2021-2022学年冀教版九年级数学下册《29.3切线的判定与性质》同步达标测评（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年冀教版九年级数学下册《29.3切线的判定与性质》同步达标测评（Word版含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 598.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 冀教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-25 10:17:33 | ||
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文档简介
2021-2022学年冀教版九年级数学下册《29.3切线的判定与性质》同步达标测评（附答案）
一．选择题（共9小题，满分36分）
1．下列说法正确的是（ ）
A．圆的对称轴是圆的直径
B．相等的圆周角所对的弧相等
C．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
D．经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
2．如图，PAB为割线且PA＝AB，PO交⊙O于C，若OC＝3，OP＝5，则AB的长为（ ）
A． B． C． D．
3．若一直角三角形的斜边长为c，内切圆半径是r，则内切圆的面积与三角形面积之比是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在△ABC中，I是△ABC的内心，O是AB边上一点，⊙O经过B点且与AI相切于I点．若tan∠BAC＝，则sin∠C的值为（ ）
A． B． C． D．
5．在△ABC中，已知∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，则它的内切圆⊙O的半径是（ ）
A．1 B．2 C．2.5 D．5
6．点P是⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，∠P＝70°，点C是⊙O上的点（不与点A、B重合），则∠ACB等于（ ）
A．70° B．55° C．70°或110° D．55°或125°
7．如图，AB为⊙O的直径，AB＝AC，AC交⊙O于点E，BC交⊙O于点D，F为CE的中点，连接DF．给出以下四个结论：①BD＝DC；②AD＝2DF；③；④DF是⊙O的切线．其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
8．如图将△ABC沿着直线DE折叠，点A恰好与△ABC的内心I重合，若∠DIB+∠EIC＝195°，则∠BAC的大小是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
9．已知AC⊥BC于C，BC＝a，CA＝b，AB＝c，下列图形中⊙O与△ABC的某两条边或三边所在的直线相切，则⊙O的半径为的是（ ）
A． B．
C． D．
二．填空题（共7小题，满分28分）
10．已知一个三角形的周长和面积分别是84、210，一个单位圆在它的内部沿着三边匀速无摩擦地滚动一周后回到原来的位置（如图），则这个三角形的内部以及边界没有被单位圆滚过的部分的面积是 （结果保留准确值）．
11．如图，已知⊙O的半径为3，DE是⊙O的直径，过点D作⊙O的切线AD，C是AD的中点，AE交⊙O于B点，四边形BCOE是平行四边形，则AD的长为 ．
12．如图，⊙O是△ABC的内切圆，若∠ABC＝70°，∠ACB＝40°，则∠BOC＝ °．
13．如图，AB为半圆的直径，C是半圆弧上一点，正方形DEFG的一边DG在直径AB上，另一边DE过△ABC的内切圆圆心O，且点E在半圆弧上．
①若正方形的顶点F也在半圆弧上，则半圆的半径与正方形边长的比是 ；
②若正方形DEFG的面积为100，且△ABC的内切圆半径r＝4，则半圆的直径AB＝ ．
14．如图PA切⊙O于点A，∠PAB＝30°，则∠AOB＝ 度，∠ACB＝ 度．
15．如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且CO＝CD，则∠PCA＝ °．
16．若直角三角形的两直角边为6cm、8cm，则其外接圆和内切圆半径之和为 cm．
三．解答题（共7小题，满分56分）
17．如图，已知AB为⊙O的直径，过⊙O上的点C的切线交AB的延长线于点E，AD⊥EC于点D且交⊙O于点F，连接BC、CF、AC．
（1）求证：BC＝CF．
（2）若CD＝2，AF＝4，求⊙O的半径．
18．如图，在边长为8的正方形ABCD中，E是AB上的点，⊙O是以BC为直径的圆．
（1）如图1，若DE与⊙O相切于点F，求BE的长；
（2）如图2，若AO⊥DE，垂足为F，求BE的长．
19．如图，AB是⊙O的直径，点P是弦AC上一动点（不与A，C重合），过点P作PE⊥AB，垂足为E，射线EP交于点F，交过点C的切线于点D．
（1）求证：DC＝DP；
（2）若直径AB＝12cm，∠CAB＝30°，
①当E是半径OA中点时，切线长DC＝ cm：
②当AE＝ cm时，以A，O，C，F为顶点的四边形是菱形．
20．如图，∠APB＝52°，PA、PB、DE都为⊙O的切线，切点分别为A、B、F，且PA＝6．
（1）求△PDE的周长；
（2）求∠DOE的度数．
21．已知：如图，在△ABC中，AB＝BC，D是AC中点，BE平分∠ABD交AC于点E，点O是AB上一点，⊙O过B、E两点，交BD于点G，交AB于点F．
（1）求证：AC与⊙O相切；
（2）当BD＝6，sinC＝时，求⊙O的半径．
22．已知：如图，△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，sinB＝，∠CAD＝30°．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若OD⊥AB，BC＝5，求AD的长．
23．如图，点D是⊙O直径CA的延长线上一点，点B在⊙O上，且AB＝AD＝AO．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若点E是劣弧BC上一点，弦AE与BC相交于点F，且CF＝9，cos∠BFA＝，求EF的长．
参考答案
一．选择题（共9小题，满分36分）
1．下列说法正确的是（ ）
A．圆的对称轴是圆的直径
B．相等的圆周角所对的弧相等
C．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
D．经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
解：A、对称轴应是直线，故错误；
B、必须在同圆或等圆中，故错误；
C、此弦不能是直径，故错误；
D、这是切线的判定定理，故正确．
故选：D．
2．如图，PAB为割线且PA＝AB，PO交⊙O于C，若OC＝3，OP＝5，则AB的长为（ ）
A． B． C． D．
解：延长PO到E，延长线与圆O交于点E，连接EB，AC，
∵OC＝3，OP＝5，
∴OE＝OC＝3，
∴EP＝OE+OP＝3+5＝8，CP＝OP﹣OC＝5﹣3＝2，
设PA＝AB＝x，则BP＝2x，
∵四边形ACEB为圆O的内接四边形，
∴∠ACP＝∠B，又∠P＝∠P，
∴△ACP∽△EBP，
∴＝，即＝，
解得：x＝2或x＝﹣2（舍去），
则AB＝2．
故选：B．
3．若一直角三角形的斜边长为c，内切圆半径是r，则内切圆的面积与三角形面积之比是（ ）
A． B． C． D．
解：设直角三角形的两条直角边是a，b，则有：
S＝，
又∵r＝，
∴a+b＝2r+c，
将a+b＝2r+c代入S＝得：S＝r＝r（r+c）．
又∵内切圆的面积是πr2，
∴它们的比是．
故选：B．
4．如图，在△ABC中，I是△ABC的内心，O是AB边上一点，⊙O经过B点且与AI相切于I点．若tan∠BAC＝，则sin∠C的值为（ ）
A． B． C． D．
解：延长AI交BC于D，连接OI，作BH⊥AC于H，如图，
∵I是△ABC的内心，
∴BI平分∠ABC，即∠OBI＝∠DBI，
∵OB＝OI，
∴∠OBI＝∠OIB，
∴∠DBI＝∠OIB，
∴OI∥BD，
∵AI为⊙O的切线，
∴OI⊥AI，
∴BD⊥AD，
∵AI平分∠BAC，
∴△ABC为等腰三角形，
∴AB＝AC，
在Rt△ABH中，tan∠BAH＝＝，
设BH＝24x，AH＝7x，
∴AB＝＝25x，
∴AC＝AB＝25x，
∴CH＝AC﹣AH＝25x﹣7x＝18x，
在Rt△BCH中，BC＝＝30x，
∴sinC＝＝＝．
故选：B．
5．在△ABC中，已知∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，则它的内切圆⊙O的半径是（ ）
A．1 B．2 C．2.5 D．5
解：∵∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，
∴AB＝＝5，
∴它的内切圆⊙O的半径＝＝1，
故选：A．
6．点P是⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，∠P＝70°，点C是⊙O上的点（不与点A、B重合），则∠ACB等于（ ）
A．70° B．55° C．70°或110° D．55°或125°
解：如图，
∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∵∠P＝70°，
∴∠AOB＝110°，
∴∠ACB＝55°，
当点C在劣弧AB上，
∵∠AOB＝110°，
∴弧ACB的度数为250°，
∴∠ACB＝125°．
故选：D．
7．如图，AB为⊙O的直径，AB＝AC，AC交⊙O于点E，BC交⊙O于点D，F为CE的中点，连接DF．给出以下四个结论：①BD＝DC；②AD＝2DF；③；④DF是⊙O的切线．其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
解：连接OD，AD．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°（直径所对的圆周角是直角），
∴AD⊥BC；
而在△ABC中，AB＝AC，
∴AD是边BC上的中线，
∴BD＝DC（①正确）；
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴DB＝DC，∠BAD＝∠CAD，
∴；（③正确）；
∵OA＝OB，
∴OD是△ABC的中位线，
即：OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴DF⊥OD．
∴DF是⊙O的切线（④正确）；
只有当△ABC 是等边三角形时，AD＝2DF，
故②错误，
故选：B．
8．如图将△ABC沿着直线DE折叠，点A恰好与△ABC的内心I重合，若∠DIB+∠EIC＝195°，则∠BAC的大小是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
解：∵I是△ABC的内心，
∴∠IBC＝∠ABC，∠ICB＝∠BCA，
∵∠DIB+∠EIC＝195°，
∴∠DIE+∠BIC＝165°，
由折叠过程知∠BAC＝∠DIE，
∴∠BAC+∠BIC＝165°
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC，
∴∠IBC+∠ICB＝90°﹣∠BAC，
又∵∠BIC+（∠IBC+∠ICB）＝180°，
∠BIC+（90°﹣∠BAC）＝180°，
∴∠BIC＝90°+∠BAC，
∴∠BAC+90°+∠BAC＝165°，
∴∠BAC＝50°
故选：B．
9．已知AC⊥BC于C，BC＝a，CA＝b，AB＝c，下列图形中⊙O与△ABC的某两条边或三边所在的直线相切，则⊙O的半径为的是（ ）
A． B．
C． D．
解：设⊙O的半径为r，
A、∵⊙O是△ABC内切圆，
∴S△ABC＝（a+b+c） r＝ab，
∴r＝；
B、如图，连接OD，则OD＝OC＝r，OA＝b﹣r，
∵AD是⊙O的切线，
∴OD⊥AB，
即∠AOD＝∠C＝90°，
∴△ADO∽△ACB，
∴OA：AB＝OD：BC，
即（b﹣r）：c＝r：a，
解得：r＝；
C、连接OE，OD，
∵AC与BC是⊙O的切线，
∴OE⊥BC，OD⊥AC，
∴∠OEB＝∠ODC＝∠C＝90°，
∴四边形ODCE是矩形，
∵OD＝OE，
∴矩形ODCE是正方形，
∴EC＝OD＝r，OE∥AC，
∴OE：AC＝BE：BC，
∴r：b＝（a﹣r）：a，
∴r＝；
D、解：设AC、BA、BC与⊙O的切点分别为D、F、E；连接OD、OE；
∵AC、BE是⊙O的切线，
∴∠ODC＝∠OEC＝∠DCE＝90°；
∴四边形ODCE是矩形；
∵OD＝OE，
∴矩形ODCE是正方形；
即OE＝OD＝CD＝r，则AD＝AF＝b﹣r；
连接OB，OF，
由勾股定理得：BF2＝OB2﹣OF2，BE2＝OB2﹣OE2，
∵OB＝OB，OF＝OE，
∴BF＝BE，
则BA+AF＝BC+CE，c+b﹣r＝a+r，即r＝．
故选：C．
二．填空题（共7小题，满分28分）
10．已知一个三角形的周长和面积分别是84、210，一个单位圆在它的内部沿着三边匀速无摩擦地滚动一周后回到原来的位置（如图），则这个三角形的内部以及边界没有被单位圆滚过的部分的面积是 84﹣π （结果保留准确值）．
解：如图；
设△ABC的内切圆半径为R，△DEF的内切圆半径为r；
依题意有：×84×R＝210，即R＝5；
易知：△DEF∽△ABC，且r：R＝4：5，
∴C△DEF＝C△ABC＝67.2；
易知：被圆滚过的三角形内部的三角形也和△ABC相似；
且其内切圆半径为：R﹣2＝3，即其面积＝S△ABC＝75.6；
由图知：S四边形AHDG＝2S△AGD＝AG 1＝AG，同理S四边形PEQB＝BQ，S四边形CNFM＝CM；
∴S四边形AHDG+S四边形PEQB+S四边形CNFM＝AG+CM+BQ＝（C△ABC﹣C△DEF）＝8.4；
而S扇形DHG+S扇形PEQ+S扇形FMN＝S单位圆＝π，
∴所求的面积＝75.6+8.4﹣π＝84﹣π．
11．如图，已知⊙O的半径为3，DE是⊙O的直径，过点D作⊙O的切线AD，C是AD的中点，AE交⊙O于B点，四边形BCOE是平行四边形，则AD的长为 6 ．
解：连接BD，
∵DE是直径，
∴∠DBE＝90°，
∵四边形BCOE为平行四边形，
∴BC∥OE，BC＝OE＝3，
在Rt△ABD中，C为AD的中点，
∴BC＝AD＝3，
∴AD＝6，
故答案为6．
12．如图，⊙O是△ABC的内切圆，若∠ABC＝70°，∠ACB＝40°，则∠BOC＝ 125 °．
解：∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠OBC＝∠ABC＝35°，∠OCB＝∠ACB＝20°，
∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝180°﹣35°﹣20°＝125°．
故答案为125．
13．如图，AB为半圆的直径，C是半圆弧上一点，正方形DEFG的一边DG在直径AB上，另一边DE过△ABC的内切圆圆心O，且点E在半圆弧上．
①若正方形的顶点F也在半圆弧上，则半圆的半径与正方形边长的比是 ：2 ；
②若正方形DEFG的面积为100，且△ABC的内切圆半径r＝4，则半圆的直径AB＝ 21 ．
解：①如图，根据圆和正方形的对称性可知：GH＝DG＝GF，
H为半圆的圆心，不妨设GH＝a，则GF＝2a，
在直角三角形FGH中，由勾股定理可得HF＝．由此可得，半圆的半径为a，正方形边长为2a，
所以半圆的半径与正方形边长的比是a：2a＝：2；
②因为正方形DEFG的面积为100，所以正方形DEFG边长为10．
切点分别为I，J，连接EB、AE，OI、OJ，
∵AC、BC是⊙O的切线，
∴CJ＝CI，∠OJC＝∠OIC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴四边形OICJ是正方形，且边长是4，
设BD＝x，AD＝y，则BD＝BI＝x，AD＝AJ＝y，
在直角三角形ABC中，由勾股定理得（x+4）2+（y+4）2＝（x+y）2①；
在直角三角形AEB中，
∵∠AEB＝90°，ED⊥AB，
∴△ADE∽△BDE∽△ABE，
于是得到ED2＝AD BD，即102＝x y②．
解①式和②式，得x+y＝21，
即半圆的直径AB＝21．
14．如图PA切⊙O于点A，∠PAB＝30°，则∠AOB＝ 60 度，∠ACB＝ 30 度．
解：由弦切角定理知，∠C＝∠BAP＝30°；
由圆周角定理知，∠AOB＝2∠C＝60°．
15．如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且CO＝CD，则∠PCA＝ 67.5 °．
解：∵PD切⊙O于点C，
∴∠OCD＝90°；
又∵CO＝CD，
∴∠COD＝∠D＝45°；
∴∠A＝∠COD＝22.5°（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO＝22.5°（等边对等角），
∴∠PCA＝180°﹣∠ACO﹣∠OCD＝67.5°．
故答案是：67.5°．
16．若直角三角形的两直角边为6cm、8cm，则其外接圆和内切圆半径之和为 7 cm．
解：直角三角形的斜边＝＝10（cm），
所以此直角三角形的外接圆的半径＝＝5（cm）；
此直角三角形的内切圆的半径＝＝2（cm），
所以其外接圆和内切圆半径之和为7cm．
故答案为7．
三．解答题（共7小题，满分56分）
17．如图，已知AB为⊙O的直径，过⊙O上的点C的切线交AB的延长线于点E，AD⊥EC于点D且交⊙O于点F，连接BC、CF、AC．
（1）求证：BC＝CF．
（2）若CD＝2，AF＝4，求⊙O的半径．
（1）证明：如图，连接OC，
∵ED切⊙O于点C，
∴CO⊥ED，
∵AD⊥EC，
∴CO∥AD，
∴∠OCA＝∠CAD，
∵∠OCA＝∠OAC，
∴∠OAC＝∠CAD，
∴＝，
∴BC＝CF；
（2）解：如图，连接FO，
∵直线DC是⊙O的切线，C是切点，
∴∠FCD＝∠CAF，
∵∠D＝∠D，
∴△CDF∽△ADC，
∴＝，
∴12＝DF（DF+4），
解得：DF＝2（负数舍去），
∴tan∠FCD＝＝＝，
∴∠FCD＝30°，FC＝4，
∴∠OCF＝60°，
，又∵CO＝FO，
∴△OCF是等边三角形，
∴⊙O的半径为4．
18．如图，在边长为8的正方形ABCD中，E是AB上的点，⊙O是以BC为直径的圆．
（1）如图1，若DE与⊙O相切于点F，求BE的长；
（2）如图2，若AO⊥DE，垂足为F，求BE的长．
解：（1）设BE＝x，则AE＝8﹣x，
∵⊙O是以BC为直径的圆，AB⊥BC，CD⊥BC，
∴AB和CD都是⊙O的切线，
∵DE与⊙O相切于点F，
∴EF＝BE＝x，DF＝DC＝8，
在Rt△AED中，∵AE2+AD2＝DE2，
∴（8﹣x）2+82＝（8+x）2，解得x＝2，
即BE的长为2；
（2）∵AO⊥DE，
∴∠AFD＝90°，
∴∠ADF+∠DAF＝90°，
而∠DAF+∠BAO＝90°，
∴∠BAO＝∠ADE，
在△ADE和△OAB中
，
∴△ADE≌△OAB，
∴AE＝OB＝4，
∴BE＝AB﹣AE＝4．
19．如图，AB是⊙O的直径，点P是弦AC上一动点（不与A，C重合），过点P作PE⊥AB，垂足为E，射线EP交于点F，交过点C的切线于点D．
（1）求证：DC＝DP；
（2）若直径AB＝12cm，∠CAB＝30°，
①当E是半径OA中点时，切线长DC＝ 4 cm：
②当AE＝ 3 cm时，以A，O，C，F为顶点的四边形是菱形．
解：（1）连接OC．
∵CD是⊙O的切线，
∴∠OCD＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵PE⊥AB，
∴∠PEA＝90°，
∴∠OAC+∠APE＝90°，∠OCA+∠PCD＝90°，
∴∠APE＝∠PCD，
∵∠APE＝∠CPD，
∴∠PCD＝∠CPD，
∴DC＝DP．
（2）①连接BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°
∵∠A＝30°，AB＝12，
∵AC＝AB cos30°＝6，
在Rt△APE中，∵AE＝OA＝3，
∴AP＝AE÷cos30°＝2，
∴PC＝AC﹣AP＝4，
∵∠APE＝∠DPC＝60°，DP＝DC，
∴△DPC是等边三角形，
∴DC＝4，
故答案为4．
②当AE＝EO时，四边形AOCF是菱形．
理由：连接AF、OF．
∵AE＝EO，FE⊥OA，
∴FA＝FO＝OA，
∴△AFO是等边三角形，
∴∠FAO＝60°，∵∠CAB＝30°，
∴∠FAC＝30°，∠FOC＝2∠FAC＝60°，
∴△FOC是等边三角形，
∴CF＝CO＝OA＝AF，
∴四边形AOCF是菱形，
∴AE＝3cm时，四边形AOCF是菱形．
故答案为3．
20．如图，∠APB＝52°，PA、PB、DE都为⊙O的切线，切点分别为A、B、F，且PA＝6．
（1）求△PDE的周长；
（2）求∠DOE的度数．
解：（1）∵PA、PB、DE都为⊙O的切线，
∴DA＝DF，EB＝EF，PA＝PB＝6，
∴DE＝DA+EB，
∴PE+PD+DE＝PA+PB＝12，
即△PDE的周长为12；
（2）连接OF，
∵PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、F三点，
∴OB⊥PB，OA⊥PA，∠BOE＝∠FOE＝∠BOF，∠FOD＝∠AOD＝∠AOF，
∵∠APB＝52°，
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣52°＝128°，
∴∠DOE＝∠FOE+∠FOD＝（∠BOF+∠AOF）＝∠BOA＝64°．
21．已知：如图，在△ABC中，AB＝BC，D是AC中点，BE平分∠ABD交AC于点E，点O是AB上一点，⊙O过B、E两点，交BD于点G，交AB于点F．
（1）求证：AC与⊙O相切；
（2）当BD＝6，sinC＝时，求⊙O的半径．
（1）证明：连接OE，
∵AB＝BC且D是AC中点，
∴BD⊥AC，
∵BE平分∠ABD，
∴∠ABE＝∠DBE，
∵OB＝OE
∴∠OBE＝∠OEB，
∴∠OEB＝∠DBE，
∴OE∥BD，
∵BD⊥AC，
∴OE⊥AC，
∵OE为⊙O半径，
∴AC与⊙O相切．
（2）解：∵BD＝6，sinC＝，BD⊥AC，
∴BC＝10，
∴AB＝BC＝10，
设⊙O 的半径为r，则AO＝10﹣r，
∵AB＝BC，
∴∠C＝∠A，
∴sinA＝sinC＝，
∵AC与⊙O相切于点E，
∴OE⊥AC，
∴sinA＝＝＝，
∴r＝，
答：⊙O的半径是．
22．已知：如图，△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，sinB＝，∠CAD＝30°．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若OD⊥AB，BC＝5，求AD的长．
证明：连接OA，
（1）∵sinB＝，
∴∠B＝30°，
∠AOC＝60°，
又∵OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠OAC＝60°，
∴∠OAD＝60°+30°＝90°，
∴AD是⊙O的切线；
（2）∵OC⊥AB，OC是半径，
∴BE＝AE，
∴OD是AB的垂直平分线，
∴∠DAE＝60°，∠D＝30°，
在Rt△ACE中，AE＝cos30°×AC＝，
∴在Rt△ADE中，AD＝2AE＝5．
23．如图，点D是⊙O直径CA的延长线上一点，点B在⊙O上，且AB＝AD＝AO．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若点E是劣弧BC上一点，弦AE与BC相交于点F，且CF＝9，cos∠BFA＝，求EF的长．
（1）证明：连接BO，
∵AB＝AD
∴∠D＝∠ABD
∵AB＝AO
∴∠ABO＝∠AOB
又在△OBD中，∠D+∠DOB+∠ABO+∠ABD＝180°
∴∠OBD＝90°，即BD⊥BO
∴BD是⊙O的切线；
（2）解：连接CE，
∵AC是直径，
∴∠ABC＝∠CEA＝90°，
又∵∠AFB＝∠CFE，
∴△AFB∽△CFE，
∴＝，又CF＝9，cos∠BFA＝，
∴EF＝×9＝6．
一．选择题（共9小题，满分36分）
1．下列说法正确的是（ ）
A．圆的对称轴是圆的直径
B．相等的圆周角所对的弧相等
C．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
D．经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
2．如图，PAB为割线且PA＝AB，PO交⊙O于C，若OC＝3，OP＝5，则AB的长为（ ）
A． B． C． D．
3．若一直角三角形的斜边长为c，内切圆半径是r，则内切圆的面积与三角形面积之比是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在△ABC中，I是△ABC的内心，O是AB边上一点，⊙O经过B点且与AI相切于I点．若tan∠BAC＝，则sin∠C的值为（ ）
A． B． C． D．
5．在△ABC中，已知∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，则它的内切圆⊙O的半径是（ ）
A．1 B．2 C．2.5 D．5
6．点P是⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，∠P＝70°，点C是⊙O上的点（不与点A、B重合），则∠ACB等于（ ）
A．70° B．55° C．70°或110° D．55°或125°
7．如图，AB为⊙O的直径，AB＝AC，AC交⊙O于点E，BC交⊙O于点D，F为CE的中点，连接DF．给出以下四个结论：①BD＝DC；②AD＝2DF；③；④DF是⊙O的切线．其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
8．如图将△ABC沿着直线DE折叠，点A恰好与△ABC的内心I重合，若∠DIB+∠EIC＝195°，则∠BAC的大小是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
9．已知AC⊥BC于C，BC＝a，CA＝b，AB＝c，下列图形中⊙O与△ABC的某两条边或三边所在的直线相切，则⊙O的半径为的是（ ）
A． B．
C． D．
二．填空题（共7小题，满分28分）
10．已知一个三角形的周长和面积分别是84、210，一个单位圆在它的内部沿着三边匀速无摩擦地滚动一周后回到原来的位置（如图），则这个三角形的内部以及边界没有被单位圆滚过的部分的面积是 （结果保留准确值）．
11．如图，已知⊙O的半径为3，DE是⊙O的直径，过点D作⊙O的切线AD，C是AD的中点，AE交⊙O于B点，四边形BCOE是平行四边形，则AD的长为 ．
12．如图，⊙O是△ABC的内切圆，若∠ABC＝70°，∠ACB＝40°，则∠BOC＝ °．
13．如图，AB为半圆的直径，C是半圆弧上一点，正方形DEFG的一边DG在直径AB上，另一边DE过△ABC的内切圆圆心O，且点E在半圆弧上．
①若正方形的顶点F也在半圆弧上，则半圆的半径与正方形边长的比是 ；
②若正方形DEFG的面积为100，且△ABC的内切圆半径r＝4，则半圆的直径AB＝ ．
14．如图PA切⊙O于点A，∠PAB＝30°，则∠AOB＝ 度，∠ACB＝ 度．
15．如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且CO＝CD，则∠PCA＝ °．
16．若直角三角形的两直角边为6cm、8cm，则其外接圆和内切圆半径之和为 cm．
三．解答题（共7小题，满分56分）
17．如图，已知AB为⊙O的直径，过⊙O上的点C的切线交AB的延长线于点E，AD⊥EC于点D且交⊙O于点F，连接BC、CF、AC．
（1）求证：BC＝CF．
（2）若CD＝2，AF＝4，求⊙O的半径．
18．如图，在边长为8的正方形ABCD中，E是AB上的点，⊙O是以BC为直径的圆．
（1）如图1，若DE与⊙O相切于点F，求BE的长；
（2）如图2，若AO⊥DE，垂足为F，求BE的长．
19．如图，AB是⊙O的直径，点P是弦AC上一动点（不与A，C重合），过点P作PE⊥AB，垂足为E，射线EP交于点F，交过点C的切线于点D．
（1）求证：DC＝DP；
（2）若直径AB＝12cm，∠CAB＝30°，
①当E是半径OA中点时，切线长DC＝ cm：
②当AE＝ cm时，以A，O，C，F为顶点的四边形是菱形．
20．如图，∠APB＝52°，PA、PB、DE都为⊙O的切线，切点分别为A、B、F，且PA＝6．
（1）求△PDE的周长；
（2）求∠DOE的度数．
21．已知：如图，在△ABC中，AB＝BC，D是AC中点，BE平分∠ABD交AC于点E，点O是AB上一点，⊙O过B、E两点，交BD于点G，交AB于点F．
（1）求证：AC与⊙O相切；
（2）当BD＝6，sinC＝时，求⊙O的半径．
22．已知：如图，△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，sinB＝，∠CAD＝30°．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若OD⊥AB，BC＝5，求AD的长．
23．如图，点D是⊙O直径CA的延长线上一点，点B在⊙O上，且AB＝AD＝AO．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若点E是劣弧BC上一点，弦AE与BC相交于点F，且CF＝9，cos∠BFA＝，求EF的长．
参考答案
一．选择题（共9小题，满分36分）
1．下列说法正确的是（ ）
A．圆的对称轴是圆的直径
B．相等的圆周角所对的弧相等
C．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
D．经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
解：A、对称轴应是直线，故错误；
B、必须在同圆或等圆中，故错误；
C、此弦不能是直径，故错误；
D、这是切线的判定定理，故正确．
故选：D．
2．如图，PAB为割线且PA＝AB，PO交⊙O于C，若OC＝3，OP＝5，则AB的长为（ ）
A． B． C． D．
解：延长PO到E，延长线与圆O交于点E，连接EB，AC，
∵OC＝3，OP＝5，
∴OE＝OC＝3，
∴EP＝OE+OP＝3+5＝8，CP＝OP﹣OC＝5﹣3＝2，
设PA＝AB＝x，则BP＝2x，
∵四边形ACEB为圆O的内接四边形，
∴∠ACP＝∠B，又∠P＝∠P，
∴△ACP∽△EBP，
∴＝，即＝，
解得：x＝2或x＝﹣2（舍去），
则AB＝2．
故选：B．
3．若一直角三角形的斜边长为c，内切圆半径是r，则内切圆的面积与三角形面积之比是（ ）
A． B． C． D．
解：设直角三角形的两条直角边是a，b，则有：
S＝，
又∵r＝，
∴a+b＝2r+c，
将a+b＝2r+c代入S＝得：S＝r＝r（r+c）．
又∵内切圆的面积是πr2，
∴它们的比是．
故选：B．
4．如图，在△ABC中，I是△ABC的内心，O是AB边上一点，⊙O经过B点且与AI相切于I点．若tan∠BAC＝，则sin∠C的值为（ ）
A． B． C． D．
解：延长AI交BC于D，连接OI，作BH⊥AC于H，如图，
∵I是△ABC的内心，
∴BI平分∠ABC，即∠OBI＝∠DBI，
∵OB＝OI，
∴∠OBI＝∠OIB，
∴∠DBI＝∠OIB，
∴OI∥BD，
∵AI为⊙O的切线，
∴OI⊥AI，
∴BD⊥AD，
∵AI平分∠BAC，
∴△ABC为等腰三角形，
∴AB＝AC，
在Rt△ABH中，tan∠BAH＝＝，
设BH＝24x，AH＝7x，
∴AB＝＝25x，
∴AC＝AB＝25x，
∴CH＝AC﹣AH＝25x﹣7x＝18x，
在Rt△BCH中，BC＝＝30x，
∴sinC＝＝＝．
故选：B．
5．在△ABC中，已知∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，则它的内切圆⊙O的半径是（ ）
A．1 B．2 C．2.5 D．5
解：∵∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，
∴AB＝＝5，
∴它的内切圆⊙O的半径＝＝1，
故选：A．
6．点P是⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，∠P＝70°，点C是⊙O上的点（不与点A、B重合），则∠ACB等于（ ）
A．70° B．55° C．70°或110° D．55°或125°
解：如图，
∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∵∠P＝70°，
∴∠AOB＝110°，
∴∠ACB＝55°，
当点C在劣弧AB上，
∵∠AOB＝110°，
∴弧ACB的度数为250°，
∴∠ACB＝125°．
故选：D．
7．如图，AB为⊙O的直径，AB＝AC，AC交⊙O于点E，BC交⊙O于点D，F为CE的中点，连接DF．给出以下四个结论：①BD＝DC；②AD＝2DF；③；④DF是⊙O的切线．其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
解：连接OD，AD．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°（直径所对的圆周角是直角），
∴AD⊥BC；
而在△ABC中，AB＝AC，
∴AD是边BC上的中线，
∴BD＝DC（①正确）；
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴DB＝DC，∠BAD＝∠CAD，
∴；（③正确）；
∵OA＝OB，
∴OD是△ABC的中位线，
即：OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴DF⊥OD．
∴DF是⊙O的切线（④正确）；
只有当△ABC 是等边三角形时，AD＝2DF，
故②错误，
故选：B．
8．如图将△ABC沿着直线DE折叠，点A恰好与△ABC的内心I重合，若∠DIB+∠EIC＝195°，则∠BAC的大小是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
解：∵I是△ABC的内心，
∴∠IBC＝∠ABC，∠ICB＝∠BCA，
∵∠DIB+∠EIC＝195°，
∴∠DIE+∠BIC＝165°，
由折叠过程知∠BAC＝∠DIE，
∴∠BAC+∠BIC＝165°
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC，
∴∠IBC+∠ICB＝90°﹣∠BAC，
又∵∠BIC+（∠IBC+∠ICB）＝180°，
∠BIC+（90°﹣∠BAC）＝180°，
∴∠BIC＝90°+∠BAC，
∴∠BAC+90°+∠BAC＝165°，
∴∠BAC＝50°
故选：B．
9．已知AC⊥BC于C，BC＝a，CA＝b，AB＝c，下列图形中⊙O与△ABC的某两条边或三边所在的直线相切，则⊙O的半径为的是（ ）
A． B．
C． D．
解：设⊙O的半径为r，
A、∵⊙O是△ABC内切圆，
∴S△ABC＝（a+b+c） r＝ab，
∴r＝；
B、如图，连接OD，则OD＝OC＝r，OA＝b﹣r，
∵AD是⊙O的切线，
∴OD⊥AB，
即∠AOD＝∠C＝90°，
∴△ADO∽△ACB，
∴OA：AB＝OD：BC，
即（b﹣r）：c＝r：a，
解得：r＝；
C、连接OE，OD，
∵AC与BC是⊙O的切线，
∴OE⊥BC，OD⊥AC，
∴∠OEB＝∠ODC＝∠C＝90°，
∴四边形ODCE是矩形，
∵OD＝OE，
∴矩形ODCE是正方形，
∴EC＝OD＝r，OE∥AC，
∴OE：AC＝BE：BC，
∴r：b＝（a﹣r）：a，
∴r＝；
D、解：设AC、BA、BC与⊙O的切点分别为D、F、E；连接OD、OE；
∵AC、BE是⊙O的切线，
∴∠ODC＝∠OEC＝∠DCE＝90°；
∴四边形ODCE是矩形；
∵OD＝OE，
∴矩形ODCE是正方形；
即OE＝OD＝CD＝r，则AD＝AF＝b﹣r；
连接OB，OF，
由勾股定理得：BF2＝OB2﹣OF2，BE2＝OB2﹣OE2，
∵OB＝OB，OF＝OE，
∴BF＝BE，
则BA+AF＝BC+CE，c+b﹣r＝a+r，即r＝．
故选：C．
二．填空题（共7小题，满分28分）
10．已知一个三角形的周长和面积分别是84、210，一个单位圆在它的内部沿着三边匀速无摩擦地滚动一周后回到原来的位置（如图），则这个三角形的内部以及边界没有被单位圆滚过的部分的面积是 84﹣π （结果保留准确值）．
解：如图；
设△ABC的内切圆半径为R，△DEF的内切圆半径为r；
依题意有：×84×R＝210，即R＝5；
易知：△DEF∽△ABC，且r：R＝4：5，
∴C△DEF＝C△ABC＝67.2；
易知：被圆滚过的三角形内部的三角形也和△ABC相似；
且其内切圆半径为：R﹣2＝3，即其面积＝S△ABC＝75.6；
由图知：S四边形AHDG＝2S△AGD＝AG 1＝AG，同理S四边形PEQB＝BQ，S四边形CNFM＝CM；
∴S四边形AHDG+S四边形PEQB+S四边形CNFM＝AG+CM+BQ＝（C△ABC﹣C△DEF）＝8.4；
而S扇形DHG+S扇形PEQ+S扇形FMN＝S单位圆＝π，
∴所求的面积＝75.6+8.4﹣π＝84﹣π．
11．如图，已知⊙O的半径为3，DE是⊙O的直径，过点D作⊙O的切线AD，C是AD的中点，AE交⊙O于B点，四边形BCOE是平行四边形，则AD的长为 6 ．
解：连接BD，
∵DE是直径，
∴∠DBE＝90°，
∵四边形BCOE为平行四边形，
∴BC∥OE，BC＝OE＝3，
在Rt△ABD中，C为AD的中点，
∴BC＝AD＝3，
∴AD＝6，
故答案为6．
12．如图，⊙O是△ABC的内切圆，若∠ABC＝70°，∠ACB＝40°，则∠BOC＝ 125 °．
解：∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠OBC＝∠ABC＝35°，∠OCB＝∠ACB＝20°，
∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝180°﹣35°﹣20°＝125°．
故答案为125．
13．如图，AB为半圆的直径，C是半圆弧上一点，正方形DEFG的一边DG在直径AB上，另一边DE过△ABC的内切圆圆心O，且点E在半圆弧上．
①若正方形的顶点F也在半圆弧上，则半圆的半径与正方形边长的比是 ：2 ；
②若正方形DEFG的面积为100，且△ABC的内切圆半径r＝4，则半圆的直径AB＝ 21 ．
解：①如图，根据圆和正方形的对称性可知：GH＝DG＝GF，
H为半圆的圆心，不妨设GH＝a，则GF＝2a，
在直角三角形FGH中，由勾股定理可得HF＝．由此可得，半圆的半径为a，正方形边长为2a，
所以半圆的半径与正方形边长的比是a：2a＝：2；
②因为正方形DEFG的面积为100，所以正方形DEFG边长为10．
切点分别为I，J，连接EB、AE，OI、OJ，
∵AC、BC是⊙O的切线，
∴CJ＝CI，∠OJC＝∠OIC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴四边形OICJ是正方形，且边长是4，
设BD＝x，AD＝y，则BD＝BI＝x，AD＝AJ＝y，
在直角三角形ABC中，由勾股定理得（x+4）2+（y+4）2＝（x+y）2①；
在直角三角形AEB中，
∵∠AEB＝90°，ED⊥AB，
∴△ADE∽△BDE∽△ABE，
于是得到ED2＝AD BD，即102＝x y②．
解①式和②式，得x+y＝21，
即半圆的直径AB＝21．
14．如图PA切⊙O于点A，∠PAB＝30°，则∠AOB＝ 60 度，∠ACB＝ 30 度．
解：由弦切角定理知，∠C＝∠BAP＝30°；
由圆周角定理知，∠AOB＝2∠C＝60°．
15．如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且CO＝CD，则∠PCA＝ 67.5 °．
解：∵PD切⊙O于点C，
∴∠OCD＝90°；
又∵CO＝CD，
∴∠COD＝∠D＝45°；
∴∠A＝∠COD＝22.5°（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO＝22.5°（等边对等角），
∴∠PCA＝180°﹣∠ACO﹣∠OCD＝67.5°．
故答案是：67.5°．
16．若直角三角形的两直角边为6cm、8cm，则其外接圆和内切圆半径之和为 7 cm．
解：直角三角形的斜边＝＝10（cm），
所以此直角三角形的外接圆的半径＝＝5（cm）；
此直角三角形的内切圆的半径＝＝2（cm），
所以其外接圆和内切圆半径之和为7cm．
故答案为7．
三．解答题（共7小题，满分56分）
17．如图，已知AB为⊙O的直径，过⊙O上的点C的切线交AB的延长线于点E，AD⊥EC于点D且交⊙O于点F，连接BC、CF、AC．
（1）求证：BC＝CF．
（2）若CD＝2，AF＝4，求⊙O的半径．
（1）证明：如图，连接OC，
∵ED切⊙O于点C，
∴CO⊥ED，
∵AD⊥EC，
∴CO∥AD，
∴∠OCA＝∠CAD，
∵∠OCA＝∠OAC，
∴∠OAC＝∠CAD，
∴＝，
∴BC＝CF；
（2）解：如图，连接FO，
∵直线DC是⊙O的切线，C是切点，
∴∠FCD＝∠CAF，
∵∠D＝∠D，
∴△CDF∽△ADC，
∴＝，
∴12＝DF（DF+4），
解得：DF＝2（负数舍去），
∴tan∠FCD＝＝＝，
∴∠FCD＝30°，FC＝4，
∴∠OCF＝60°，
，又∵CO＝FO，
∴△OCF是等边三角形，
∴⊙O的半径为4．
18．如图，在边长为8的正方形ABCD中，E是AB上的点，⊙O是以BC为直径的圆．
（1）如图1，若DE与⊙O相切于点F，求BE的长；
（2）如图2，若AO⊥DE，垂足为F，求BE的长．
解：（1）设BE＝x，则AE＝8﹣x，
∵⊙O是以BC为直径的圆，AB⊥BC，CD⊥BC，
∴AB和CD都是⊙O的切线，
∵DE与⊙O相切于点F，
∴EF＝BE＝x，DF＝DC＝8，
在Rt△AED中，∵AE2+AD2＝DE2，
∴（8﹣x）2+82＝（8+x）2，解得x＝2，
即BE的长为2；
（2）∵AO⊥DE，
∴∠AFD＝90°，
∴∠ADF+∠DAF＝90°，
而∠DAF+∠BAO＝90°，
∴∠BAO＝∠ADE，
在△ADE和△OAB中
，
∴△ADE≌△OAB，
∴AE＝OB＝4，
∴BE＝AB﹣AE＝4．
19．如图，AB是⊙O的直径，点P是弦AC上一动点（不与A，C重合），过点P作PE⊥AB，垂足为E，射线EP交于点F，交过点C的切线于点D．
（1）求证：DC＝DP；
（2）若直径AB＝12cm，∠CAB＝30°，
①当E是半径OA中点时，切线长DC＝ 4 cm：
②当AE＝ 3 cm时，以A，O，C，F为顶点的四边形是菱形．
解：（1）连接OC．
∵CD是⊙O的切线，
∴∠OCD＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵PE⊥AB，
∴∠PEA＝90°，
∴∠OAC+∠APE＝90°，∠OCA+∠PCD＝90°，
∴∠APE＝∠PCD，
∵∠APE＝∠CPD，
∴∠PCD＝∠CPD，
∴DC＝DP．
（2）①连接BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°
∵∠A＝30°，AB＝12，
∵AC＝AB cos30°＝6，
在Rt△APE中，∵AE＝OA＝3，
∴AP＝AE÷cos30°＝2，
∴PC＝AC﹣AP＝4，
∵∠APE＝∠DPC＝60°，DP＝DC，
∴△DPC是等边三角形，
∴DC＝4，
故答案为4．
②当AE＝EO时，四边形AOCF是菱形．
理由：连接AF、OF．
∵AE＝EO，FE⊥OA，
∴FA＝FO＝OA，
∴△AFO是等边三角形，
∴∠FAO＝60°，∵∠CAB＝30°，
∴∠FAC＝30°，∠FOC＝2∠FAC＝60°，
∴△FOC是等边三角形，
∴CF＝CO＝OA＝AF，
∴四边形AOCF是菱形，
∴AE＝3cm时，四边形AOCF是菱形．
故答案为3．
20．如图，∠APB＝52°，PA、PB、DE都为⊙O的切线，切点分别为A、B、F，且PA＝6．
（1）求△PDE的周长；
（2）求∠DOE的度数．
解：（1）∵PA、PB、DE都为⊙O的切线，
∴DA＝DF，EB＝EF，PA＝PB＝6，
∴DE＝DA+EB，
∴PE+PD+DE＝PA+PB＝12，
即△PDE的周长为12；
（2）连接OF，
∵PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、F三点，
∴OB⊥PB，OA⊥PA，∠BOE＝∠FOE＝∠BOF，∠FOD＝∠AOD＝∠AOF，
∵∠APB＝52°，
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣52°＝128°，
∴∠DOE＝∠FOE+∠FOD＝（∠BOF+∠AOF）＝∠BOA＝64°．
21．已知：如图，在△ABC中，AB＝BC，D是AC中点，BE平分∠ABD交AC于点E，点O是AB上一点，⊙O过B、E两点，交BD于点G，交AB于点F．
（1）求证：AC与⊙O相切；
（2）当BD＝6，sinC＝时，求⊙O的半径．
（1）证明：连接OE，
∵AB＝BC且D是AC中点，
∴BD⊥AC，
∵BE平分∠ABD，
∴∠ABE＝∠DBE，
∵OB＝OE
∴∠OBE＝∠OEB，
∴∠OEB＝∠DBE，
∴OE∥BD，
∵BD⊥AC，
∴OE⊥AC，
∵OE为⊙O半径，
∴AC与⊙O相切．
（2）解：∵BD＝6，sinC＝，BD⊥AC，
∴BC＝10，
∴AB＝BC＝10，
设⊙O 的半径为r，则AO＝10﹣r，
∵AB＝BC，
∴∠C＝∠A，
∴sinA＝sinC＝，
∵AC与⊙O相切于点E，
∴OE⊥AC，
∴sinA＝＝＝，
∴r＝，
答：⊙O的半径是．
22．已知：如图，△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，sinB＝，∠CAD＝30°．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若OD⊥AB，BC＝5，求AD的长．
证明：连接OA，
（1）∵sinB＝，
∴∠B＝30°，
∠AOC＝60°，
又∵OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠OAC＝60°，
∴∠OAD＝60°+30°＝90°，
∴AD是⊙O的切线；
（2）∵OC⊥AB，OC是半径，
∴BE＝AE，
∴OD是AB的垂直平分线，
∴∠DAE＝60°，∠D＝30°，
在Rt△ACE中，AE＝cos30°×AC＝，
∴在Rt△ADE中，AD＝2AE＝5．
23．如图，点D是⊙O直径CA的延长线上一点，点B在⊙O上，且AB＝AD＝AO．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若点E是劣弧BC上一点，弦AE与BC相交于点F，且CF＝9，cos∠BFA＝，求EF的长．
（1）证明：连接BO，
∵AB＝AD
∴∠D＝∠ABD
∵AB＝AO
∴∠ABO＝∠AOB
又在△OBD中，∠D+∠DOB+∠ABO+∠ABD＝180°
∴∠OBD＝90°，即BD⊥BO
∴BD是⊙O的切线；
（2）解：连接CE，
∵AC是直径，
∴∠ABC＝∠CEA＝90°，
又∵∠AFB＝∠CFE，
∴△AFB∽△CFE，
∴＝，又CF＝9，cos∠BFA＝，
∴EF＝×9＝6．