2021-2022学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册3.2.1双曲线的标准方程教案

编号：017 课题:§3.2.1 双曲线的标准方程
目标要求
1、理解并掌握双曲线标准方程的推导过程．
2、理解并掌握双曲线的定义及其应用．
3、理解并掌握待定系数法求双曲线的标准方程．
4、理解并掌握利用双曲线的标准方程求参数.
学科素养目标
本章内容的处理方式与“直线与方程”“圆与方程”一样，都以渗透解析几何的基本思想为教学目标，以“展示背景，建立曲线概念；建立方程，利用方程研究曲线性质”为主线，从特殊到一般，在学生具有较多感性认识的基础上建立一般曲线方程的概念．这种从感性到理性的学习过程符合学生的认知发展规律．
本章以椭圆、双曲线、抛物线为载体，首先从生活实际和数学实验中抽象出曲线的定义，进而类比直线、圆的研究方法，建立恰当的直角坐标系，得到圆锥曲线的方程，并利用方程研究圆锥曲线的性质．在对三种曲线的研究过程中，虽然这三种曲线各有特点，但研究的思路和方法是一致的，这样可以让学生充分感受和理解解析几何研究问题的基本思路．最后通过“链接”，从圆锥曲线的统一定义的角度进一步认识三种圆锥曲线的内在关系．
重点难点
重点：待定系数法求双曲线的标准方程；
难点：利用双曲线的标准方程求参数．
教学过程
基础知识点
1. 双曲线的定义
(1)文字语言：平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于________(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫作 _______ ，两个定点F1，F2叫作双曲线的 ___ ，两个焦点间的距离叫作双曲线的 _ ．
(2)集合语言：
P＝{M||MF1－MF2|＝ _ ，0< _ 【课前预习思考】
(1)如何理解“绝对值”？
(2)把“小于F1F2”改为“等于F1F2”或“大于F1F2”或常数为0，结果如何？
2．双曲线的标准方程
焦点所在的坐标轴 x轴 y轴
标准方程
图形
焦点坐标
的关系式
【课前预习思考】
　如何从双曲线的标准方程判断焦点的位置？
【课前基础演练】
题1.（多选）下列命题错误的是 ( )
A. 方程表示焦点在y轴上的双曲线．
B. 在双曲线标准方程中，a，b，c之间的关系与椭圆中a，b，c之间的关系相同．
C.点A(1，0)，B(－1，0)，若AC－BC＝2，则点C的轨迹是双曲线．
D.双曲线－＝1的焦点在x轴上，且a>b.
题2. 设动点M到点A的距离与它到点B的距离的差等于6，则M点的轨迹方程是 (　　)
A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1
题3. 已知圆C：x2＋y2－6x－4y＋8＝0，以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则所得双曲线的标准方程为____________.
类型一　双曲线的定义及其应用(逻辑推理)
【课堂题组训练】
题4. 设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点，P是双曲线上的一点，且3PF1＝4PF2，则△PF1F2的面积等于(　　)
A．4 B．8 C．24 D．48
题5. 已知动圆E与圆A：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆B：(x－4)2＋y2＝2内切，则动圆圆心E的轨迹方程为________．
【解题策略提醒】
1．利用双曲线的定义求双曲线方程的基本步骤
(1)寻求动点M与定点F1，F2之间的关系．
(2)根据题目的条件计算是否满足|MF1－MF2|＝2a(常数，a>0).
(3)判断：若2a<2c＝F1F2，满足定义，则动点M的轨迹就是双曲线，且2c＝F1F2，b2＝c2－a2，进而求出相应a，b，c.
(4)根据F1，F2所在的坐标轴写出双曲线的标准方程．
2．求解双曲线中焦点三角形面积的两种方法
(1)方法一：
①根据双曲线的定义求出|PF1－PF2|＝2a；
②利用余弦定理表示出PF1，PF2，F1F2之间满足的关系式；
③通过配方，利用整体的思想求出PF1·PF2的值；
④利用公式S△PF1F2＝×PF1·PF2sin ∠F1PF2求得面积．
(2)方法二：利用公式S△PF1F2＝×F1F2×|yP|(yP为P点的纵坐标)求得面积．
提醒：利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件|PF1－PF2|＝2a的变形使用，二是特别注意PF＋PF与PF1·PF2的关系．
类型二　待定系数法求双曲线的标准方程(数学运算)
【典例】题6. 过求适合下列条件的双曲线的标准方程．
(1)焦距为26，且经过点M(0，12)；
(2)双曲线上两点P1，P2的坐标分别为(3，－4)，.
【思路导引】
(1)判断焦点的位置，由c和a的大小，利用b2＝c2－a2求得b，写出方程．
(2)设出双曲线的方程利用待定系数法求得参数，解得方程．
【变式探究习题】题7.求过P，Q两点的双曲线的标准方程．
【解题策略提醒】
　待定系数法求方程的步骤
(1)定型：确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴．
(2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式，
①若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)；
②与双曲线－＝1(a>0，b>0)共焦点的双曲线的标准方程可设为－＝1(－b2(3)计算：利用题中条件列出方程组，求出相关值．
(4)结论：写出双曲线的标准方程．
【课堂题组训练】
题8. 求c＝，经过点(－5，2)，焦点在x轴上的双曲线的标准方程．
题9. 求满足下列条件的双曲线的标准方程：
(1)c＝5，b＝3，焦点在x轴上；
(2)a＝2，经过点A(2，－5)，焦点在y轴上．
类型三　利用双曲线的标准方程求参数(数学运算)
【典例】题10. 若方程＋＝1表示双曲线，则m的取值范围是 (　　)
A．m＜4 B．m＞9 C．4＜m＜9 D．m＜4或m>9
题11. 已知方程－＝1表示双曲线，则k的取值范围是________.
【解题策略提醒】
方程表示双曲线的条件及参数范围求法
(1)对于方程＋＝1，当mn<0时表示双曲线，进一步，当m>0，n<0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m<0，n>0时表示焦点在y轴上的双曲线．
(2)对于方程－＝1，当mn>0时表示双曲线，且当m>0，n>0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m<0，n<0时表示焦点在y轴上的双曲线．
(3)已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值的要求，建立不等式(组)求解参数的取值范围．
【课堂题组训练】
题12．求满足下列条件的参数的值．
(1)已知双曲线方程为2x2－y2＝k，焦距为6，求k的值；
(2)椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，求a的值．
【教师备选类型】　与双曲线有关的轨迹问题(逻辑推理、数学运算)
【典例】题13. 如图所示，在△ABC中，已知AB＝4，且三内角A，B，C满足2sin A＋sin C＝2sin B，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程．
【解题策略提醒】
　求与双曲线有关的点的轨迹问题的方法
(1)列出等量关系，化简得到方程．
(2)寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程．
提醒：①双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴．
②检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支．
【课堂题组训练】
题14. △ABC的顶点为A(－5，0)，B(5，0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是 (　　)
A．－＝1　　 B．－＝1 C．－＝1(x>3) D．－＝1(x>4)
【课后巩固习题】
题15. 若方程－＝1表示双曲线，则实数m的取值范围是 (　　)
A．－1－1 C．m>3 D．m<－1
题16. 已知F1(－8，3)，F2(2，3)，动点P满足PF1－PF2＝10，则点P的轨迹是 (　　)
A．双曲线 B．双曲线的一支 C．直线 D．一条射线
题17. 已知左、右焦点分别为F1，F2的双曲线C：－y2＝1(a>0)过点，点P在双曲线C上，若PF1＝3，则PF2＝ (　　)
A．3 B．6 C．9 D．12
题18. 已知双曲线的方程为x2－＝1，如图，点A的坐标为(－，0)，B是圆x2＋(y－)2＝1上的点，点M在双曲线的右支上，则MA＋MB的最小值为________.
编号：017 课题:§3.2.1 双曲线的标准方程
目标要求
1、理解并掌握双曲线标准方程的推导过程．
2、理解并掌握双曲线的定义及其应用．
3、理解并掌握待定系数法求双曲线的标准方程．
4、理解并掌握利用双曲线的标准方程求参数.
学科素养目标
本章内容的处理方式与“直线与方程”“圆与方程”一样，都以渗透解析几何的基本思想为教学目标，以“展示背景，建立曲线概念；建立方程，利用方程研究曲线性质”为主线，从特殊到一般，在学生具有较多感性认识的基础上建立一般曲线方程的概念．这种从感性到理性的学习过程符合学生的认知发展规律．
本章以椭圆、双曲线、抛物线为载体，首先从生活实际和数学实验中抽象出曲线的定义，进而类比直线、圆的研究方法，建立恰当的直角坐标系，得到圆锥曲线的方程，并利用方程研究圆锥曲线的性质．在对三种曲线的研究过程中，虽然这三种曲线各有特点，但研究的思路和方法是一致的，这样可以让学生充分感受和理解解析几何研究问题的基本思路．最后通过“链接”，从圆锥曲线的统一定义的角度进一步认识三种圆锥曲线的内在关系．
重点难点
重点：待定系数法求双曲线的标准方程；
难点：利用双曲线的标准方程求参数．
教学过程
基础知识点
1. 双曲线的定义
(1)文字语言：平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫作 双曲线 ，两个定点F1，F2叫作双曲线的 焦点 ，两个焦点间的距离叫作双曲线的 焦距 ．
(2)集合语言：
P＝{M||MF1－MF2|＝ 2a ，0< 2a 【课前预习思考】
　(1)如何理解“绝对值”？
提示：若将“绝对值”去掉，其余条件不变，则动点的轨迹只有双曲线的一支．
(2)把“小于F1F2”改为“等于F1F2”或“大于F1F2”或常数为0，结果如何？
提示：①若将“小于F1F2”改为“等于F1F2”，其余条件不变，则动点轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)；②若将“小于F1F2”改为“大于F1F2”，其余条件不变，则动点轨迹不存在．③若常数为零，其余条件不变，则点的轨迹是线段F1F2的中垂线．
2．双曲线的标准方程
焦点所在的坐标轴 x轴 y轴
标准方程
图形
焦点坐标
的关系式
【课前预习思考】
　如何从双曲线的标准方程判断焦点的位置？
提示：焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上．
【课前基础演练】
题1.（多选）下列命题错误的是 ( )
A. 方程表示焦点在y轴上的双曲线．
B. 在双曲线标准方程中，a，b，c之间的关系与椭圆中a，b，c之间的关系相同．
C.点A(1，0)，B(－1，0)，若AC－BC＝2，则点C的轨迹是双曲线．
D.双曲线－＝1的焦点在x轴上，且a>b.
【答案】BCD
【解析】A√. 方程表示焦点在x轴上的双曲线，方程表示焦点在y轴上的双曲线．
B×.双曲线中b2＝c2－a2，椭圆中b2＝a2－c2.
C×.因为AB＝2＝AC－BC，所以C点的轨迹是两条射线．
D×.在双曲线－＝1中，焦点在x轴上，且a>0，b>0，但是不一定a>b.
故选BCD.
题2. 设动点M到点A的距离与它到点B的距离的差等于6，则M点的轨迹方程是 (　　)
A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1
【解析】选C.因为|MA－MB|＝6<10＝|AB|，所以M点轨迹是焦点在y轴上的双曲线的上半支，
其中a＝3，c＝5，所以b2＝＝4，所以M点轨迹方程为－＝1.
题3. 已知圆C：x2＋y2－6x－4y＋8＝0，以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则所得双曲线的标准方程为____________.
【解析】令x＝0，得y2－4y＋8＝0，方程无解，即该圆与y轴无交点．
令y＝0，得x2－6x＋8＝0，解得x＝2或x＝4，则符合条件的双曲线中a＝2，c＝4，
所以b2＝c2－a2＝16－4＝12，且焦点在x轴上，所以双曲线的方程为－＝1.
答案：－＝1
类型一　双曲线的定义及其应用(逻辑推理)
【课堂题组训练】
题4. 设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点，P是双曲线上的一点，且3PF1＝4PF2，则△PF1F2的面积等于(　　)
A．4 B．8 C．24 D．48
【解析】选C.由题意得解得
又由F1F2＝10，可得△PF1F2是直角三角形，则S△PF1F2＝×PF1×PF2＝24.
题5. 已知动圆E与圆A：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆B：(x－4)2＋y2＝2内切，则动圆圆心E的轨迹方程为________．
【解析】由圆A：(x＋4)2＋y2＝2，可得圆心A(－4，0)，半径＝；
由圆B：(x－4)2＋y2＝2可得圆心B(4，0)，半径＝.
设动圆的半径为R，由题意可得EA＝R＋，EB＝R－，所以EA－EB＝2＜2×4，由双曲线的定义可得，动圆的圆心E在以点A(－4，0)，B(4，0)为焦点的双曲线的右支上，
因为a＝，c＝4，所以b2＝c2－a2＝14，所以动圆圆心E的轨迹方程为－＝1(x≥).
答案：－＝1(x≥)
【解题策略提醒】
1．利用双曲线的定义求双曲线方程的基本步骤
(1)寻求动点M与定点F1，F2之间的关系．
(2)根据题目的条件计算是否满足|MF1－MF2|＝2a(常数，a>0).
(3)判断：若2a<2c＝F1F2，满足定义，则动点M的轨迹就是双曲线，且2c＝F1F2，b2＝c2－a2，进而求出相应a，b，c.
(4)根据F1，F2所在的坐标轴写出双曲线的标准方程．
2．求解双曲线中焦点三角形面积的两种方法
(1)方法一：
①根据双曲线的定义求出|PF1－PF2|＝2a；
②利用余弦定理表示出PF1，PF2，F1F2之间满足的关系式；
③通过配方，利用整体的思想求出PF1·PF2的值；
④利用公式S△PF1F2＝×PF1·PF2sin ∠F1PF2求得面积．
(2)方法二：利用公式S△PF1F2＝×F1F2×|yP|(yP为P点的纵坐标)求得面积．
提醒：利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件|PF1－PF2|＝2a的变形使用，二是特别注意PF＋PF与PF1·PF2的关系．
类型二　待定系数法求双曲线的标准方程(数学运算)
【典例】题6. 过求适合下列条件的双曲线的标准方程．
(1)焦距为26，且经过点M(0，12)；
(2)双曲线上两点P1，P2的坐标分别为(3，－4)，.
【思路导引】
(1)判断焦点的位置，由c和a的大小，利用b2＝c2－a2求得b，写出方程．
(2)设出双曲线的方程利用待定系数法求得参数，解得方程．
【解析】(1)因为双曲线经过点M(0，12)，所以M(0，12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a＝12.
又2c＝26，所以c＝13，所以b2＝c2－a2＝25.所以双曲线的标准方程为－＝1.
(2)设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)，则解得
所以双曲线的标准方程为－＝1.
【变式探究习题】题7.求过P，Q两点的双曲线的标准方程．
【解析】若焦点在x轴上，
设双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，所以解得(舍去).
若焦点在y轴上，
设双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
将P，Q两点坐标代入可得解得所以双曲线的标准方程为－＝1.
综上，双曲线的标准方程为－＝1.
【解题策略提醒】
　待定系数法求方程的步骤
(1)定型：确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴．
(2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式，
①若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)；
②与双曲线－＝1(a>0，b>0)共焦点的双曲线的标准方程可设为－＝1(－b2(3)计算：利用题中条件列出方程组，求出相关值．
(4)结论：写出双曲线的标准方程．
【课堂题组训练】
题8. 求c＝，经过点(－5，2)，焦点在x轴上的双曲线的标准方程．
【解析】依题意可设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0).则有解得
所以所求双曲线的标准方程为－y2＝1.
题9. 求满足下列条件的双曲线的标准方程：
(1)c＝5，b＝3，焦点在x轴上；
(2)a＝2，经过点A(2，－5)，焦点在y轴上．
【解析】(1)因为双曲线的焦点在x轴上，c＝5，b＝3，
所以a2＝c2－b2＝16，所以双曲线的标准方程为：－＝1.
(2)因为双曲线的焦点在y轴上，所以可设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
因为由题设知，a＝2，且点A(2，－5)在双曲线上，所以所以解得a2＝20，b2＝16，
所以所求双曲线的标准方程为－＝1.
类型三　利用双曲线的标准方程求参数(数学运算)
【典例】题10. 若方程＋＝1表示双曲线，则m的取值范围是 (　　)
A．m＜4 B．m＞9 C．4＜m＜9 D．m＜4或m>9
【思路导引】根据双曲线的定义可知，要使方程表示双曲线，需9－m和4－m异号，进而求得m的范围．
【解析】选C.因为方程＋＝1表示双曲线，所以(9－m)(4－m)＜0，解得4＜m＜9.
题11. 已知方程－＝1表示双曲线，则k的取值范围是________.
【思路导引】方程－＝1表示双曲线，则1＋k和1－k同号，进而求得k的范围．
【解析】2．方程－＝1表示双曲线，则(1＋k)(1－k)>0，所以(k＋1)(k－1)<0，所以－1答案：(－1，1)
【解题策略提醒】
方程表示双曲线的条件及参数范围求法
(1)对于方程＋＝1，当mn<0时表示双曲线，进一步，当m>0，n<0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m<0，n>0时表示焦点在y轴上的双曲线．
(2)对于方程－＝1，当mn>0时表示双曲线，且当m>0，n>0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m<0，n<0时表示焦点在y轴上的双曲线．
(3)已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值的要求，建立不等式(组)求解参数的取值范围．
【课堂题组训练】
题12．求满足下列条件的参数的值．
(1)已知双曲线方程为2x2－y2＝k，焦距为6，求k的值；
(2)椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，求a的值．
【解析】(1)若焦点在x轴上，则方程可化为－＝1，所以＋k＝32，即k＝6；
若焦点在y轴上，则方程可化为－＝1，所以－k＋＝32，即k＝－6.
综上所述，k的值为6或－6.
(2)由双曲线方程知焦点在x轴上且c2＝a＋2(a＞0).由椭圆方程，知c2＝4－a2，所以a＋2＝4－a2，
即a2＋a－2＝0，解得a＝1或a＝－2(舍去).因此a的值为1.
【教师备选类型】　与双曲线有关的轨迹问题(逻辑推理、数学运算)
【典例】题13. 如图所示，在△ABC中，已知AB＝4，且三内角A，B，C满足2sin A＋sin C＝2sin B，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程．
【思路导引】建立直角坐标系，根据双曲线的定义求解．
【解析】以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则A(－2，0)，B(2，0).由正弦定理，得sin A＝，sin B＝，sin C＝(R为△ABC的外接圆半径).
因为2sin A＋sin C＝2sin B，所以2BC＋AB＝2AC，即AC－BC＝＝2由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支(除去与x轴的交点).
由题意，设所求轨迹方程为－＝1(x>a)，因为a＝，c＝2，所以b2＝c2－a2＝6.
即所求轨迹方程为－＝1(x>).
【解题策略提醒】
　求与双曲线有关的点的轨迹问题的方法
(1)列出等量关系，化简得到方程．
(2)寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程．
提醒：①双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴．
②检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支．
【课堂题组训练】
题14. △ABC的顶点为A(－5，0)，B(5，0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是 (　　)
A．－＝1　　 B．－＝1 C．－＝1(x>3) D．－＝1(x>4)
【解析】选C.由条件可得，圆与x轴的切点为T(3，0)，
由相切的性质得CA－CB＝TA－TB＝8－2＝6<10＝AB，因此点C的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的右支．
由2a＝6，2c＝10，得a＝3，b＝4，所求的双曲线方程为－＝1.
考虑到点C不在直线AB上，即x＞3.
【课后巩固习题】
题15. 若方程－＝1表示双曲线，则实数m的取值范围是 (　　)
A．－1－1 C．m>3 D．m<－1
【解析】选B.依题意应有m＋1>0，即m>－1.
题16. 已知F1(－8，3)，F2(2，3)，动点P满足PF1－PF2＝10，则点P的轨迹是 (　　)
A．双曲线 B．双曲线的一支 C．直线 D．一条射线
【解析】选D.F1，F2是定点且F1F2＝10，所以满足条件PF1－PF2＝10的点P的轨迹应为一条射线．
题17. 已知左、右焦点分别为F1，F2的双曲线C：－y2＝1(a>0)过点，点P在双曲线C上，若PF1＝3，则PF2＝ (　　)
A．3 B．6 C．9 D．12
【解析】选C.由左、右焦点分别为F1，F2的双曲线C：－y2＝1(a>0)过点，可得：－＝1，解得a＝3，b＝1，c＝，a＋c＞3，点P在双曲线C上，若PF1＝3，可得点P在双曲线的左支上，则PF2＝2a＋PF1＝6＋3＝9.
题18. 已知双曲线的方程为x2－＝1，如图，点A的坐标为(－，0)，B是圆x2＋(y－)2＝1上的点，点M在双曲线的右支上，则MA＋MB的最小值为________.
【解析】设点D的坐标为(，0)，则点A，D是双曲线的焦点，
由双曲线的定义，得MA－MD＝2a＝2.所以MA＋MB＝2＋MB＋MD≥2＋BD，
又B是圆x2＋(y－)2＝1上的点，圆的圆心为C(0，)，半径为1，故BD≥CD－1＝－1，
从而MA＋MB≥2＋BD≥＋1，当点M，B在线段CD上时取等号，即MA＋MB的最小值为＋1.
答案：＋1
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