第二章 2.3 2.3.2 等差数列前n项和的性质

(共21张PPT)
2.3.2 等差数列前 n 项和的性质
1．掌握等差数列前 n 项和公式及其获取思路．
2．会用等差数列的前 n 项和公式解决一些简单的与前 n 项
和有关的问题．
等差数列的单调性．
当等差数列的公差 ________ 时 ， 数列为递增数列； 当
______时，数列为递减数列；当_______ 时，数列为常数列.
d >0
d <0
d＝0
练习：已知等差数列{an}的通项公式为an＝－2n＋8，则{an}
的前 n 项和 Sn＝________，Sn 的最大值为___．
n(7－n)
12
已知数列{an}前 n 项和公式为 Sn，首项为 a1，则该数列的
通项公式 an 与前 n 项和有什么样的关系式？
答案：an＝
S1 (n＝1)，
Sn－Sn－1 (n≥2)
题型1
等差数列的前 n 项和的性质及应用
例1：等差数列{an}的前 m 项和为 30，前 2m 项和为 100，
)
则它的前 3m 项和为(
A．30
C．210
B．170
D．260
【变式与拓展】
1．设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S3＝9，S6＝36，
)
则 a7＋a8＋a9＝(
A．63
C．36
B．45
D．27
2．等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S2＝2，S4＝10，则
S6＝(
)
C
A．12
C．24
B．18
D．42
B
题型2 等差数列前 n 项和的最值问题
例2：在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，求 Sn 的最值．
等差数列前n项和的最值问题除了用二次函数求解外，还可利用下面的方法讨论：①若d＞0，a1＜0，当且仅当an≤0且an＋1＞0时，Sn有最小值；②若d＜0，a1＞0，当且仅当an≥0且an＋1＜0时，Sn有最大值．取最值时，应考虑n在正整数范围内取值．
【变式与拓展】
3．在等差数列{an}中，a1<0，S6＝S8，该数列前多少项和
最小？
解：由a1＋ a2＋…＋ a6＝ a1＋ a2＋…＋ a7＋ a8，
得a7＋ a8＝0，
又a1<0，故d必大于0.
∴a7<0, a8>0.
则S7最小，即数列前7项的和最小．
4．数列{an}是首项为 23，公差为整数的等差数列，且第 6
项为正，第 7 项为负．
(1)求数列的公差；
(2)求前 n 项和 Sn 的最大值；
(3)当 Sn＞0 时，求 n 的最大值．
题型3
等差数列前 n 项和的实际应用
例3：已知 Sn为等差数列{an}的前n项和，Sn＝12n－n2.
(1)求|a1|＋|a2|＋|a3|;
(2)求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a10|；
(3)求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|.
思维突破：先求出数列的通项公式an.
　　自主解答：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝12n－n2－12(n－1)＋(n－1)2＝－2n＋13；当n＝1时，a1＝S1＝11，符合an＝－2n＋13.∴an＝－2n＋13.
　　(1)当－2n＋13≥0时，n≤6.5，
　　又∵n∈N*，∴n≤6. ∴|a1|＋|a2|＋|a3|＝a1＋a2＋a3＝S3＝27.
　　(2)由(1)可知：|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a10|＝a1＋a2＋…＋a6－a7－a8－a9－a10＝S6－(a7＋…＋a10)＝S6－(S10－S6)＝2S6－S10＝72－20＝52.
　　(3)由(1)(2)可知：
　　当n≤6时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝Sn＝12n－n2；
　　当n≥7时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a6－(a7＋a8＋…＋an)＝S6－(Sn－S6)＝2S6－Sn＝72－(12n－n2)＝n2－12n＋72.
【变式与拓展】
5．(2010 年浙江)等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d，前
n 项和为 Sn，满足 S5S6＋15＝0.
(1)若 S5＝5，求 S6 及 a1；
(2)求 d 的取值范围．
例4：已知一个等差数列{an}的通项公式 an＝25－5n，求数
列{ |an|} 的前 n 项和 Sn.
易错点评：解本题易出现的错误就是：(1)由an≥ 0，得n≤ 5
理解为n＝5，得出结论：Sn＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝50(n ≤ 5)，
Sn＝
(20－5n)(n－5)
2
；(2)把“前 n 项和”认为“从 n ≥ 6 起”的
和．事实上，本题要对 n 进行分类讨论．