第一章 1.1 1.1.3 正、余弦定理的综合应用

(共18张PPT)
1.1.3 正、余弦定理的综合应用
1．熟练掌握正弦定理、余弦定理及其公式的变形公式，并
能解决一些简单的三角形度量问题．
2．能够利用已知的数量关系判定三角形的形状．
1．三角形中边与角之间的关系．
(1)在△ABC 中，若最大角C为锐角，则cosC____0，△ABC
为________三角形．
>
锐角
(2)若最大角 C 为直角，则 cosC____0，△ABC 为________
三角形．
＝
直角
(3)若最大角 C 为钝角，则 cosC____0，△ABC 为________
三角形．
<
钝角
钝角
练习1：在△ABC中，a2＋b2＜c2，则△ABC为____三角形．
2．三角形中有______条边相等或______个角相等的三角形
为等腰三角形，有______条边相等或______个角相等的三角形
为等边三角形．
两
两
三
三
练习2 ：在△ABC 中，已知 cosA＝cosB ，则△ABC为____
三角形．
等腰
1．在三角形 ABC 中，三个角 A，B，C 之间的关系是什么？
答案：A＋B＋C＝π.
2．在三角形 ABC 中，任意一个角的正弦值都是正值吗？
那余弦值呢？
答案：三角形 ABC 中，任意一个角的正弦值都是正值，余
弦值可以为正，可以为负，可以为零．
3．在三角形ABC 中，已知三边 a，b，c，如何解这个三角
形呢？有几组解呢？
答案：已知三边 a，b，c，应用余弦定理求其中一角(如 A)，
再由余弦定理或正弦定理求另一角(如 B)，再由 A＋B＋C＝π，
求角 C，在有解时只有一解．
注意：若已知条件及所求中含三边及一角四个元素，则由
余弦定理求解或由余弦定理列出等量关系求解，可省去讨论．
题型1
正、余弦函数的综合应用
例1：在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，
且 b2＋c2＝a2＋bc.
(1)求角 A 的大小；
(2)若 a＝ ，b＝1，求角 B 的大小．
的值．
【变式与拓展】
1．在△ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，已
bsinB
c
知 b2＝ac，且a2－c2＝ac－bc，求角 A 的大小及
题型2
三角函数公式的综合应用
【变式与拓展】
题型3
判断三角形的形状
例3：(1)在△ABC 中，acosA＝bcosB，判断△ABC 的形状；
(2)在△ABC 中，bcosA＝acosB，判断三角形的形状．
(2)方法一：由余弦定理，得b·
b2＋c2－a2
2bc
＝a·
a2＋c2－b2
2ac
，
化简，得 a2＝b2.∴a＝b. ∴△ABC 为等腰三角形．
方法二：bcosA＝acosB sinBcosA＝sinAcosB
sinBcosA－sinAcosB＝0.
∴sin(B－A)＝0.∴A＝B.
∴△ABC 为等腰三角形．
根据已知条件适当选取定理，这类问题主要体
现“边角互化”的思想，一类是通过正、余弦定理全部转化为
边，另一类全部转化为角．
【变式与拓展】
A．直角三角形
B．等腰直角三角形
C．等腰三角形
D．等腰或直角三角形
C
1．正弦定理、余弦定理是解决三角形问题的主要工具，正
确选择适合试题特点的公式极为重要，当使用一个定理无法解
决问题时要及时考虑另外一个定理．
2．三角函数中的公式在解三角形时是不可或缺的，应该养
成应用三角公式列式化简的习惯．