第二章 2.2 2.2.2 等差数列的性质

(共13张PPT)
2.2.2 等差数列的性质
1．进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式．
2．掌握等差数列的等差中项的概念，并能灵活运用．
1．等差中项．
等差中项
由三个数a，A，b组成等差数列，A叫做a与b的_________，
即 2A＝__________或 A＝________.
a＋b
练习1：在等差数列{an}中，若a3＝50，a5＝30，则a7＝___.
a＋b
2
10
2．等差数列的性质．
(1)an＝am＋(　 　)d.
n－m
(2)若{an}是等差数列，且 k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，
则__________________．
(3) 若{an} 是等差数列，且m ＋n ＝2k(k ，m ，n ∈N*) ，则
________________．
练习2：如果数列{an}是等差数列，则(
)
B
A．a1＋a8C．a1＋a8>a4＋a5
B．a1＋a8＝a4＋a5
D．a1a8＝a4a5
ak＋al＝am＋an
am＋an＝2ak
练习3：(2010 年重庆)在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则
)
A
a5 的值为(
A．5
C．8
B．6
D．10
若等差数列{an}的第 n 项与第 m 项分别为 an，am，请写出
公差 d 与这两项的关系式．
答案：d＝
an－am
n－m
题型1
等差中项的应用
例1：已知a，b，c 成等差数列，求证：b＋c，c＋a，a＋b
也成等差数列．
三项成等差数列的问题往往借助等差中项去
证明，即a，A，b 成等差数列 2A＝a＋b.
2n－3
则此数列的通项 an 为( )
A．2n－5
C．2n－1
B．2n－3
D．2n＋1
2．数列{an}为等差数列，a2 与 a6 的等差中项为 5，a3 与 a7
的等差中项为 7，则数列的通项 an 为________．
【变式与拓展】
1．已知等差数列{an}的前 3 项依次为 a－1，a＋1, 2a＋3，
B
题型2
等差数列性质的基本应用
例2：已知在等差数列{an}中，a5＋a6＋a7＝15，a5·a6·a7＝
45，求数列{an}的通项公式．
思维突破：可以考虑先利用等差数列的性质消元，再求解
方程组．
自主解答：∵a5＋a6＋a7＝15，
∴3a6＝15，a6＝5.
∴
a5＋a7＝10，
a5a7＝9.
解得
a5＝1，
a7＝9
或
a5＝9，
a7＝1.
当 a5＝1，a7＝9 时，d＝4，
通项公式 an＝a5＋(n－5)d＝1＋(n－5)×4＝4n－19；
当 a5＝9，a7＝1 时，d＝－4，
通项公式 an＝9＋(n－5)×(－4)＝－4n＋29.
B
)
＋a6＝(
A．40
B．42
C．43
D．
45
【变式与拓展】
　　3．在等差数列{an}中，已知a1＝2, a2＋a3＝13, 则a4＋a5
4．已知单调递增的等差数列{an}的前三项之和为 21，前三
项之积为 231，求数列{an}的通项公式．
题型3 等差数列性质的综合应用
例3：在等差数列{an}中，
(1)已知 a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13；
(2)已知 a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求公差d.
【变式与拓展】
5．(2010年全国)如果在等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，
那么 a1＋a2＋…＋a7＝(
)
C
A．14
B．21
C．28
D．35
6．已知数列{an}是等差数列，若a1－a5＋a9－a13＋a17＝117，
求 a3＋a15 的值．
解：∵a1＋a17＝a5＋a13，
∴a1－a5＋a9－a13＋a17
＝(a1＋a17)－(a5＋a13)＋a9＝a9＝117.
∴a3＋a15＝2a9＝2×117＝234.
例4：一梯子上窄下宽，最高一级宽 40 cm，最低一级宽
80 cm，中间还有 9 级，各级的宽度构成等差数列，求中间各级
的宽度．
易错点评：易将梯子的级数弄错，要注意梯子共有11 级，
40 cm 是第1 级，80 cm 的是第11 级．
　　试解：用{an}表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列，由已知，得a1＝40，a11＝80，n＝11，由通项公式，得a11＝a1＋10d，即80＝40＋10d，解得d＝4.
　　因此a2＝44，a3＝48，a4＝52，a5＝56，a6＝60，a7＝64，a8＝68，a9＝72，a10＝76.
1．在做等差数列题时，注意利用结论：若 m＋n＝p＋q，
则 am＋an＝ap＋aq，提高解题速度．因这个结论源于通项公式，
故直接用通项公式也可做出，但所用时间相差很远．
2．解题中注意充分利用等差数列的性质，结合已知条件，
观察已知与求解间的联系，寻找适当的方法．
3．注意一个数列的变式为等差数列的应用，如一个数列的
倒数、一个数列加一个数组成一个等差数列、一个数列开方等．