2021-2022学年数学人教B版（2019）选择性必修第一册第二章 第二节 直线及其方程 核心素养提升卷(word 含解析）

第二章 第二节 直线及其方程 核心素养提升卷
一、单选题
1．在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于点，，则下列选项中错误的是（ ）
A．存在正实数使得△面积为的直线l恰有一条
B．存在正实数使得△面积为的直线l恰有二条
C．存在正实数使得△面积为的直线l恰有三条
D．存在正实数使得△面积为的直线l恰有四条
2．直线与轴，轴分别交于点，，以线段为边在第一象限内作等边三角形，如果在第一象限内有一点使得和的面积相等，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
3．定义点P(x0，y0)到直线l：ax＋by＋c＝0(a2＋b2≠0)的有向距离为d＝.已知点P1，P2到直线l的有向距离分别是d1，d2.以下命题正确的是（ ）
A．若d1－d2＝0，则直线P1P2与直线l平行
B．若d1＋d2＝0，则直线P1P2与直线l平行
C．若d1＋d2＝0，则直线P1P2与直线l垂直
D．若d1·d2＜0，则直线P1P2与直线l相交
4．已知，直线上存在点，满足，则的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短 在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为.则“将军饮马“的最短总路程为（ ）
A． B． C． D．
6．已知直线，与两坐标轴分别交于、两点．当的面积取最小值时（为坐标原点），则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知，，点为直线上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知点在直线上，点在直线上，线段的中点为，且满足，则的取值范围为
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知直线在轴和轴上的截距相等，则的值可能是（ ）
A．1 B． C．2 D．
10．定义点到直线:的有向距离为.已知点到直线的有向距离分别是.以下命题不正确的是（ ）
A．若，则直线与直线平行
B．若，，则直线与直线垂直
C．若，则直线与直线垂直
D．若，则直线与直线相交
11．在平面直角坐标系中，定义为两点之间的“折线距离”，则下列说法中正确的是（ ）
A．若点在线段上，则有
B．若是三角形的三个顶点，则有
C．到两点的“折线距离”相等的点的轨迹是直线
D．若为坐标原点，点在直线上，则的最小值为
12．下列结论正确的是（ ）
A．若直线和的斜率相等，则
B．已知直线，（、、、、、为常数），若直线，则
C．点到直线的距离为
D．直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离
三、填空题
13．已知实数a，b，c，d满足，则的最小值为____________
14．设、为不同的两点，直线，，以下命题中正确的序号为__________．
（1）存在实数，使得点N在直线l上；
（2）若，则过M、N的直线与直线l平行；
（3）若，则直线l经过的中点；
（4）若，则点M、N在直线l的同侧且直线l与线段的延长线相交；
15．在平面直角坐标系中，如果与都是整数，就称点为整点，下列命题中正确的是_______．（写出所有正确命题的编号）
① 存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点；
② 如果与都是无理数，则直线不经过任何整点；
③ 如果直线经过两个不同的整点，则直线必经过无穷多个整点；
④ 直线经过无穷多个整点的充分必要条件是：与都是有理数．
16．设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是______．
四、解答题
17．已知的三个顶点、、.
（1）求边所在直线的方程；
（2）边上中线的方程为，且，求点A的坐标.
18．以三角形边，，为边向形外作正三角形，，，则，，三线共点，该点称为的正等角中心．当的每个内角都小于120 时，正等角中心点P满足以下性质：
（1）；
（2）正等角中心是到该三角形三个顶点距离之和最小的点（也即费马点）．
由以上性质求的最小值．
19．已知直线经过点，直线过点，且．
（1）若与距离为5，求两直线的方程；
（2）若与之间的距离最大，求最大距离，并求此时两直线的方程．
20．设直线的方程为（）.
（1）若直线分别与轴正半轴，轴正半轴交于点，，当面积最小时，求的周长；
（2）当直线在两坐标轴上的截距均为整数时，求直线的方程.
21．已知直线，若直线在轴上的截距为，且.
（1）求直线和直线的交点坐标；
（2）已知直线经过直线与直线的交点，且在轴上截距是在轴上的截距的倍，求直线的方程.
22．若过点P的两直线，斜率之积为，则称直线，是一组“共轭线对”.
（1）若直线，是一组“共轭线对”，当两直线夹角最小时，求两直线倾斜角；
（2）若点，，分别是直线，，上的点（A，B，C，P，Q，R均不重合），且直线，是一组“共轭线对”，直线，是一组“共轭线对”，直线，是一组“共轭线对”，求点P的坐标；
（3）若直线，是一组“共轭线对”，其中点，当两直线旋转时，求原点到两直线距离之积的取值范围.
参考答案
1．A
由题意，直线与轴、轴交点分别为，，
∴，作出其图象如图所示，
由图知，当时，有两解；当时，有三解；当时，有四解.
故选：A
2．A
【解析】解：如图所示：
∵直线与轴，轴分别交于点，，
∴，，.
又和的面积相等，
∴，∴可设直线的方程为.
依题意，得点到直线的距离为，即，
∴或（舍），
∴直线的方程为.
又点在直线上，
∴，解得.∴实数的值为.
故选：A
3．D
【解析】由定义可知，若d1＝d2＝0，即点P1，P2到直线l的有向距离为0，则点P1，P2在直线l上，则可知A，B，C均不成立，
故选：D.
4．D
【解析】将代入得，
将代入得，
所以A，B不在直线l上，
又上，
所以点p在线段AB上，
直线AB的方程为：，
由，解得，
直线方程，即为，
设直线的倾斜角为，
则，
因为，
所以，
则，
所以，
即，
因为，
所以，
故选：D
5．C
【解析】如下图所示，设点关于直线的对称点为，
由题意可得，解得，即点，
在直线上取点，由对称性可得，
所以，，
当且仅当、、三点共线时，等号成立，
因此，“将军饮马“的最短总路程为.
故选：C.
6．C
【解析】由直线，，
可得，，
所以当的面积，
令，所以，
所以当，即时，取得最小值．
故选：C
7．C
【解析】，，点为直线上的动点，
设点关于直线的对称点为，
则，解得，，，
，
当，，共线时，的最小值为：．
故选：C．
8．A
【解析】解：设，，则 ，
的中点为， ，
分别在直线和，
，，
，即.
，即 ，
又，，即 ，
所以，即 ，
解得.
故选：A.
9．AC
【解析】若直线过原点，则，解得；
若直线不过原点，则在轴上的截距为，在轴上的截距为，则，可得，
综上，的值可能是1或2.
故选：AC.
10．BCD
【解析】设, ,
选项A, 若, 则, 则点在直线的同一侧，且到直线距离相等，所以直线与直线平行, 所以正确;
选项B, 点在直线的两侧且到直线的距离相等, 直线不一定与垂直, 所以错误;
选项C, 若, 满足, 即,
则点都在直线上, 所以此时直线与直线重合, 所以错误;
选项D, 若, 即,
所以点分别位于直线的两侧或在直线上,
所以直线与直线相交或重合, 所以错误.
故选：BCD
11．AC
【解析】对A，若点在线段上，设，
则在之间，在之间，
则
，故A正确；
对B，在中，
，故B错误；
对C，设到两点的“折线距离”相等的点的坐标为，
则，解得，故C正确；
对D，设，则，即的最小值为，故D错误.
故选：AC.
12．BD
【解析】对于A选项，若直线和的斜率相等，则与平行或重合，A选项错误；
对于B选项，已知直线，（、、、、、为常数）.
当直线和的斜率都存在时，则，，
直线的斜率为，直线的斜率为，若，则，可得；
当直线和分别与两坐标轴垂直，设轴，则轴，则，，满足.
综上所述，若直线，则，B选项正确；
对于C选项，直线的一般方程为，
所以，点到直线的距离为，C选项错误；
对于D选项，由点到直线的距离的定义可知，直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离，D选项正确.
故选：BD.
13．
【解析】∵实数a，b，c，d满足，
∴，，
∴点在直线上，点在直线上，
∴的几何意义就是直线上的点到直线上点的距离的平方，
故所求最小值为.
故答案为：.
14．②③④
【解析】解：若点在直线上则，
不存在实数，使点在直线上，故①不正确；
若，则，
即， ，
即过、两点的直线与直线平行，故②正确；
若，则
即，，
直线经过线段的中点，即③正确；
若，则，或，
即点、在直线的同侧，且直线与线段不平行．故④正确．
故答案为：②③④．
15．①③
【解析】①令直线为：，则其不与坐标轴平行且不经过任何整点，①正确；
②令直线为：，则直线经过整点，②错误；
③令直线为：，过两个不同的整点，，
则，两式作差得：，
即直线经过整点，
直线经过无穷多个整点，③正确；
④令直线为：，则不过整点，④错误.
故答案为：①③.
16．5
【解析】易得.设，则消去得：，所以点P在以AB为直径的圆上，，所以，.
法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以，点P的轨迹是以AB为直径的圆.以下同法一.
17．（1）；（2）点A坐标为或.
【解析】解：（1）由、得边所在直线方程为，
即；
（2），
则，所以，
A到边所在直线的距离为，
所以，则或，
由于A在直线上，故或，
解得或，
所以或.
18．
【解析】根据题意，在平面直角坐标系中，令点，，，
则表示坐标系中一点到点、、的距离之和，因为是等腰三角形，，
所以点在轴负半轴上，所以与轴重合，
令的费马点为，则在上，则，
因为是锐角三角形，由性质（1）得，所以，
所以，所以，
到、、的距离分别为，，
所以的最小值,即为费马点到点、、的距离之和，则．
19．（1），或：，：；
（2）最大距离为，，．
【解析】（1）①若，的斜率都存在时，
设直线的斜率为，由斜截式得的方程，即．
由点斜式可得的方程，即．
在直线上取点，
则点到直线的距离，
，
．
，．
②若、的斜率不存在，
则的方程为，的方程为，它们之间的距离为5．同样满足条件．
（2）当经过两点的直线与两点连线垂直时，距离最大，此时斜率，
最大距离为，
，．
20．（1）；（2），，，，.
【解析】（1）由得：
当时，，当时，，
又由，得，
，
当且仅当，即时，取等号.
，，
的周长为；
（2）直线在两坐标轴上的截距均为整数，
即，均为整数，
，，
又当时，直线在两坐标轴上的截距均为零，也符合题意，
所以直线的方程为，，，，.
21．（1）；（2）或.
【解析】（1）设的方程为，.
因为在轴上的截距为，所以，解得，
即：，
联立，得
所以直线与的交点坐标为 ．
（2）当过原点时，的方程为，
当不过原点时，设的方程为，
又直线经过与的交点，所以，得，
的方程为，
综上，的方程为或.
22．（1）；（2）或；（3）
【解析】解：（1）设的斜率为，则的斜率为，两直线的夹角为，
不妨设，
则，当且仅当时等号成立，
此时，，
即两直线倾斜角分别为；
（2）设直线，，的斜率分别为，
则，解得或，
当时，
直线的方程为，直线的方程为，
联立得，
当时，
直线的方程为，直线的方程为，
联立得，
故所求为或；
（3）设，
设原点到两直线距离分别为，
则
，
由于，当且仅当时等号成立，
故，，
即原点到两直线距离之积的取值范围为．