验，给出概念后，以概念为指导完成画图、辨析、思考三步曲，反之以三步曲促进学生对三角形高的定义内涵的真正掌握，并非只停留在文字表面的理解。】
三、沟通与联系，新旧知识合一体
刚才我们研究了三种图形的高，它们有什么相同点和不同点？
1.沟通相同点。
打通三“高”相同点。
学生容易发现概念中的关键词：都是点到对边的垂直线段。教师引导：这条对边就是一条线，点到对边的垂直线段，就是我们刚学习的点到线的距离。
沟通新旧知识，发现底和高的本质。
这条对边就是我们所说的底，这个距离就是我们要找的高。
2.区分不同点。
教师引导：三种图形的高为什么数量不同？
三角形的点是三个顶点，有3条高。平行四边形和梯形是平行边上的任意一点都可以，平行四边形有2组高（无数条），梯形有1组高（无数条）。
【教学意图：联系与区别，让学生从一种图形“高的认知”走向所有图形“高的认知”。三种高概念的对比学习，学生发现高的本质其实就是点到线的垂直线段。将抽象的高认知转化为过去所学的“点到线的垂直线段”这一旧知也就是高的本质，再进一步区分不同图形中高的不同是源于高的点的位置不同，三角形的高必须从顶点作高，只有三条高；平行四边形和梯形的高是平行边上任意一点作高，所以有无数条。让高在学生眼里不再“飘忽不定”。】
四、应用与归纳，技能促概念深化
1.自主尝试画高。根据刚才我们对高的认识，试着画出三角形指定的底上的高。
2.交流反馈学生作品，加深概念认知。
（1）学生示范画指定的底上的高，讲解画高步骤。
（2）教师依据学生作图，引导总结画高步骤：先确定底和顶点，再作顶点到底的垂直线段
（3）小结：原来根据高的概念就可以知道画高的方法。
板书：画高三步骤 定点 定线 作垂直线段
3.学生修改，调整画法。三种图形给定底，作出对应的高
学生画高，同桌交流画法，反馈。
【教学意图：在学生已有画平行四边形和梯形的高的作图技能基础上，通过自主尝试画指定三角形底的高→归纳画高要点→沟通画高步骤与高概念之间的联系→再次练习巩固，既以画高技能加深了对高概念的认知，又以高的概念促进了学生画高技能的掌握。】
五、练习与拓展，面积认识作铺垫
在方格纸上画一个底为6cm的三角形。（每个小方格的边长表示1cm）
1.在格子图中，给出一条长6格的线段，你能想象三角形的形状吗？
再给出一个点位置，现在你能现象这个三角形的形状吗？教师动态演示点向上逐渐移动，三角形的形状发生什么变化？
2.底不变，点向右移动，三角形的形状又发生了什么变化？
3.画一个高相同的平行四边形，高相同的梯形。
【教学意图：通过三角形高的位置变化，让学生初步感受三角形的面积会随着高的高度变化而变化，不会随着高的位置移动而变化。】
板书设计：
画高三步骤：定点 定线 作垂直线段
教学反思：
在人教版教材四上第五单元《平行四边形和梯形》中，学生虽然对平行四边形和梯形的高已经有初步认知，并能完成简单的画高技能，但在后续的学习中，学生总是遇到关于“高”的各种问题，高在学生心目中其实是以“形态各异”“抽象迷茫”的形象出现的。因此高一直是教学难点也是学生认知的难点，以往一种图形的高老师都觉得教的非常吃力，学生认知困难，需要好几节进行巩固强化，因此沟通三种图形的高，让学生从概念角度认识高的本质，是非常有必要的。
依据学生认知起点，突破难点。
通过课前对学生的了解，发现学生对高的认知普遍存在“高就是竖着的一条线段，斜着就不是，底就是下面的一条线段”这样的认知特点，这是学生基于生活经验对高做出的判断。我们以三角形高的认知为载体，结合三角形高的概念，转动三角形的高的位置，让学生明白：不管三角形的位置如何转动，只要是从顶点到对边的垂直线段，就是三角形的高”。突破学生生活经验带来的高位置上的负认知。
2.通过判断辨析高的认知，结合画高，打通三种图形之间高的联系，培养“几何观念”的基本素养。
如何在一节课中让学生建立对高的真正认知。画高是其中一项重技能，很多老师以此来检验学生对高是否已经掌握扎实，但是这不是对高认知唯一的一项检验标准。这节课通过辨析平行四边形和三角形的高，认知高的本质，理解高的概念，再抛出概念认识三角形的高，再沟通与联系三种图形的高，借助高的概念本质引导学生学会判断哪些是真正的高。意在借助概念帮助学生抛开生活经验带来的负影响，认识真正数学中的高。
打通三种图形高的联系，发现高就是“一个点到对边的垂直距离”，将高的认知归到本位其实就是“点到线的垂直距离”。找到了这个重要的本质特点，再结合画高，提炼画高可以先“定点，定线，画垂直线段”，既巩固了高的概念认知，又以概念促进了学生对画高技能的掌握。真正体现对学生“几何观念”素养的培养。
3.为新知识作铺垫，加深高的后续认知。
数学知识并不是孤立独立的，沟通高的本质其实就是学生已有认识的“点到线的垂直”之后，通过两个层次为后续高的变化在面积中的变化认识做铺垫：底不变，高度变化面积也变化；底不变，高度不变位置变化但面积不变。学生通过这样的学习方式，能够区分于以往对高是“孤立”“抽象”的印象，从整个知识体系建立对高更全面的认识。
高
顶点到对边的垂直线段
平行边上的一点到对边的垂直线段
平行边上的一点到对边的垂直线段