2021-2022学年数学人教B版（2019）选择性必修第一册第二章 第六节 双曲线及其方程 核心素养提升卷（Word含解析）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年数学人教B版（2019）选择性必修第一册第二章 第六节 双曲线及其方程 核心素养提升卷（Word含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1002.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-26 09:40:34 | ||
图片预览
文档简介
第二章 第六节 双曲线及其方程 核心素养提升卷
一、单选题
1．已知有相同焦点，的椭圆和双曲线，是它们的一个交点，则的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．以上均有可能
2．已知双曲线：的左，右焦点分别为，，为双曲线上一点，，为坐标原点.若，则（ ）
A．10 B．1或9 C．1 D．9
3．设为双曲线的右焦点，过点且斜率为的直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，若，则双曲线的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
4．已知点，分别是双曲线的左、右焦点，为坐标原点，点在双曲线的右支上，且满足，，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
5．点F是双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，A、B分别为C的右顶点、虚轴的上端点，O为坐标原点，若∠OBA＝∠BFA，则双曲线的离心率是（ ）
A． B．﹣1 C．﹣1 D．
6．已知为双曲线的左 右焦点，过作的垂线分别交双曲线的左 右两支于两点(如图).若，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知点P为双曲线的右支上一点，F1，F2为双曲线的左、右焦点，若（为坐标原点），且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知双曲线和椭圆有相同的焦点，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、多选题
9．设、为双曲线：（）同一条渐近线上的两个不同的点，若向量，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
10．双曲线（，）左支上一点关于原点的对称点为点，为其右焦点，若，设，且，则离心率的可能取值是（ ）
A． B． C．2 D．
11．已知曲线，、为实数，则下列说法正确的是（ ）
A．曲线可能表示两条直线
B．若，则是椭圆，长轴长为
C．若，则是圆，半径为
D．若，则是双曲线，渐近线方程为
12．双曲线的左、右焦点分别为，点为的左支上任意一点，直线是双曲线的一条渐近线，，垂足为.当的最小值为3时，的中点在双曲线上，则（ ）
A．的方程为 B．的离心率为
C．的渐近线方程为 D．的方程为
三、填空题
13．双曲线的焦距为2c，直线l过点和，且点到直线l的距离与点到直线l的距离之和，则双曲线离心率e的取值范围为______．
14．已知，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上任意一点，若的最小值为，则该双曲线的离心率的取值范围是______．
15．如图，、是椭圆与双曲线的公共焦点， 、分别是，在第二、四象限的交点，若，且，则椭圆与双曲线的离心率之积为 __.
16．已知双曲线E：的左焦点为F1，过点F1的直线与两条渐近线的交点分别为M，N两点（点F1位于点M与点N之间），且，又过点F1作F1P⊥OM于P（点O为坐标原点），且|ON|＝|OP|，则双曲线E的离心率e为 __．
四、解答题
17．1.分别求满足下列条件的双曲线的标准方程：
（1）以圆：与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和一个顶点；
（2）焦点在轴上，渐近线方程为，且顶点到渐近线的距离为1；
（3）焦点为，且与双曲线有相同的渐近线．
18．如图已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，内切圆的圆心为．
（1）求点的横坐标；
（2）若，，的面积满足，求的值．
19．双曲线C的离心率为，且与椭圆有公共焦点．
（1）求双曲线C的方程．
（2）双曲线C上是否存在两点A，B关于点（4，1）对称？若存在，求出直线AB的方程；若不存在，说明理由．
20．已知是双曲线的右焦点，是左支上一点，，当周长最小时，求的面积．
21．已知是以，为焦点的双曲线上的一点，且，．
（1）求双曲线的离心率；
（2）过点作直线分别与双曲线两渐近线相交于，两点，若（为坐标原点），，求双曲线的标准方程．
22．如图所示，地在地的正东方向处，地在地的北偏东30°方向处，河流的沿岸（曲线）上任意一点到的距离比到的距离远．现要在曲线上选一处建一座码头，向，两地转运货物．经测算，从到，两地修建公路的费用都是万元/，求修建这两条公路的最低总费用．
参考答案
1．B
【解析】根据椭圆与双曲线的焦点都在轴上，不妨设在第一象限，是左焦点，是右焦点，
则由椭圆与双曲线的定义有：，
可得，，即，
因为两者有公共焦点，设半焦距为，则，，
所以，所以，
所以，即，
是直角三角形．
故选：B.
2．D
【解析】由双曲线：得：，
由双曲线的定义知，，又，
∴或（舍去）.
又为双曲线上一点，，
∴为线段的中点，则.
故选：D.
3．D
【解析】设双曲线的右焦点，
则过点且斜率为的直线的方程为，渐近线方程是．
由，得，
由,得，
所以，．
由，得，
则，即，则，
则，
故选：D．
4．A
【解析】由得，，
根据三角形的性质可知，为直角三角形，且，．
由双曲线的定义可得，，又，可得．
所以可化为，
即，而，
，解得，又，
．
故选：A．
5．D
【解析】
由题意可知OB＝b，OA＝a，OF＝c，
在△AOB中，，
在△OBF中， ，
∵∠OBA＝∠BFA，∴且c2＝a2+b2，
∴ac＝c2﹣a2，即e2﹣e﹣1＝0且e＞1，
∴，
故选：D．
6．C
【解析】解：由，设，由得，，所以，
，又得，
，令，化简得：，得，所以渐近线方程为，
故选：C.
7．B
【解析】取的中点，则由，得，
即；
在中，为的中位线，
所以，
所以；
由双曲线定义知，且，故，
所以，
解得：，
故选：.
8．B
【解析】解：由题意双曲线和椭圆有相同的焦点，
，
，
当且仅当即时等号成立，
故的最小值为，
故选：B.
9．AD
【解析】设的夹角为，由题意得，
∴，
①当双曲线的焦点在轴上时，其渐近线方程为，即，
∴点到渐近线的距离为，整理得，
∴，
②当双曲线的焦点在轴上时，其渐近线方程为，即，
∴点到渐近线的距离为，整理得，
∴，
综上双曲线的离心率为或.
故选：AD.
10．CD
【解析】解：设双曲线的左焦点为，则，
根据双曲线的对称性可得四边形为矩形，所以，
因为，，所以，，
则，即，
因为，则，所以，
则，所以，
故选：CD．
11．AC
【解析】对于A选项，若，，则曲线的方程为，即，
此时，曲线表示两条直线，A选项正确；
对于B选项，若，则，曲线的标准方程为，
此时，曲线表示焦点在轴上的椭圆，该椭圆的长轴长为，B选项错误；
对于C选项，若，曲线的方程为，
此时，曲线表示圆，且该圆的半径为，C选项正确；
对于D选项，若，，则曲线的方程为，
曲线表示焦点在轴上的双曲线，则，，
此时，双曲线的渐近线方程为；
当，时，则曲线的方程为，
曲线表示焦点在轴上的双曲线，则，，
所以，双曲线的渐近线方程为.
综上所述，D选项错误.
故选：AC.
12．BCD
【解析】因为，所以
因为焦点到渐近线的距离为，所以的最小值为，所以 不妨设直线为，因为，所以点，，的中点为.将其代入双曲线的方程，得，即，解得 又因为，所以，故双曲线的方程为，离心率为，渐近线方程为
故选：BCD
13．
【解析】设直线l的方程为，即．
由点到直线的距离公式，且，得点到直线l的距离，
点到直线l的距离．
所以．
由，得，即．
因为，所以，所以，
即，所以，所以，
即e的取值范围为．
故答案为：.
14．
【解析】设，则，
由双曲线的定义知，，∴，
∴，
当且仅当，即时，等号成立，
∴当的最小值为时，，，
此时，解得，又，
∴，
故答案为：
15．
【解析】根据椭圆的对称性可知：点是的中点，
若，所以，
因为，所以是等边三角形，所以，
在直角三角形中，，
根据对称性可知：，
在椭圆中，，可得
在双曲线中，，可得
所以离心率之积，
故答案为：.
16．
【解析】解：双曲线E：的渐近线方程为，
∵|ON|＝OP|，且F1P⊥OM，可得△PF1O≌△NF1O，ON⊥MN，
双曲线的一条渐近线方程为bx﹣ay＝0，
则|F1N|＝|F1P|＝＝b．
∵，∴|MN|＝3b，|MF1|＝2b，
由勾股定理可得，|ON|＝|OP|＝，|PM|＝＝，
又|MN|2+|ON|2＝|OM|2，∴(3b)2+a2＝(a+)2，
整理可得a＝，即3c2＝4a2，∴．
故答案为：．
17．
（1）
（2）
（3）
对圆的方程，令，得，
解得，，即圆与轴的两个交点分别为，．
令，得，此方程无解，即圆与轴没有交点．
因此点为双曲线的右顶点，点为双曲线的右焦点．
设双曲线的标准方程为，
则，，所以，
从而双曲线的标准方程为．
（2）
由焦点在轴上，可设双曲线的标准方程为，则渐近线方程为，所以．
由顶点到渐近线的距离为1，即到的距离为1，得，所以，．
从而双曲线的标准方程为．
（3）
设所求双曲线的标准方程为．
由双曲线的一个焦点为，可知，且，得，
则双曲线的标准方程为．
18．
（1）1
（2）
（1）
如图所示，设，，分别与圆相切于点，，，
则，，．
由双曲线的定义得：．
设点的横坐标为，则点， ，，点的横坐标为1．
（2）
设圆的半径为，由，得，
所以，即，解得．
19．（1）；（2）存在，直线的方程为.
【解析】（1）椭圆：，
所以双曲线.
所以双曲线的方程为.
（2）画出图象如下图所示，设，
，
两式相减并化简得，即，
所以直线的方程为.
20．
【解析】由双曲线可得：，，，
设双曲线的左焦点为，由双曲线定义知，，
所以的周长为
由于是定值，要使的周长最小，则最小，
即共线，
因为，，
所以直线的方程为，
由，整理得，
解得或(舍)，
所以点的纵坐标为，
所以.
所以当周长最小时，的面积为.
21．（1）；（2）.
【解析】解：（1）不妨设点在第一象限
，，
，．
，，
．
（2）由（1），知双曲线的方程为，则渐近线的方程为．
不妨设，，，，．
，．
点在双曲线上，，化简，得，
，
，
双曲线的标准方程为．
22．万元．
【解析】如图所示，以的中点为原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，则，，．连接，．
∵，
∴点的轨迹是双曲线的右支．
∵，
当，，三点共线时等号成立，
又总费用为（）万元，
∴，
∴修建这两条公路的最低总费用为万元．
一、单选题
1．已知有相同焦点，的椭圆和双曲线，是它们的一个交点，则的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．以上均有可能
2．已知双曲线：的左，右焦点分别为，，为双曲线上一点，，为坐标原点.若，则（ ）
A．10 B．1或9 C．1 D．9
3．设为双曲线的右焦点，过点且斜率为的直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，若，则双曲线的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
4．已知点，分别是双曲线的左、右焦点，为坐标原点，点在双曲线的右支上，且满足，，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
5．点F是双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，A、B分别为C的右顶点、虚轴的上端点，O为坐标原点，若∠OBA＝∠BFA，则双曲线的离心率是（ ）
A． B．﹣1 C．﹣1 D．
6．已知为双曲线的左 右焦点，过作的垂线分别交双曲线的左 右两支于两点(如图).若，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知点P为双曲线的右支上一点，F1，F2为双曲线的左、右焦点，若（为坐标原点），且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知双曲线和椭圆有相同的焦点，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、多选题
9．设、为双曲线：（）同一条渐近线上的两个不同的点，若向量，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
10．双曲线（，）左支上一点关于原点的对称点为点，为其右焦点，若，设，且，则离心率的可能取值是（ ）
A． B． C．2 D．
11．已知曲线，、为实数，则下列说法正确的是（ ）
A．曲线可能表示两条直线
B．若，则是椭圆，长轴长为
C．若，则是圆，半径为
D．若，则是双曲线，渐近线方程为
12．双曲线的左、右焦点分别为，点为的左支上任意一点，直线是双曲线的一条渐近线，，垂足为.当的最小值为3时，的中点在双曲线上，则（ ）
A．的方程为 B．的离心率为
C．的渐近线方程为 D．的方程为
三、填空题
13．双曲线的焦距为2c，直线l过点和，且点到直线l的距离与点到直线l的距离之和，则双曲线离心率e的取值范围为______．
14．已知，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上任意一点，若的最小值为，则该双曲线的离心率的取值范围是______．
15．如图，、是椭圆与双曲线的公共焦点， 、分别是，在第二、四象限的交点，若，且，则椭圆与双曲线的离心率之积为 __.
16．已知双曲线E：的左焦点为F1，过点F1的直线与两条渐近线的交点分别为M，N两点（点F1位于点M与点N之间），且，又过点F1作F1P⊥OM于P（点O为坐标原点），且|ON|＝|OP|，则双曲线E的离心率e为 __．
四、解答题
17．1.分别求满足下列条件的双曲线的标准方程：
（1）以圆：与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和一个顶点；
（2）焦点在轴上，渐近线方程为，且顶点到渐近线的距离为1；
（3）焦点为，且与双曲线有相同的渐近线．
18．如图已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，内切圆的圆心为．
（1）求点的横坐标；
（2）若，，的面积满足，求的值．
19．双曲线C的离心率为，且与椭圆有公共焦点．
（1）求双曲线C的方程．
（2）双曲线C上是否存在两点A，B关于点（4，1）对称？若存在，求出直线AB的方程；若不存在，说明理由．
20．已知是双曲线的右焦点，是左支上一点，，当周长最小时，求的面积．
21．已知是以，为焦点的双曲线上的一点，且，．
（1）求双曲线的离心率；
（2）过点作直线分别与双曲线两渐近线相交于，两点，若（为坐标原点），，求双曲线的标准方程．
22．如图所示，地在地的正东方向处，地在地的北偏东30°方向处，河流的沿岸（曲线）上任意一点到的距离比到的距离远．现要在曲线上选一处建一座码头，向，两地转运货物．经测算，从到，两地修建公路的费用都是万元/，求修建这两条公路的最低总费用．
参考答案
1．B
【解析】根据椭圆与双曲线的焦点都在轴上，不妨设在第一象限，是左焦点，是右焦点，
则由椭圆与双曲线的定义有：，
可得，，即，
因为两者有公共焦点，设半焦距为，则，，
所以，所以，
所以，即，
是直角三角形．
故选：B.
2．D
【解析】由双曲线：得：，
由双曲线的定义知，，又，
∴或（舍去）.
又为双曲线上一点，，
∴为线段的中点，则.
故选：D.
3．D
【解析】设双曲线的右焦点，
则过点且斜率为的直线的方程为，渐近线方程是．
由，得，
由,得，
所以，．
由，得，
则，即，则，
则，
故选：D．
4．A
【解析】由得，，
根据三角形的性质可知，为直角三角形，且，．
由双曲线的定义可得，，又，可得．
所以可化为，
即，而，
，解得，又，
．
故选：A．
5．D
【解析】
由题意可知OB＝b，OA＝a，OF＝c，
在△AOB中，，
在△OBF中， ，
∵∠OBA＝∠BFA，∴且c2＝a2+b2，
∴ac＝c2﹣a2，即e2﹣e﹣1＝0且e＞1，
∴，
故选：D．
6．C
【解析】解：由，设，由得，，所以，
，又得，
，令，化简得：，得，所以渐近线方程为，
故选：C.
7．B
【解析】取的中点，则由，得，
即；
在中，为的中位线，
所以，
所以；
由双曲线定义知，且，故，
所以，
解得：，
故选：.
8．B
【解析】解：由题意双曲线和椭圆有相同的焦点，
，
，
当且仅当即时等号成立，
故的最小值为，
故选：B.
9．AD
【解析】设的夹角为，由题意得，
∴，
①当双曲线的焦点在轴上时，其渐近线方程为，即，
∴点到渐近线的距离为，整理得，
∴，
②当双曲线的焦点在轴上时，其渐近线方程为，即，
∴点到渐近线的距离为，整理得，
∴，
综上双曲线的离心率为或.
故选：AD.
10．CD
【解析】解：设双曲线的左焦点为，则，
根据双曲线的对称性可得四边形为矩形，所以，
因为，，所以，，
则，即，
因为，则，所以，
则，所以，
故选：CD．
11．AC
【解析】对于A选项，若，，则曲线的方程为，即，
此时，曲线表示两条直线，A选项正确；
对于B选项，若，则，曲线的标准方程为，
此时，曲线表示焦点在轴上的椭圆，该椭圆的长轴长为，B选项错误；
对于C选项，若，曲线的方程为，
此时，曲线表示圆，且该圆的半径为，C选项正确；
对于D选项，若，，则曲线的方程为，
曲线表示焦点在轴上的双曲线，则，，
此时，双曲线的渐近线方程为；
当，时，则曲线的方程为，
曲线表示焦点在轴上的双曲线，则，，
所以，双曲线的渐近线方程为.
综上所述，D选项错误.
故选：AC.
12．BCD
【解析】因为，所以
因为焦点到渐近线的距离为，所以的最小值为，所以 不妨设直线为，因为，所以点，，的中点为.将其代入双曲线的方程，得，即，解得 又因为，所以，故双曲线的方程为，离心率为，渐近线方程为
故选：BCD
13．
【解析】设直线l的方程为，即．
由点到直线的距离公式，且，得点到直线l的距离，
点到直线l的距离．
所以．
由，得，即．
因为，所以，所以，
即，所以，所以，
即e的取值范围为．
故答案为：.
14．
【解析】设，则，
由双曲线的定义知，，∴，
∴，
当且仅当，即时，等号成立，
∴当的最小值为时，，，
此时，解得，又，
∴，
故答案为：
15．
【解析】根据椭圆的对称性可知：点是的中点，
若，所以，
因为，所以是等边三角形，所以，
在直角三角形中，，
根据对称性可知：，
在椭圆中，，可得
在双曲线中，，可得
所以离心率之积，
故答案为：.
16．
【解析】解：双曲线E：的渐近线方程为，
∵|ON|＝OP|，且F1P⊥OM，可得△PF1O≌△NF1O，ON⊥MN，
双曲线的一条渐近线方程为bx﹣ay＝0，
则|F1N|＝|F1P|＝＝b．
∵，∴|MN|＝3b，|MF1|＝2b，
由勾股定理可得，|ON|＝|OP|＝，|PM|＝＝，
又|MN|2+|ON|2＝|OM|2，∴(3b)2+a2＝(a+)2，
整理可得a＝，即3c2＝4a2，∴．
故答案为：．
17．
（1）
（2）
（3）
对圆的方程，令，得，
解得，，即圆与轴的两个交点分别为，．
令，得，此方程无解，即圆与轴没有交点．
因此点为双曲线的右顶点，点为双曲线的右焦点．
设双曲线的标准方程为，
则，，所以，
从而双曲线的标准方程为．
（2）
由焦点在轴上，可设双曲线的标准方程为，则渐近线方程为，所以．
由顶点到渐近线的距离为1，即到的距离为1，得，所以，．
从而双曲线的标准方程为．
（3）
设所求双曲线的标准方程为．
由双曲线的一个焦点为，可知，且，得，
则双曲线的标准方程为．
18．
（1）1
（2）
（1）
如图所示，设，，分别与圆相切于点，，，
则，，．
由双曲线的定义得：．
设点的横坐标为，则点， ，，点的横坐标为1．
（2）
设圆的半径为，由，得，
所以，即，解得．
19．（1）；（2）存在，直线的方程为.
【解析】（1）椭圆：，
所以双曲线.
所以双曲线的方程为.
（2）画出图象如下图所示，设，
，
两式相减并化简得，即，
所以直线的方程为.
20．
【解析】由双曲线可得：，，，
设双曲线的左焦点为，由双曲线定义知，，
所以的周长为
由于是定值，要使的周长最小，则最小，
即共线，
因为，，
所以直线的方程为，
由，整理得，
解得或(舍)，
所以点的纵坐标为，
所以.
所以当周长最小时，的面积为.
21．（1）；（2）.
【解析】解：（1）不妨设点在第一象限
，，
，．
，，
．
（2）由（1），知双曲线的方程为，则渐近线的方程为．
不妨设，，，，．
，．
点在双曲线上，，化简，得，
，
，
双曲线的标准方程为．
22．万元．
【解析】如图所示，以的中点为原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，则，，．连接，．
∵，
∴点的轨迹是双曲线的右支．
∵，
当，，三点共线时等号成立，
又总费用为（）万元，
∴，
∴修建这两条公路的最低总费用为万元．