第二章 2.1 2.1.1 数列的概念及表示方法

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第二章
数列
2.1 数列的概念与简单表示法
2.1.1 数列的概念及表示方法
1．通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的
表示方法(列表、图象、通项公式)．
2．了解数列是自变量为正整数的一类函数，即数列是一种
特殊的函数．
1．数列的概念．
(1)按照一定______排列着的一列数叫做数列，数列中的每
一个数叫做这个数列的______．
顺序
项
首
(2)数列的第一项 a1 也称为______项，an 是数列的第 n 项．
练习1：已知数列{an}的通项公式
an＝(－1)n
1
2n＋1
，写出该
数列的前 5 项．
2．数列的分类．
有穷
无穷
项数有限的数列称为________数列，项数无限的数列称为
________数列．
(1)递增数列：对于任意的n≥1，n∈N，都有an＋1>an.
(2)递减数列：对于任意的n≥1，n∈N，都有an＋1(3)常数列：对于任意的n≥1，n∈N，都有an＋1＝an.
练习2：分别写出以下几个常见数列的一个通项公式：
n
(1)1,2,3,4,5，…，an＝________；
(2)1,3,5,7,9，…，an＝________；
(3)1,4,9,16,25，…，an＝________；
n2
(4)1,2,4,8,16，…，an＝________；
(5)1，－1,1，－1，…，an＝________.
3．数列与函数的关系．
通项公式
数列{an}的第 n 项 an 与项数 n 之间的关系可以用一个公
式来表示 ， 即 an ＝ f(n) ， 那么这个式子就叫做这个数列的
__________．数列的通项公式就是相应函数的解析式．
2n－1
2n－1
(－1)n＋1
1．数列与函数的关系如何？
答案：从函数的角度看数列：数列可以看做是一个定义域
为正整数集 N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的数与自变量从
小到大依次取值时对应的一列函数值，这里的函数是一种特殊
函数，其特殊性为自变量只能取正整数，且只能从 1 开始依次
增大．
2．{an}与 an 是否相同？
答案：{an}表示整个数列，而 an 只表示数列{an}中的第 n
项．二者是不同的概念．
3．数列的通项公式是唯一的吗？
题型1
由数列的前几项求通项公式
例1：根据数列的前几项，写出下面数列的一个通项公式：
(1)3,5,9,17,33，…；
思维突破：寻找项与序号、项与项之间的联系，然后用 n
表示an.
根据数列的前几项求通项公式时可参考如下思
路：(1)先统一项的结构，如都化成分数、根式等；(2)分析结构
中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号
间的函数解析式；(3)对于符号交替出现的情况，可先观察其绝
对值，再用(－1)n 处理符号；(4)对于周期出现的数列，可考虑
拆成几个简单数列和的形式，或者利用周期函数，如三角函数
等．
【变式与拓展】
1．写出下列数列的一个通项公式：
(3)1,3,6,10,15，….
2
2
解：(1)通过观察发现，每一项的分子比分母少 1，而 2＝
21,4＝22,8＝23,16＝24，故分母可以写成 2n.所以 an＝
2n－1
n
.
(2)观察发现分子都为 m2＋1 的形式，故只要求出表示 m 的
通项即可．又 2,3,4,5，…，可以看成数列 n＋1，故 m＝n＋1.
所以分子为数列(n＋1)2＋1.又分母可以看成数列 2n，所以 an＝
(n＋1)2＋1
n
.
(3) 观察发现，相邻两项的和为完全平方数，可得 an ＝
n(n＋1)
2
.
和—是不是它的项？
题型2
数列中项的求解与判断
例2：数列{an}的通项公式为 an＝
n
2n－1
.
(1)写出它的前 5 项；
(2)试问：
7
13
11
20
思维突破：已知数列的通项公式，代入具体的n 值便可求
出数列相应项．
【变式与拓展】
2．在数列{an}中，a1＝2，a17＝66，通项an是关于项数 n
的一次函数．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)判断 88 是否为数列{an}的项．
(2)设 an＝88，则 4n－2＝88，n＝22.5.
∵n N*，∴88 不是数列{an}中的项．
解：(1)设 an＝kn＋b.
题型3
数列的最值问题
例3：已知数列{an}的通项公式为 an＝－n2＋6n.
(1)数列中有多少项是正数？
(2)当 n 为何值时，an 有最大值？最大值是多少？
数列的通项an 是n 的函数，利用函数求最值的方
法，可求an 的最值．
自主解答：(1)∵an＝－n(n－6)，n∈N*，
∴当n＝1,2,3,4,5时，an>0.
∴数列中有5项是正数．
(2)∵an＝－n2＋6n＝－(n－3)2＋9，
∴当n＝3时，an最大且an＝9.
【变式与拓展】
(1)写出它的一个通项公式；
(2)判断它的增减性．
解：(1)它的通项公式是 an＝
n＋1 n
n
2n－1
.
(2)∵an＝
n
2n－1
，an＋1＝
n＋1
2n＋1
，
an＋1－an＝
－
2n＋1 2n－1
＝－
1
(2n＋1)(2n－1)
<0，
∴数列{an}为递减数列．
例4：数列{an}的通项公式为 an＝－2n2＋29n＋3，求{an}
的最大项．
易错点评：容易忽略数列的定义域是正整数这个条件，要
知道 n 只能取正整数，且只能从 1 开始依次增大．
1．由数列的前几项写出一个通项公式应尽量避免盲目性，
要善于从数值 an 与序号 n 之间的对应关系中发现其规律．首先
要观察哪些因素与序号无关而保持不变，哪些因素随序号的变
化而变化；其次要分析变化的因素与序号 n 的联系；最后是写
出通项后进行验证或调整．
2．通项公式的归纳不仅要看它的前几项，更要依据数列的
构成规律，多观察分析，真正找到数列的内在规律，由数列前
几项写出其通项公式，没有通用的方法可循．