第一章 1.2 1.2.2 测量角度问题
文档属性
| 名称 | 第一章 1.2 1.2.2 测量角度问题 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 350.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2012-10-06 09:52:35 | ||
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文档简介
(共21张PPT)
1.2.2 测量角度问题
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关
计算角度的实际问题．
1．复习仰角、俯角、方位角与方向角的含义(见前面章节)．
2．坡角是指斜坡所在平面与________的夹角．坡度(坡比)
是指___________________________________________．
练习：沿坡角为 45°的斜坡直线向上行走 80 m，实际升高
了________m.
水平面
坡面的垂直高度 h 和水平宽度 l 的比
40
解析：h＝80×sin45°＝40 .
1．仰角、俯角、坡角都是锐角吗？
答案：是．
2．方位角与方向角的范围一样吗？
答案：不一样，方位角的取值范围为0°～360°，方向角一
般指锐角．
题型1
船的航向问题
例1：如图 1－2－11，一艘海轮从 A 出发，沿北偏东 75°
的方向航行 67.5 n mile 后到达海岛 B，然后从 B 出发，沿北偏
东 32°的方向航行 54.0 n mile 后达到海岛 C.如果下次航行直接
从 A 出发到达 C，此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少
距离(角度精确到 0.1°，距离精确到 0.01 n mile)
图 1－2－11
思维突破：首先根据三角形的内角和定理求出 AC 边所对
的角∠ABC，即可用余弦定理算出AC 边，再根据正弦定理算出
AC 边和AB 边的夹角∠CAB.
解三角形问题中，求某些角的度数时，最好用
余弦定理求角．因为余弦函数在(0，π)上是单调递减的，而正
弦函数在(0，π)上不是一一对应，一个正弦值可以对应两个角．
但角在
上时，用正、余弦定理皆可．
【变式与拓展】
1．当甲船位于 A 处时获悉在其正东方向相距 20 海里的 B
处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息
告知在甲船的南偏西 30°，相距 10 海里 C 处的乙船，试问乙船
应朝北偏东多少度的方向沿直线前往 B 处救援(角度精确到 1°)
∠CAB＝120°.
图 D5
解：如图 D5，要求乙船的航向，
即求∠ACB 的度数．
易知 C<90°，AB＝20，AC＝10，
故乙船应朝北偏东 70°方向直线前往 B 处．
题型2
解三角形与函数的综合
例2：在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台
) 方向
风中心位于城市O(如图1 －2 －12)的东偏南θ(cosθ＝
300 km 的海面 P 处，并以 20 km/h 的
速度向西偏北 45°方向移动，台风侵袭
的范围为圆形区域，当前半径为 60 km，
并以 10 km/h 的速度不断增大，问几小
时后该城市开始受到台风的侵袭？受到
台风的侵袭的时间有多少小时？
图 1－2－12
答：12 小时后该城市开始受到台风侵袭，受到台风的侵袭
的时间有 12 小时．
【变式与拓展】
2．如图 1－2－13，甲船在 A 处发现乙船在北偏东 45°与 A
的距离为 10 海里的 C 处，正以 20 海里/小时的速度向南偏东
75°的方向航行，已知甲船的速度是20
海里/小时．问：甲船
沿什么方向，用多少时间才能与乙船相遇？
图 1－2－13
解：设 t 小时后相遇，则 BC，AB 的长分别为 20t 海里、
20 t 海里．
由图可知：∠ACB＝120°.
由余弦定理，得
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB，
∴∠BAC＝30°.∴甲船应沿北偏东 75°方向航行．
答：甲船应沿北偏东 75°方向航行半小时后才能与乙船相
遇．
例3：某观测站 C 在 A 城的南偏西 20°的方向，由 A 城出
发的一条公路，走向是南偏东 40°，由 C 处测得距 C 为 31 km
的公路上 B 处，有一人正沿公路向 A 城走去，走了 20 km 后到
达 D 处，此时 CD 的间距为 21 km，问：这个人还走多少千米
到达 A 城？
试解：在△ACD 中，已知 CD＝21 km，∠CAD＝60°，
只需再求出一个量即可．
如图 D4，设∠ACD＝α，∠CDB＝β.
在△CBD 中，由余弦定理，得
图 D4
易错点评：本题在解△ACD 时，利用余弦定理求AD，会
得出两个根，产生了增根，应对其进行验证，若应用正弦定理
来求解可避免这种情况．
∴这个人再走 15 km 就可到达 A 城．
1．测量角度问题是指无法直接用量角器测量角度的求解问
题．在实际生活中，要测量角的大小，求三角形中角度的大小，
求不能直接测得的角，求轮船航行时航速与航向等问题均可结
合正弦定理及余弦定理，通过解三角形求解．在解决与测量问
题有关的题目时，要搞清楚仰角、俯角、方位角与方向角的含
义，合理的构造三角形求解，即把实际问题数学化．
2．解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况，如下：
(1)已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正
弦定理或余弦定理解之．
(2)已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择
条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问
题的解．
1.2.2 测量角度问题
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关
计算角度的实际问题．
1．复习仰角、俯角、方位角与方向角的含义(见前面章节)．
2．坡角是指斜坡所在平面与________的夹角．坡度(坡比)
是指___________________________________________．
练习：沿坡角为 45°的斜坡直线向上行走 80 m，实际升高
了________m.
水平面
坡面的垂直高度 h 和水平宽度 l 的比
40
解析：h＝80×sin45°＝40 .
1．仰角、俯角、坡角都是锐角吗？
答案：是．
2．方位角与方向角的范围一样吗？
答案：不一样，方位角的取值范围为0°～360°，方向角一
般指锐角．
题型1
船的航向问题
例1：如图 1－2－11，一艘海轮从 A 出发，沿北偏东 75°
的方向航行 67.5 n mile 后到达海岛 B，然后从 B 出发，沿北偏
东 32°的方向航行 54.0 n mile 后达到海岛 C.如果下次航行直接
从 A 出发到达 C，此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少
距离(角度精确到 0.1°，距离精确到 0.01 n mile)
图 1－2－11
思维突破：首先根据三角形的内角和定理求出 AC 边所对
的角∠ABC，即可用余弦定理算出AC 边，再根据正弦定理算出
AC 边和AB 边的夹角∠CAB.
解三角形问题中，求某些角的度数时，最好用
余弦定理求角．因为余弦函数在(0，π)上是单调递减的，而正
弦函数在(0，π)上不是一一对应，一个正弦值可以对应两个角．
但角在
上时，用正、余弦定理皆可．
【变式与拓展】
1．当甲船位于 A 处时获悉在其正东方向相距 20 海里的 B
处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息
告知在甲船的南偏西 30°，相距 10 海里 C 处的乙船，试问乙船
应朝北偏东多少度的方向沿直线前往 B 处救援(角度精确到 1°)
∠CAB＝120°.
图 D5
解：如图 D5，要求乙船的航向，
即求∠ACB 的度数．
易知 C<90°，AB＝20，AC＝10，
故乙船应朝北偏东 70°方向直线前往 B 处．
题型2
解三角形与函数的综合
例2：在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台
) 方向
风中心位于城市O(如图1 －2 －12)的东偏南θ(cosθ＝
300 km 的海面 P 处，并以 20 km/h 的
速度向西偏北 45°方向移动，台风侵袭
的范围为圆形区域，当前半径为 60 km，
并以 10 km/h 的速度不断增大，问几小
时后该城市开始受到台风的侵袭？受到
台风的侵袭的时间有多少小时？
图 1－2－12
答：12 小时后该城市开始受到台风侵袭，受到台风的侵袭
的时间有 12 小时．
【变式与拓展】
2．如图 1－2－13，甲船在 A 处发现乙船在北偏东 45°与 A
的距离为 10 海里的 C 处，正以 20 海里/小时的速度向南偏东
75°的方向航行，已知甲船的速度是20
海里/小时．问：甲船
沿什么方向，用多少时间才能与乙船相遇？
图 1－2－13
解：设 t 小时后相遇，则 BC，AB 的长分别为 20t 海里、
20 t 海里．
由图可知：∠ACB＝120°.
由余弦定理，得
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB，
∴∠BAC＝30°.∴甲船应沿北偏东 75°方向航行．
答：甲船应沿北偏东 75°方向航行半小时后才能与乙船相
遇．
例3：某观测站 C 在 A 城的南偏西 20°的方向，由 A 城出
发的一条公路，走向是南偏东 40°，由 C 处测得距 C 为 31 km
的公路上 B 处，有一人正沿公路向 A 城走去，走了 20 km 后到
达 D 处，此时 CD 的间距为 21 km，问：这个人还走多少千米
到达 A 城？
试解：在△ACD 中，已知 CD＝21 km，∠CAD＝60°，
只需再求出一个量即可．
如图 D4，设∠ACD＝α，∠CDB＝β.
在△CBD 中，由余弦定理，得
图 D4
易错点评：本题在解△ACD 时，利用余弦定理求AD，会
得出两个根，产生了增根，应对其进行验证，若应用正弦定理
来求解可避免这种情况．
∴这个人再走 15 km 就可到达 A 城．
1．测量角度问题是指无法直接用量角器测量角度的求解问
题．在实际生活中，要测量角的大小，求三角形中角度的大小，
求不能直接测得的角，求轮船航行时航速与航向等问题均可结
合正弦定理及余弦定理，通过解三角形求解．在解决与测量问
题有关的题目时，要搞清楚仰角、俯角、方位角与方向角的含
义，合理的构造三角形求解，即把实际问题数学化．
2．解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况，如下：
(1)已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正
弦定理或余弦定理解之．
(2)已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择
条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问
题的解．