第一章 1.2 1.2.1 测量距离或高度问题

(共24张PPT)
1.2
应用举例
1.2.1 测量距离或高度问题
1．能正确运用正弦定理和余弦定理等知识和方法解决一些
有关测量不能到达的一点或两点的距离的实际问题．
2．能正确运用正弦定理和余弦定理等知识和方法解决一些
有关底部不可到达的物体高度测量问题．
3．巩固深化解三角形实际问题的一般方法，养成良好的研
究、探索习惯．
1．方位角．
正北方向顺时针
水平角
从_________________旋转到目标方向线所成的________，
如图 1－2－1 所示的θ1，θ2.
图 1－2－1
图 1－2－2
练习1：如图 1－2－2，点 A 的方位角为________，点 B
的方位角为__________．
30°
270°
2．仰角和俯角．
夹角
仰角
俯角
∠1
∠2
仰角和俯角是指与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线
与 目 标 视线 的 ______ ， 目标 视线 在水 平视 线 上 方 时 叫做
________，目标视线在水平视线下方时叫做______．如图 1－2
－3，仰角为______，俯角为______．
图 1－2－3
练习2：山上点B 望山下点 A 俯角为 30°，则山下点 A 望
山上点 B 仰角为________．
30°
1．测量一已知目标与另一无法到达的目标距离时，利用正
弦定理求解需要哪些条件？
答案：选取一个目标，并给目标与可到达目标的距离，再
分别测量该两点与不可到达目标的夹角．
2．测量某一物体高度时，利用余弦定理求解需要哪些条
件？
答案：选取地面两点与物体底部在同一直线上，测量选取
的两点的距离，再分别测量该两点与物体顶点的夹角．
题型1
测量宽度
例1：如图 1－2－4 某河段的两岸可视为平行，为了测量
该河段的宽度，在河段的一岸边选取两点 A，B，观察对岸的点
C，测得∠CAB＝75°，∠CBA＝45°，且 AB＝100 米．
(1)求 sin75°；
(2)求该河段的宽度．
图 1－2－4
过点 B 作 BD 垂直于 CD，垂足为点 D，则 BD 的长就是该
河段的宽度．
【变式与拓展】
1．为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥
位桩 A，B(如图 1－2－5)，要测算 A，B 两点的距离，测量人员
在岸边定出基线 BC，测得 BC＝50 m，∠ABC＝105°，∠BCA
)
A
＝45°，就可以计算出 A，B 两点的距离为(
图 1－2－5
2．如图 1－2－6，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点
A，B，对岸标记物 C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB
60 m
＝ 120 m，则河的宽度为_________．
图 1－2－6
题型2
求不可到达两点之间的距离问题
例2：如图 1－2－7，A，B 两点都在河的对岸(不可到达)，
在河岸边选定两点 C，D，测得 CD＝1 000 米，∠ACB＝30°，
∠BCD＝30°，∠BDA＝30°，∠ADC＝60°，求 AB 的长．
图 1－2－7
测量不能达到的两点间的距离，利用解斜三角
形是一个重要的方法．解决这类问题的关键是构造一个或几个
三角形，测出有关边长和角，用正、余弦定理进行计算．
【变式与拓展】
3．某炮兵阵地位于地面 A 处，两观察所分别位于地面点 C
和点 D 处，已知 CD＝6 km，∠ACD＝45°，∠ADC＝75°，目
标出现于地面点 B处时，测得∠BCD＝30°，∠BDC＝15°，如
图 1－2－8，则炮兵阵地到目的的距离为__________．
图 1－2－8
4．如图 1－2－9，现要计算北江岸边两景点 B 与 C 的距离．
由于地形的限制，需要在岸上选取 A 和 D 两个测量点，现测得
AD⊥CD，AD＝10 km，AB＝14 km，∠BDA＝60°，∠BCD＝
135°，求两景点B与C的距离．(假设A，B，C，D 在同一平面
内，测量结果保留整数；参考数据： ≈1.414)
图 1－2－9
题型3
测量高度问题
例3：河对岸有一个建筑物，建筑物的底部不可到达，请
你利用量角器和米尺设计出一套方案测出建筑物的高度．
，
AC＝AB·
1
tanα
图 D1
自主解答：方法一：如图 D1，在河的一边取两点 C，D，
使 C，D 与建筑物底部的中心在同一直线上．测得 CD＝a，
∠BCA＝α，∠BDA＝β.设AB＝x，则AC与AD都能用 x 表示，
由AD－AC＝a，可求得 x.
设 AB＝x，则在 Rt△BAC 中，
图D2
解决这类设计测量方案问题时，应先进行发散
思维——联想数学模型，寻求解决问题的各种方案，然后进行
收敛思维——比较各种方案的优劣，考虑计算量的大小，是否
具备可操作性以及实施测量的工作量的大小等等．
【变式与拓展】
5．在某个位置测得某山峰仰角为θ，对着山峰在平行地面
上前进 600 m 后测仰角为原来的 2 倍，继续在平行地面上前进
200
是(
m 后，测得山峰的仰角为原来的 4 倍，则该山峰的高度
)
B
A．200 m
C．400 m
B．300 m
D．100 m
6．如图 1－2－10，为了测量某塔的高度，某人站在 A 处
测得塔尖的仰角为 60°，前进 38.5 m 后，达到 B 处测得塔尖的
图 1－2－10
仰角为 75°.试计算该塔的高度(精确到 1 m)．
，
∴BC＝
在△ABC 中，∵
AB
sin∠ACB
＝
BC
sinA
AB·sinA
sin∠ACB
＝
38.5·sin60°
sin15°
.
∴CD＝BC·sin75°＝
38.5·sin60°
sin15°
·sin75°≈91(m)．
解：∵∠CAD＝60°，∠CBD＝75°，
∴∠ACB＝15°.
例4：在 200 米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯
角分别为 30°，60°，求该塔的高度．
图 D3
试解：如图 D3.
B 为山顶，AB＝200 米，CD 为塔高，
EB 为水平线，DC 延长线交 BE 于点 E，
∠EBC＝30°，∠EBD＝60°.
在 Rt△BDE 中，DE＝AB＝200，
BE＝DE·tan30°＝
200
3
，
在 Rt△BCE 中，EC＝BE·tan30°＝
＝
200
3
，
∴CD＝DE－CE＝200－
200 400
3 3
(米)．
易错点评：题意理解不清，不能正确画出图形．
1．解决实际测量问题一般要充分认真理解题意，正确作出
图形，从中抽象出一个或几个三角形，把实际问题里的条件和
所求转换成三角形的已知和未知的边、角，然后解三角形，得
到实际问题的解．
2．测量高度的一般方法是选择能观察到测量物体的两点，
分别测量仰角或俯角，同时测量出两个观测点的距离，再利用
解三角形的方法来计算．
3．解斜三角形应用题的一般步骤．
(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；
(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽
量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；
(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形，求得
数学模型的解；
(4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出
实际问题的解．