第一章 1.2 1.2.3 三角形中的几何计算

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1.2.3 三角形中的几何计算
1．运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解有关三
角形的问题．
2．掌握三角形的面积公式的推导和简单应用．
1．三角形的高的计算．
在△ABC 中，边 BC，CA，AB 上的高分别记为 ha，hb，hc，
则 ha ＝ bsinC ＝ csinB ，hb ＝ _______ ＝ ______ ，hc ＝_____
＝_______.
练习1：边长为 a 等边三角形的高为________．
csinA
asinC
asinB
bsinA
2．三角形面积．
△ABC 中用 a 和 BC 边上的高 h 表示三角形面积的公式为
__________．
S＝—ah
1
a
练习2：在△ABC 中，已知 AB＝AC＝5，BC＝6，则△ABC
的面积为__________．
12
3．在△ABC 中，用a，b 和角C 表示三角形面积的公式为
__________．
S＝—absinC
1
2
练习3：ABC 中，已知 A＝30°，b＝4，c＝3，则△ABC 的
面积为________．
3
1．三角形的面积公式S＝—absinC对任何三角形都适用吗？
1
2
答案：都适用．
2．三角形的面积公式除了S＝—absinC，你还可以写出几个？
1
2
答案：S＝—bcsinA，S＝—casinB.
1 1
2 2
3．上面的三角形的面积公式中涉及的边与角有何关系？
答案：两边与它们的夹角．
题型1
求三角形的面积
例1：在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，
1
2
(1)求角 A；
(2)若 a＝2
，b＋c＝4 ，求△ABC 的面积．
若cosBcosC－sinBsinC＝—.
【变式与拓展】
2．在△ABC 中，已知三边长分别为 a＝2 cm，b＝3 cm，
c ＝4 cm，求三角形的面积 S.
B
题型2
巧作辅助线求多边形面积
例2：如图 1－2－14，圆内接四边形 ABCD 的边长分别为
AB＝2，BC＝6，CD＝DA＝4.求四边形 ABCD 的面积．
思维突破：由CD＝DA 及等弧所
对圆周角相等可知：连接BD 后有
∠ABD＝∠DBC，由此求出BD 的长，
然后借助余弦定理和三角形面积公式求S△ABD，S△BCD.
图 1－2－14
在多边形中构造三角形是解此类题型的常见思
路．
【变式与拓展】
＝60°，且 cos(B＋C)＝－
4．在△ABC 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B
11
14
.
(1)求 cosC 的值；
(2)若 a＝5 ，求△ABC 的面积．
例3：在△ABC 中，AB＝2，BC＝4，C＝30°，求△ABC的
面积．
易错点评：忽略三角形面积公式的应用条件：已知两边长
及其夹角或夹角的正弦值．此题已知的角C 不是AB 和BC 的夹
角．
1．求三角形的面积的问题，先观察已知什么，尚缺什么，
用正弦定理和余弦定理算出需要的元素，就可以求出三角形的
面积．
2．利用正弦定理、余弦定理、面积公式将已知条件转化为
方程组是解复杂问题的常见思路，将方程化为只含边的式子或
只含角的三角函数式，然后化简并考察边或角的关系．
3．许多问题既可用正弦定理也可用余弦定理解决，甚至可
以两者兼用，当一个公式求解受阻时要及时考虑其他公式列式．
4．若问题有单位，回答时要注意书写．