第二章 2.3 2.3.1 等差数列的前n项和

(共16张PPT)
2.3 等差数列的前 n 项和
2.3.1
等差数列的前 n 项和
1．掌握等差数列前 n 项和公式及其推导过程．
2．体会等差数列的和与二次函数的联系．
1．等差数列{an}的前 n 项和．
等差数列{an}的前 n 项和公式为 Sn＝______________＝
________________.
na1＋
n(n－1)d
2
练习1：在等差数列{an}中，S10＝120，那么a1＋a10 的值是
(
)
B
A．12
B．24
C．36
D．48
n(a1＋an)
2
2．等差数列前 n 项和公式 Sn 与通项公式 an 之间的关系．
(2)已知等差数列{an}和{bn}的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn，则
__________________．
练习2：已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝n2，则 an＝______
(n∈N*)．
2n－1
S2n－1
2n－1
1．等差数列{an}的前 n 项和的两个公式涉及几个量？至少
要知道几个量才能求解？
答案：等差数列{an}的前 n 项和的两个公式涉及 a1，an，
Sn，n，d 五个量，至少要知道其中三个量才能求解．
2．把等差数列{an}的前 n 项和公式Sn＝na1＋
n(n－1)d
2
进行
化简，观察变换后的公式是关于 n 的什么函数？
题型1
求等差数列的前n项和
例1：已知数列{an}是等差数列，a1＋a2＝4，a7＋a8＝28，
求该数列前 10 项和 S10.
思维突破：只需求出条件a1 和a10 或求出条件a1 和d，利
用解方程组的知识求得a1 和d.
自主解答：设等差数列{an}的公差为 d，依题意，可得
2a1＋d＝4，
2a1＋13d＝28，
解得
a1＝1，
d＝2.
∴S10＝10a1＋
10×(10－1)d
2
＝10×1＋
10×9×2
2
＝100.
【变式与拓展】
1．在等差数列{an}中，已知 a11＝10，则 S21＝_____.
210
2．设{an}为等差数列，Sn 为{an}的前 n 项和，S7＝7，S15
＝75，求 Sn.
解析：a1＋a21＝2a11＝20，∴S21＝
21(a1＋a21)
2
＝
21×20
2
＝210.
题型2
等差数列的性质与前n 项和
例2：在等差数列{an}中，
(1)已知 a2＋a5＋a12＋a15＝36，求 S16；
(2)已知 a6＝20，求 S11；
(3)一个等差数列的前 4 项之和是 40，最后 4 项之和为 80，
所有项之和是 210，求项数 n.
思维突破：(1)由等差数列的性质，可以直接利用条件求出
a1＋a16 的和．(2)要求S11 只需知道a1＋a11 即可，而a1 与a11 的
等差中项恰好是a6.
16(a1＋a16)
自主解答：(1)∵a2＋a15＝a5＋a12＝a1＋a16＝18，
∴S16＝
2
＝8×18＝144.
(2)∵a1＋a11＝2a6，
∴S11＝
11(a1＋a11)
2
＝11a6＝11×20＝220.
(3) ∵a1＋a2＋a3＋a4＝40，an－3＋an－2＋an－1＋an＝80，
∴4(a1＋an)＝40＋80，即a1＋an＝30.
又∵Sn＝
(a1＋an)n
2
＝210，∴n＝
2×210
a1＋an
＝14.
【变式与拓展】
3．已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S12＝21，则 a2
＋a5＋a8＋a11＝__________.
7
4．已知在等差数列{an}中，a10＝10，其前 10 项和 S10＝70，
求其公差 d 的值．
题型3
等差数列的通项与前 n 项和
例3：两个等差数列的前 n 项和之比是(7n＋1)∶(4n＋27)，
试求它们的第 11 项之比．
思维突破：利用性质 m＋n＝p＋q am＋an＝ap＋aq解题．
【变式与拓展】
易错点评：容易漏掉当n＝1 时的情形，得到的结果不完全．
n(a1＋an)
当题中具备三个条件：n，a1，d 时，选用Sn＝na1＋
1．记清等差数列的前 n 项和公式的两种形式并能正确地选
用，当题中具备三个条件：n，a1，an时，选用Sn＝
2
，
n(n－1)d
2
.
2．基本量原则：注意在 5 个基本量 n，a1，d，an，Sn 中知
道 3 个量时，可利用等差数列的通项公式与前 n 项和公式求其
他 2 个量．
3．注意把实际问题转化为等差数列的问题进行研究．