第二章 2.2 2.2.1 等差数列的定义及通项公式

(共14张PPT)
2.2 等差数列
2.2.1 等差数列的定义及通项公式
1．通过实例，理解等差数列的概念．
2．探索并掌握等差数列的通项公式．
3．体会等差数列与一次函数的关系．
1．等差数列．
第 2 项
常数
公差
一般地，如果一个数列从________起，每一项与它的前一
项的差等于同一个________，那么这个数列就叫做等差数列，
这个常数叫做等差数列的________，通常用字母 d 表示．
练习1：在等差数列{an}中，a2＝－5，d＝3，则a1＝(　　)
A．－9
B．－8
C．－7
D．－4
B
2 ． 首项为 a1 ， 公差为 d 的等差数列的通项公式是
___________________．
练习2：在等差数列{an}中，a1＝－5，d＝3，则 a10＝____.
an＝a1＋(n－1)d
22
1．利用通项公式求第 n 项需要哪些条件？
答案：首项，项数和公差．
2．如何理解等差数列通项公式和一次函数之间的关系？
是正整数．
答案：通项公式 an＝nd＋(a1－d)是关于 n 的一次函数，n
题型1
等差数列中的基本运算
例 1：在等差数列{an}中，
　　(1)已知a1＝2，d＝3，n＝10，求a10；
　　(2)已知a1＝3，an＝21，d＝2，求n；
　　(3)已知a5＝11，a8＝5，求a1，d，an；
思维突破：由通项公式an＝a1＋(n－1)d，在a1，d，n，an
四个量中，可由其中任意三个量求第四个量．
先根据两个独立的条件解出两个量a1 和 d，
进而再写出an 的表达式．
【变式与拓展】
1．数列{an}的通项公式 an＝3n＋5，则此数列(
)
A
A．是公差为 3 的等差数列
B．是公差为 5 的等差数列
C．是首项为 5 的等差数列
D．是公差为 n 的等差数列
2．－401 是不是等差数列－5，－9，－13，…的项？如果
是，是第几项？
解：等差数列的通项公式为 an＝－4n－1.
∵－4n－1＝－401，∴n＝100.
∴－401 是等差数列－5，－9，－13，…的第 100 项．
题型2
求等差数列的通项公式
例2：在等差数列{an}中，已知 a5＝10，a12＝31，求它的
通项公式．
思维突破：给出等差数列的任意两项，可转化为关于a1 与
d 的方程组，求得a1 与 d，从而求得通项公式．
10＝a1＋4d，
31＝a1＋11d，
解得
a1＝－2，
d＝3.
∴等差数列的通项公式为 an＝3n－5.
自主解答：解法一：由 an＝a1＋(n－1)d，得
解法二：由 an＝am＋(n－m)d，得
a12＝a5＋(12－5)d＝a5＋7d，
即 31＝10＋7d，∴d＝3.
∴an＝a5＋(n－5)d＝10＋(n－5)×3＝3n－5.
∴等差数列的通项公式为 an＝3n－5.
求等差数列的通项公式：①确定首项a1 和公差
d，需建立两个关于a1 和d 的方程，通过解含a1 与d 的方程求
得a1 与d 的值；②直接应用公式an＝am＋(n－m)d 求解．
【变式与拓展】
3．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝an－1(n∈N)，则数列
的通项 an＝(
)
D
A．n2＋1
B．n＋1
C．1－n
D．3－n
4．已知数列{an}为等差数列，且a1＝2，a1＋a2＋a3＝12.
求数列{an}的通项公式．
解：由 a1＋a2＋a3＝12，得3a2＝12，即a2＝4.
∴d＝a2－a1＝2.∴an＝2n.
例3：判断下列数列是否是等差数列．
(1)an＝4n－3；　(2)an＝n2＋n.
试解：(1)∵an＋1－an＝[4(n＋1)－3]－(4n－3)＝4，
　　∴{an}为等差数列．
　　(2)由an＝n2＋n知：a1＝2，a2＝6，a3＝12，
　　a2－a1≠a3－a2，∴{an}不是等差数列．
易错点评：易用特殊代替一般，验证前几项后就得出结论，
等差数列在定义中的要求是“任意的后一项与前一项的差是常
数”，不是“确定的后一项与前一项的差是常数”．
1．用好等差数列的定义与掌握好等差数列的通项公式是关
键，在写等差数列通项公式时，要注意 n 的取值范围．
2．等差数列常见的判定方法．
(1)定义法：an＋1－an＝d(常数)．
(2)等差中项：2an＋1＝an＋an＋2，证明三个数a，b，c 成等
差数列，一般利用等差中项证明 b＝
a＋c
2
.
(3)通项公式为 n 的一次函数：an＝kn＋b(k，b 为常数)．
3．题设中有 3 个数成等差数列时，一般设这 3 个数为 a－
d，a，a＋d.若 5 个数成等差数列，一般设为 a－2d，a－d，a，
a＋d，a＋2d.有时也可直接设为等差数列的通项形式，具体问
题具体分析，设的目的是便于计算，要灵活选择设的方法．
4．等差中项有广泛应用，要准确理解其含义．