2021-2022学年人教版九年级数学上册 23.1 图形的旋转 同步练习题 （Word版含答案）

2021——2022学年度人教版九年级数学上册 第二十三章 旋转 23.1 图形的旋转 同步练习题
一、选择题
1．如图，△ABC按顺时针旋转到△ADE的位置，以下关于旋转中心和对应点的说法正确的是（ ）
A．点A是旋转中心，点B和点E是对应点 B．点C是旋转中心，点B和点D是对应点
C．点A是旋转中心，点C和点E是对应点 D．点D是旋转中心，点A和点D是对应点
2．如图， 将 绕点顺时针旋转一定的角度与 重合 与 是对应点 ， 使得点恰好落在上， 若， 则 的度数为 （ ）
A． B． C． D．
3．如图，RtABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，以B点为中心，将ABC旋转至DBE，使E点恰好在AB上，则AE的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图，∠ABC=20°，将△ABC绕点B顺时针旋转130°得到△EBF．若点A，F，E在同一条直线上，则∠AFB的度数是（ ）
A．35° B．40° C．45° D．50°
5．如图，是正方形内一点，以为一条边作正方形，连接和．根据旋转知识，给出下列四个说法：①；②； ③若点恰好落在边上时，则； ④若，则．其中正确说法的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
6．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°．将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，使点C的对应点C′恰好落在边AB上，则∠CAA′的度数是（ ）
A．50° B．70° C．110° D．120°
7．如图，在中，，，将绕点C逆时针转，得到，则的长是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，将△ABC纸片绕点C顺时针旋转40°得到△，连接，若AC⊥，则∠的度数为（　　）
A．15° B．20° C．25° D．30°
9．如图，为等边三角形，以为边向外作，使，再以点C为旋转中心把旋转到，则给出下列结论：①D，A，E三点共线；②平分；③；④．其中正确的有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，在△ABC中，∠ACB＝105°，将△ABC绕着点C顺时针方向旋转到△，经过点 A．若＝AC，则∠B的度数为（　　）
A．20° B．25° C．30° D．35°
二、填空题
11．如图，中，，点A的坐标为，点B在x轴上，将绕点B按顺时针方向旋转后得，点A的对应点在x轴上，点的坐标为________．
12．如图，平面内三点A、B、C，AB=5，AC=3，以BC为对角线作正方形BDCE，连接AD，则AD的最大值是__________．
13．如图，绕点A旋转得到，点C恰好落在线段上，已知，则________度．
14．如图，C为线段AB的中点，D为AB垂直平分线上一点，连接BD，将BD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，连接AE，若AB＝2，AE＝4，则CD的长为 ___．
15．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转角α（0°＜α＜180°），得到△AED，若AC＝1，CE＝，则α的度数为 ___．
三、解答题
16．如图，已知正方形ABCD，∠MAN＝45°，连接CB，交AM、AN分别于点P、Q，求证：CP2+BQ2＝PQ2．
17．在中，，点P是内一点，将绕点A逆时针旋转后能与重合，如果，求的长．
18．如图，已知抛物线是由平移得到的，且经过，两点，顶点为点．
（1）求抛物线的解析式并求出点的坐标；
（2）将绕点顺时针旋转后，点落在点的位置，将抛物线沿轴平移后经过点，求平移后所得图象的函数关系式．
19．已知：如图①，在中，，，直线经过点C，且于点D，于点E．
（1）求证：；
（2）当直线绕点C旋转到图②位置时，、、之间有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明，
20．在平面直角坐标系中，为原点，点，点，把绕点顺时针旋转，得，点，旋转后的对应点为，．
（1）如图①，当旋转角为时，求的长；
（2）如图②，当旋转角为时，求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，边上的一点旋转后的对应点为，当取得最小值时，求点的坐标_______．（直接写出结果即可）
21．综合与实践
（情境呈现）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°．若固定△ABC，将△DEC绕着点C旋转．
（初步探究）（1）如图2，当△DEC绕点C旋转，点D恰好落在AB边的中点上时，请求出此时旋转角的度数.
　　　　
（2）如图2，当△DEC绕点C旋转，点D恰好落在AB边上时，若此时旋转角为，则∠CED的度数为 （用含的式子表示） ．
（拓展提升）（3）当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，勤勉小组猜想：△BDC的面积与△AEC的面积相等，试判断勤勉小组的猜想是否正确，若正确，请你帮他们证明；若不正确，请说明理由．
22．如图，是等腰直角三角形，，，点是线段上的一个动点，连接，将线段绕点顺时针旋转至点，连接交于点．
（1）连接，求证：；
（2）当时，判断是什么三角形？并说明理由；
（3）在点运动过程中，当是锐角三角形时，求的取值范围．
23．如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF＝45°，连接EF．
（1）思路梳理：将ABE绕点A逆时针旋转至ADG，如图1，使AB与AD重合，易证∠GAF＝∠EAF＝45°，可证AFG≌AFE，故EF，BE，DF之间的数量关系为 ；
（2）类比引申：如图2，在图1的条件下，若点E，F由原来的位置分别变到正方形ABCD的边CB，DC的延长线上，∠EAF＝45°，连接EF，猜想EF，BE，DF之间的数量关系为 ，并给出证明；
（3）联想拓展：如图3，等腰RtABC，∠BAC＝90°，∠MAN＝45°，把∠MAN绕点A旋转，在整个旋转过程中AM、AN分别与直线BC交于点D、E，若BD＝2，EC＝4，则BE的长为 ．
【参考答案】
1．C 2．B 3．B 4．C 5．B 6．D 7．B 8．B 9．D 10．B
11．
12．
13．40
14．7
15．
16．证明：将△ABQ绕A点顺时针旋转90°得到△ACQ′，连接PQ′，
∴AQ′＝AQ，CQ′＝BQ，∠BAQ＝∠CAQ′，∠ACQ′＝∠ABC，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ACQ′＝∠ABC＝∠ACB＝45°，∠CAB＝90°，
∵∠MAN＝45°，
∴∠CAP+∠BAQ＝45°，
∴∠Q′AP＝∠CAQ′+∠CAP＝45°，
∴∠Q′AP＝∠QAP，
在△Q′AP和△QAP中，
，
∴△Q′AP≌△QAP（SAS），
∴PQ＝PQ′，
∵∠Q′CP＝∠ACQ′+∠ACB＝90°，
在Rt△Q′CP中，由勾股定理得，
Q′P2＝Q′C2+CP2，
∴CP2+BQ2＝PQ2．
17．解：∵将△ABP绕点A逆时针旋转后能与△ACP′重合，
∴△ABP≌△ACP'．
∴AP=AP=6，∠BAP=∠CAP'．
∵∠BAC=90°，
∴∠BAP+∠CAP=90°．
∴∠CAP′+∠CAP=90°，
即∠PAP'=90°．
∴△PAP′是等腰直角三角形．
由勾股定理得： ．
∴PP′的长为．
18．解：（1）∵是由平移得到
∴抛物线y＝x2+bx+c
∵经过A（1，0），B（0，2），
∴，
解得，
∴所求抛物线的解析式为y＝x2﹣3x+2；
∴顶点坐标为M：
（2）∵A（1，0），B（0，2），
∴OA＝1，OB＝2，
由旋转可得OA＝CD=1，OB＝AD=2
∴C点的坐标为（3，1），
当x＝3时，由y＝x2﹣3x+2得y＝2，
可知抛物线y＝x2﹣3x+2过点（3，2），
∴将原抛物线沿y轴向下平移1个单位后过点C．
∴平移后的抛物线解析式为：y＝x2﹣3x+1；
19．（1）证明：，
，而于，于，
，，
，
在和中，
，
，
，，
；
（2），
在和中，
，
，
，，
．
20．（1）；（2） ；（3）
21．（1） 由旋转可知：CA=CD
∵∠A=90°，D是AB的中点
∴CD=AD
∴CA=CD=AD
∴△ACD是等边三角形
∴∠ACD=60°
∴旋转角为60°
（2） ，理由如下：
由旋转性质知AC=DC，故∠ACD=，∠A=∠ADC=，
又∵∠CDE=∠A=，
∴∠CED=
（3）勤勉小组的猜想是正确的
理由如下：
过点D作DH⊥BC,垂足为H，
过点A作AG⊥EC的延长线于点G，如图3
∵∠ACB=∠DCE=90°
∴∠HCD+∠ACE=180°
∵∠ACE+∠GCA=180°
∴∠HCD=∠GCA
∵DH⊥BC ,AG⊥EC
∴∠DHC=∠AGC=90°
由旋转可得：CD=CA
∴在△DHC和△AGC中
∴△DHC≌△AGC(AAS)
∴DH=AG
∵,,BC=EC
∴
22．（1）∵是等腰直角三角形，
∴AC=BC，∠ACB=90°
∵将线段绕点顺时针旋转至点，
∴CD=CE，∠DCE=90°
∴∠ACD+∠DCF=∠BCE+∠DCF=90°
∴∠ACD=∠BCE
∴（SAS）
（2）是直角三角形，理由如下：
∵，∠HAC=30°
∴∠ACD=180°-15°-30°=135°
∵
∴∠BEC=∠ACD=135°
∵将线段绕点顺时针旋转至点，
∴CD=CE，∠DCE=90°
∴△ECD是等腰直角三角形
∴∠CED=45°
∴∠BEF=135°-45°=90°
∴是直角三角形；
（3）由（2）得当时， 是直角三角形，此时BE⊥EF；
如图，当AF⊥BF时，∠EFB=90°
∵△ECD是等腰直角三角形，∠CED=45°
∴∠ECF=90°-45°=45°
故=∠ECF=∠ACD=45°
∵点是线段上的一个动点，故AB不能与BF垂直，
∴当是锐角三角形时，求的取值范围为15°＜＜45°．
23．解：（1）如图1所示：
∵AB=AD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，
∵∠ADC=∠B=90°，
∴∠FDG=180°，点F、D、G共线，
∴∠DAG=∠BAE，AE=AG，
∴∠FAG=∠FAD+∠GAD=∠FAD+∠BAE=90°-45°=45°=∠EAF，即∠EAF=∠FAG．
在△EAF和△GAF中，
，
∴△AFG≌△AFE（SAS）．
∴EF=FG．
∴EF=DF+DG=DF+BE，即EF=BE+DF．
故答案为：BE+FD=EF；
（2）DF=EF+BE．
证明：如图2所示．
∵AB=AD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，
∵∠ADC=∠ABE=90°，
∴点C、D、G在一条直线上．
∴EB=DG，AE=AG，∠EAB=∠GAD．
又∵∠BAG+∠GAD=90°，
∴∠EAG=∠BAD=90°．
∵∠EAF=45°，
∴∠FAG=∠EAG-∠EAF=90°-45°=45°．
∴∠EAF=∠GAF．
在△EAF和△GAF中，
，
∴△EAF≌△GAF（SAS）．
∴EF=FG．
∵FD=FG+DG，
∴DF=EF+BE，
故答案为：DF=EF+BE；
（3）把△ACE旋转到ABF的位置，连接DF，则∠FAB=∠CAE．
∵∠BAC=90°，∠DAE=45°，
∴∠BAD+∠CAE=45°，
又∵∠FAB=∠CAE，
∴∠FAD=∠DAE=45°，
则在△ADF和△ADE中，
，
∴△ADF≌△ADE（SAS）．
∴DF=DE，∠C=∠ABF=45°．
∴∠BDF=90°．
∴△BDF是直角三角形．
∴BD2+BF2=DF2．
∴BD2+CE2=DE2．
∴DE=，
∴BE=BD+DE=，
故答案为：．