第二章 2.1 2.1.2 数列的递推公式

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2.1.2 数列的递推公式
1．了解数列的递推公式．
2．能根据给出的递推公式求数列的前几项．
递推公式．
前一项an－1 (或前几项)
如果已知数列{an}的第 1 项(或前几项)，且任何一项 an 与
它的_____________________间的关系可以用一个公式来表示，
那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
练习：已知数列{an}的第1项是2，递推公式为an＝1－
1
an－1
，
则 a2＝______，a3＝______.
－1
1
2
1．数列的递推公式是 n 的函数的关系式吗？
答案：数列的递推公式不是 n 的函数的关系式．
2．通项公式与递推公式有何异同？
答案：相同：二者都可确定一个数列，都可求出数列的任
何一项．不同：通项公式是 n 的函数的关系式，可直接求出任
一项；而递推公式可根据第一项(或前 n 项)的值，通过一次(或
多次)赋值逐项求出数列的值，直至求出所需的项 an.
题型1
已知数列的递推公式，求前几项及其通项公式
例1：已知下列数列的递推公式，写出此数列的前 4 项，
并推测数列的通项公式．
(1)数列{an}满足 an＋1＝2an＋1，n∈N*，且 a1＝－1；
(2)在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋
1
n(n－1)
(n≥2)．
数列的递推公式是由递推关系式( 递推)和首
项或前几项(基础)两个因素所确定的，即便递推关系完全一样，
而首项不同就可得到两个不同的数列，适当配凑是本题进行归
纳的前提．
【变式与拓展】
1．根据递推公式，分别写出它的前 5 项，并归纳出通项公式：
(1)a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)(n∈N*)；
(2)a1＝1，an＋1＝
2an
an＋2
(n∈N*)．
解：(1)a1＝0，a2＝a1＋1＝1，a3＝a2＋3＝4，
a4＝a3＋5＝9，a5＝a4＋7＝16.
由a1＝02，a2＝12，a3＝22，a4＝32，a5＝42，
可归纳出an＝(n－1)2.
题型2
已知递推公式，用累加法求通项公式
例2：已知在数列{an}中，a1＝5，an＝an－1＋3(n≥2)，求数
列{an}的通项公式．
思维突破：先对an＝an－1＋3 从2 到n 进行取值，得到
n－1 个式子，再把这n－1 个式子相加，消去中间项．
自主解答：由递推关系 an＝an－1＋3(n≥2)，得
a2＝a1＋3，
a3＝a2＋3，
…
若数列有形如an＋1＝an＋f(n)的递推公式，且可
求 f(1)＋f(2)＋…＋f(n)，可用累加法求通项公式．
an－1＝an－2＋3，
an＝an－1＋3.
将以上(n－1)个式子左右两边同时相加，得
a2＋a3＋…＋an－1＋an
＝a1＋3＋a2＋3＋a3＋3＋…＋an－1＋3，
消去a2＋a3＋…＋an－1，并整理，得an＝a1＋3(n－1)．
∵a1＝5，∴an＝3n＋2.
【变式与拓展】
2．已知在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋cos(n－1)π(n≥2)，
求 an.
　　解：由递推关系，an＝an－1＋cos(n－1)π(n≥2)，得
　　a2＝a1＋cosπ，a3＝a2＋cos2π，…，an－1＝an－2＋cos(n－2)π，an＝an－1＋cos(n－1)π，
　　将以上(n－1)个式子左右两边同时相加，得
　　a2＋a3＋…＋an－1＋an
　　＝a1＋cosπ＋a2＋cos2π＋…＋an－2＋cos(n－2)π＋an－1＋cos(n－1)π，
题型3
已知递推公式，用累乘法求通项公式
例3：已知a1＝2，an＋1＝2an，求an.
思维突破：对an＋1＝2an从 1 到n－1 进行取值，得到n－1
个式子，再把这 n－1 个式子相乘，消去中间项．
【变式与拓展】
3. 设{an}是首项为1的正项数列，且满足关系：an＝3an＋1(n
∈N*)，求数列{an}的通项公式．
例4：根据图 2－1－1 中的框图，建立所打印数列的递推
公式，试写出这个数列的前 4 项，并归纳出递推公式．
图 2－1－1
易错点评：没有准确把握相邻两项
(即an＋1 与an)之间的联系和区别．
1．数列的递推公式是数列的另一种给出方法，注意它与通
项公式的区别及其用法．
2．递推数列的题型多样，求递推数列的通项公式的方法也
非常灵活，解题时要仔细辨析递推关系式的特征，准确选择恰
当的方法，通过适当的策略将问题进行化归，是迅速求出通项
公式的关键．