(共35张PPT)
章末综合提升
第一章 预备知识
巩固层·知识整合
NO.1
提升层·题型探究
NO.2
类型1 集合及其数学思想
类型2 充分条件与必要条件
类型3 利用基本不等式求最值
类型4 全称量词命题与存在量词命题
体验层·真题感悟
NO.3
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
5
1
2
3
4
元素的确定性
集合的概念
元素的互异性
元素的无序性
列举法
集合集合的表示
描述法
真子集
包含关系
子集
相等关系
集合间的关系
交集
运算关系
并集
补集
必要条件
充分条件
充要条件
全称量词
常用逻辑用语
全称量词
全称量词命题
全称量词命题的否定
存在量词
存在量词
存在量词命题
存在量词命题的否定
不等式的性质
不等式
基本不等式
解法
元二次函数
元二次不等式
应用第1章 预备知识
类型1 集合及其数学思想
【例1】 (1)已知全集U＝{1,2,3,4}，A＝{1,2}，B＝{2,3}，则 U(A∪B)＝
( )
A．{1,3,4} B．{3,4}
C．{3} D．{4}
(2)已知集合A＝{x|－3＜x＜3}，B＝{x|2k－1＜x＜2k＋1}，且A∪B＝A，则实数k的取值范围是_______．
(3)已知集合A＝{x|x2－4mx＋2m＋6＝0}，B＝{x|x＜0}，若A∩B≠ ，则实数m的取值范围是_______．
(1)D (2)－1≤k≤1 (3){m|m≤－1} [(1)∵A∪B＝{1,2,3}，∴ U(A∪B)＝{4}．
(2)由A∪B＝A，得A B，又B≠ ，则，解得－1≤k≤1.
(3)设全集U＝{m|Δ≥0}＝{m|(－4m)2－4(2m＋6)≥0}＝.
若方程x2－4mx＋2m＋6＝0的两根x1，x2均非负，
则解得m≥，
∵在U中的补集为{m|m≤－1}．
∴实数m的取值范围是{m|m≤－1}．]
1．交集思想
许多数学问题是求同时满足若干个条件p1，p2，…，pn的解，如果把满足各条件的对象表示成集合A1，A2，…，An，则Q＝A1∩A2∩…∩An就是问题的解集．如列方程组或不等式组解应用题等，都是运用交集思想方法解题的具体体现．
2．并集思想
有些数学问题需要分若干种情况讨论，若将问题分为n类，每类问题的解集为A1，A2，…，An，则Q＝A1∪A2∪…∪An就是问题的解集．
3．补集思想
“正难则反”策略是指当某一问题从正面解决困难时，我们可以从其反面入手解决．这种“正难则反”策略运用的是补集思想，即已知全集U，求子集A，若直接求A困难，可先求 UA，再由 U( UA)＝A求A.
1．(1)若全集U＝{1,2,3,4,5,6)，M＝{2,3}，N＝{1,4}，则集合{5,6}等于
( )
A．M∪N B．M∩N
C．( UM)∪( UN) D．( UM)∩( UN)
(2)已知A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，( UB)∩A＝{9}，则A＝( )
A．{1,3} B．{3,7,9}
C．{3,5,9} D．{3,9}
(3)已知关于x的不等式>2的解集为A，且3 A，则实数a的取值范围为________．
(1)D (2)D (3){a|a≤1} [(1)因为M∪N＝{1,2,3,4}，所以( UM)∩( UN)＝ U(M∪N)＝{5,6}，故选D.
(2)由Venn图可知A＝{3,9}．
(3)因为3 A，所以3∈ UA＝，
即当x＝3时，有≤2，故a≤1.]
类型2 充分条件与必要条件
【例2】 (1) 若a、b、c是常数，则“a＞0且b2－4ac＜0”是“对任意x∈R，有ax2＋bx＋c＞0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)若“x2＞1”是“x＜a”的必要不充分条件，则a的最大值为_______．
(1)A (2)－1 [(1)若a＞0且b2－4ac＜0，则对任意x∈R，有ax2＋bx＋c＞0，反之，则不一定成立．如a＝0，b＝0且c＞0时，也有对任意x∈R，有ax2＋bx＋c＞0.故选A.
(2)由题意知：{x|x＜a} {x|x＜－1或x＞1}，所以a≤－1.]
1．充分条件、必要条件的判断方法
定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假．
集合法：若A B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．
2．判断指定条件与结论之间关系的基本步骤：①确定条件是什么，结论是什么；②尝试从条件推结论，从结论推条件；③确定条件和结论是什么关系．
3．利用充要条件可进行命题之间的等价转化．
2．(1)设集合A＝，B＝{x|2－a＜x＜2＋a}，则“a＝2”是“A∩B≠ ”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)若“x∈{3，a}”是不等式2x2－5x－3≥0成立的一个充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．
(1)A (2)a≤－或a＞3 [(1)A＝＝{x|－1＜x＜1}，
当a＝2时，B＝{x|0＜x＜4}，A∩B＝{x|0＜x＜1}≠ ；
由A∩B≠ 推不出a＝2，比如a＝3时，A∩B＝{x|－1＜x＜1}≠ ，故选A.
(2)由2x2－5x－3≥0，得x≤－或x≥3，
所以a≤－或a＞3.]
类型3 利用基本不等式求最值
【例3】 (1)设x，y为实数，若4x2＋y2＋xy＝1，则2x＋y的最大值是__________．
(2)设a＞b＞0，则a2＋＋的最小值是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
(1) (2)D [(1)∵4x2＋y2＋4xy－3xy＝1，
∴1＝(2x＋y)2－·2xy≥(2x＋y)2－·2＝(2x＋y)2，
∴2x＋y≤，
故2x＋y的最大值为.
(2)a2＋＋＝a2－ab＋ab＋＋＝ab＋＋a(a－b)＋≥2＋2＝4.
当且仅当ab＝1，a(a－b)＝1时等号成立．
如取a＝，b＝满足条件．]
利用基本不等式求最值，要注意以下两点：
(1)使用的范围和条件：“一正、二定、三相等”，特别是利用拆项、添项、配凑、分离变量、减少变元等构造定值的方法，和对等号能否成立的验证；
(2)若等号取不到，则应利用函数单调性求最值．
3．(1)设x＞－1，则函数y＝的最小值为________．
(2)若x，y为实数，且x＋2y＝4，则xy的最大值为________．
(1)9 (2)2 [(1)y＝＝x＋1＋＋5，
由均值不等式可得：y≥2＋5＝9，等号成立条件为x＋1＝ x＝1，
所以最小值为9.
(2)xy＝·x·(2y)≤·2＝2(当且仅当x＝2y，且x＋2y＝4，即x＝2，y＝1时取“＝”)．]
类型4 全称量词命题与存在量词命题
【例4】 (1)命题“至少有一个实数x，使x3＋1＝0”的否定是________；
(2)若对任意x∈[1,2]，x2－a≥0，则实数a的取值范围是________．
(1)任意x∈R，x3＋1≠0 (2)a≤1 [(1)任意x∈R，x3＋1≠0
(2)对任意x∈[1,2]，x2－a≥0，则a≤(x2)min＝1.]
1．不等式恒成立问题的求解方法：
若y≥a恒成立，则a≤ymin；若y≤a恒成立，则a≥ymax.
2．不等式有解问题的求解方法：
若y≥a有解，则a≤ymax；若y≤a有解，则a≥ymin.
4．(1)命题“存在x∈R，x2＋2x＋2≤0”的否定是________；
(2)若存在x∈[1,2]，x2－a≥0，则实数a的取值范围是________．
(1)任意x∈R，x2＋2x＋2＞0 (2)a≤4 [(1)任意x∈R，x2＋2x＋2＞0；
(2)存在x∈[1,2]，x2－a≥0，则a≤(x2)max＝4.]
1．(2019·全国卷Ⅰ理)已知集合M＝{x|－4＜x＜2}，N＝{x|x2－x－6＜0}，则M∩N＝( )
A．{x|－4＜x＜3} B．{x|－4＜x＜－2}
C．{x|－2＜x＜2} D．{x|2＜x＜3}
C [由题知N＝{x|x2－x－6<0}＝{x|(x－3)(x＋2)<0}＝{x|－22．(2018·全国卷Ⅱ理)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为( )
A．9 B．8
C．5 D．4
A [A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}＝{(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)}共9个元素，选A.]
3．(2019·全国卷Ⅰ文)已知集合U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,3,4,5}，B＝{2,3,6,7}，则B∩ UA＝( )
A．{1,6} B．{1,7}
C．{6,7} D．{1,6,7}
C [由题知 UA＝{1,6,7}，则知B∩ UA＝{6,7}，选C.]
4．(2019·天津高考文)设x∈R，则“0A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
B [由|x－1|<1得05．(2014·四川高考)若a>b>0，cA．> B．<
C．> D．<
B [由c－>0，又a>b>0，
由不等式的性质知，－>－>0，∴<，选B.]
PAGE
6
