2021-2022学年数学人教B版（2019）选择性必修第一册第二章 第三节 圆及其方程 核心素养提升卷（Word含解析）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年数学人教B版（2019）选择性必修第一册第二章 第三节 圆及其方程 核心素养提升卷（Word含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-26 09:41:04 | ||
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文档简介
第二章 第三节 圆及其方程 核心素养提升卷
一、单选题
1．已知圆，点是圆O内一点，过点P的圆O的最短弦所在的直线为l1，直线l2的方程为，那么（ ）
A．，且l2与圆O相离
B．l1⊥l2，且l2与圆O相切
C．，且l2与圆O相交
D．l1⊥l2，且l2与圆O相离
2．已知圆，圆，点、分别是圆、圆上的动点，点为轴上的动点，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
3．已知圆，直线，若当的值发生变化时，直线被圆所截的弦长的最小值为2，则的取值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知圆的方程为，过直线上任意一点作圆的切线．若切线长的最小值为，则直线的斜率为（ ）
A．4 B．-4 C． D．
5．已知圆的圆心到直线的距离为，若，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，他证明过这样一个命题：平面内与两个定点距离的比为常数的点的轨还是圆，后人把这个国称为阿波罗尼斯圆，已知定点、，动点满足，则动点的轨迹为一个阿波罗尼斯圆，记此圆为圆，已知点在圆上（点在第一象限），交圆于点，连接并延长交圆于点，连接，当时，直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
7．“曼哈顿距离”是由赫尔曼闵可夫斯基所创的词汇，是一种使用在几何度量空间的几何学用语．例如在平面直角坐标系中，点、的曼哈顿距离为：．若点，点为圆上一动点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知圆：与圆：相交于，两点，且，则下列错误的结论是（ ）
A．是定值 B．四边形的面积是定值
C．的最小值为 D．的最大值为2
二、多选题
9．圆和圆的交点为A，B，则有（ ）
A．公共弦所在直线方程为 B．线段中垂线方程为
C．公共弦的长为 D．P为圆上一动点，则P到直线距离的最大值为
10．已知圆O：x2+y2＝4和圆M：x2+y2－2x+4y+4＝0相交于A、B两点，下列说法正确的是（ ）
A．圆M的圆心为（1，－2），半径为1
B．直线AB的方程为x－2y－4＝0
C．线段AB的长为
D．取圆M上点C（a，b），则2a－b的最大值为
11．瑞士著名数学家欧拉在年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．若满足，顶点、，且其“欧拉线”与圆相切，则下列结论正确的是（ ）
A．圆上的点到原点的最大距离为
B．圆上存在三个点到直线的距离为
C．若点在圆上，则的最小值是
D．若圆与圆有公共点，则
12．瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上．这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作，，点，点，且其“欧拉线”与圆相切，则下列结论正确的是（ ）
A．的“欧拉线”方程为
B．圆上点到直线的最大距离为
C．若点在圆上，则的最小值是
D．圆与圆有公共点，则的取值范围是，
三、填空题
13．设P为直线3x＋4y＋3＝0上的动点，过点P作圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB的面积的最小值为________．
14．在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至多存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆相切，则实数的取值范围为______．
15．在平面直角坐标系内，已知，，动点满足，且在直线上.若满足条件的点是唯一的，则______.
16．在平面直角坐标系中，若圆上存在点，且点关于直线的对称点在圆上，则的取值范围是_________.
四、解答题
17．已知圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且|AB|．
（1）求圆C的标准方程；
（2）过点A任作一条直线与圆O：x2+y2＝1相交于M，N两点．
①求证：为定值，并求出这个定值；
②求△BMN的面积的最大值．
18．已知P、为圆上的动点，A(2，0)，B(1，1)为定点
（1）求线段AP中点M的轨迹方程；
（2）若∠PBQ=90°，求线段PQ中点N的轨迹方程．
19．如图，已知圆，过点的直线与圆相交于，两点．
（1）当时，求直线的方程；
（2）已知在圆上，，且，求四边形面积的最大值．
20．在平面直角坐标系中，已知圆，圆与圆关于点对称．
（1）求圆的方程；
（2）若过平面上一点存在无穷多对互相垂直的直线和，的斜率存在且不为，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点的坐标．
21．已知点与两个定点，之间的距离的比为，记点的轨迹为曲线.
（1）求点的轨迹的方程，并说明轨迹是什么图形；
（2）过点的直线被轨迹所截得的线段的长为8，求直线的方程.
22．已知圆，直线．
（1）求证：对，直线与圆总有两个不同交点；
（2）设与圆交与不同两点，求弦的中点的轨迹方程；
（3）若直线过点，且点分弦为，求此时直线的方程．
参考答案
1．A
【解析】∵点P(a，b)在圆O内部，
∴<|r|.由题意知，
当l1⊥OP时，过点P的弦最短，此时==-.
而l2的斜率=-，
∴l1∥l2.
又∵圆心(0，0)到直线l2的距离d=>=|r|，
∴l2与圆O相离.
故选：A
2．B
【解析】圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为．
，
又，，
所以，．
点关于轴的对称点为，
，
所以，，
故选：B．
3．C
【解析】解：圆，直线，
直线被圆所截的弦长的最小值为2，设弦长为，
则圆心到直线的距离，
当弦长取得最小值2时，则有最大值，
又，因为，则，
故的最大值为，解得．
故选：C．
4．C
【解析】解：由，得圆心，过直线上任意一点作圆的切线，要使切线长最小，即要使圆心到直线的距离最小，根据题意作图，如图所示：
圆的半径为1，切线长为，
圆心到直线的距离等于，
由点到直线的距离公式得，解得，此时直线的斜率为．
故选：C．
5．D
【解析】由题意，知圆心坐标为(1，4)，
圆心到直线的距离为，则，解得或
因为，所以
所以，且，则，当且仅当时取“="，即的最小值为．
故选：D
6．A
【解析】如图所示，设动点，则，
化简可得，化为标准方程可得圆．
因为，，则为等边三角形，
过圆心作于点，则，，
所以，所以，
故选：A．
7．D
【解析】设点，则.
①当时，即当，
，
因为，所以，，
当时，取得最大值；
②当时，即当时，
，
因为，则，
当时，取得最大值.
综上所述，的最大值为.
故选：D.
8．C
【解析】因为圆的半径为，而，所以是正三角形，，为定值，A正确；
，圆半径为，所以到弦的距离为，又到的距离为．所以，而，是的垂直平分线，，B正确；
由上得，
，，当时，，最小值是，C错；
，当且仅当时，，所以最大值是2，D正确．
故选：C．
9．ABD
【解析】对于A，由圆与圆的交点为A，B，
两式作差可得，
即公共弦AB所在直线方程为，故A正确；
对于B，圆的圆心为，，
则线段AB中垂线斜率为，
即线段AB中垂线方程为：，整理可得，故B正确；
对于C，圆，圆心到的距离为
，半径
所以，故C不正确；
对于D，P为圆上一动点，圆心到的距离为，半径，即P到直线AB距离的最大值为，故D正确.
故选：ABD
10．ABD
【解析】由圆M：x2+y2－2x+4y+4＝0，得(x－1)2+(y+2)2＝1，
则圆M的圆心为（1，－2），半径为1，故A正确；
联立圆O：x2+y2＝4和圆M：x2+y2－2x+4y+4＝0，消去二次项，
可得直线AB的方程为x－2y－4＝0，故B正确；
圆心O到直线x－2y－4＝0的距离d，圆O的半径为2，
则线段AB的长为2，故C错误；
令t＝2a－b，即2a－b－t＝0，由M（1，－2）到直线2x－y－t＝0的距离等于圆M的半径，
可得，解得t＝4．
∴2a－b的最大值为，故D正确．
故选：ABD．
11．BD
【解析】由题意，为等腰三角形，的欧拉线即的垂直平分线，
、，的中点坐标为，直线的斜率为，
则的垂直平分线方程为，即．
由“欧拉线”与圆相切，
所以，圆心到直线的距离为，
则圆的方程为，
圆心到原点的距离为，则圆上的点到原点的最大距离为，故A错误；
圆心到直线的距离为，
圆上存在三个点到直线的距离为，故B正确；
的几何意义为圆上的点与定点连线的斜率，
设，即，则直线与圆有公共点，
由，解得，的最小值是，故C错误；
的圆心坐标，半径为，
圆的圆心坐标为，半径为，
要使圆与圆有公共点，则圆心距的范围为，
所以，,解得，故D正确．
故选：BD．
12．ACD
【解析】解：，由题意可得三角形的欧拉线为的中垂线，
由，点可得的中点为，，且，
线段的中垂线方程为：，即，故正确；
三角形的“欧拉线”与圆相切，
圆心到直线的距离，
圆的方程为：，
圆心到直线的距离，
圆上点到直线的距离的最大值为，故错误；
令，，代入圆的方程，
可得，由于在圆上，有根，
则△，整理得：，解得：，
的最小值为，即的最小值为，故正确；
圆心坐标，半径为，
圆的的圆心坐标为，半径为，
要使圆与圆有公共点，则圆心距，，即圆心距，，
，
即：，解得，故正确．
故选：．
13．
【解析】依题意，圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1的圆心是点C(1,1)，半径是1，
易知PC的最小值等于圆心C(1,1)到直线3x＋4y＋3＝0的距离即，且，
由四边形PACB的面积为2S△PAC＝2×(PA·AC)＝PA·AC＝PA＝，
∴四边形PACB的面积的最小值是．
故答案为：
14．
【解析】由于圆的标准方程为，
则圆的圆心坐标为，半径为1．
要使直线上至多存在一点，
使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆相切，
则只需满足圆的圆心到直线的距离，
即，解得．
故答案为：．
15．
【解析】解：设动点的坐标为，由题意得，化简得，
∴动点的轨迹方程为，表示以为圆心，2为半径的圆.
又在直线上，且满足条件的点是唯一的，∴直线与圆相切，且切点为，所以，得，∴.
故答案为：.
16．
【解析】将题意等价为圆关于直线对称圆与圆有交点，
由题意得，圆，圆心为，半径为r，
又，圆心为，半径为2，
所以，
若两圆相交，则满足，
解得.
所以的取值范围是.
故答案为：
17．
（1）
（2）①证明见解析，定值为；②
（1）
（1）过C向y轴作垂线，垂足为P，则|CP|＝1，|BP||AB|，
∴圆C的半径为|BC|，故C（1，），
∴圆C的标准方程为：（x﹣1）2+（y）2．
（2）
①由（1）可知A（0，），B（0，2），
设M（cosα，sinα），则
∴，故为定值．
②设直线MN的方程为，
联立方程组，消元得，
设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，
∴|x1﹣x2|
，令，则
|x1﹣x2|，
当t＝1时，|x1﹣x2|有最大值，
∴△BMN的面积S△BMN |AB| |x1﹣x2||x1﹣x2|，
∴△BMN的面积的最大值为．
18．（1）；（2）.
【解析】（1）设点，圆上一点为，因为为AP中点，故满足，变形得，代入圆的方程得：，化简得；
（2）设点，在中，，设为原点坐标，连接，则，，，
化简得，故线段PQ中点N的轨迹方程为
19．（1）或；（2）．
【解析】（1）圆的半径为，则，
在中，由余弦定理可得，
解得，
设直线的方程为，则点到直线的距离，
于是，解得，
所以直线的方程为或．
（2）当直线与轴弄直时，，
况四边形的面积，
当直线与轴不垂直时，设直线方程为，
即，
则直线方程为，即，
点到直线的距离为，点到直线的距离为，
，
则四边形面积，
令（当时，四边形不存在），
，
四边形面积的最大值为．
20．（1）；（2）所有满足条件的点的坐标为和点．
【解析】解：（1）设圆的圆心的坐标为，
圆与圆关于点对称，与关于点对称，
由中点坐标公式，得，即，，
圆的方程为；
（2）设点满足条件，不妨设直线的方程为，
则直线的方程为．
圆和圆的半径相等，直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，
圆心到直线的距离和圆心到直线的距离相等，
即，
整理，得，
从而或．
的取值有无穷多个，或．
解得或．
这样的点只可能是点或点．
经检验，点和点都满足条件，
所有满足条件的点的坐标为和点．
21．（1）点的轨迹的方程是，轨迹是以为圆心，5为半径的圆；（2）或.
【解析】（1）由题意，得，即，
化简得，即.
点的轨迹的方程是，
轨迹是以为圆心，5为半径的圆.
（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
此时所截得的线段的长为，符合题意.
当直线的斜率存在时，设的方程为，
即，
圆心到直线的距离，
由题意，得，解得，
直线的方程为，即.
综上，直线的方程为或.
22．（1）证明见解析；（2）；（3）或.
【解析】（1）圆的圆心，半径为，所以圆心到直线的距离为，所以直线与圆相交，故对，直线与圆总有两个不同交点；
（2）
因为直线斜率存在，所以点与不重合，连接，则，所以，
设，则，
整理得；
（3）设，由，得，所以，即，又，消去得，所以，，
由得，
将带入得，
所以此时直线的方程为或.
一、单选题
1．已知圆，点是圆O内一点，过点P的圆O的最短弦所在的直线为l1，直线l2的方程为，那么（ ）
A．，且l2与圆O相离
B．l1⊥l2，且l2与圆O相切
C．，且l2与圆O相交
D．l1⊥l2，且l2与圆O相离
2．已知圆，圆，点、分别是圆、圆上的动点，点为轴上的动点，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
3．已知圆，直线，若当的值发生变化时，直线被圆所截的弦长的最小值为2，则的取值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知圆的方程为，过直线上任意一点作圆的切线．若切线长的最小值为，则直线的斜率为（ ）
A．4 B．-4 C． D．
5．已知圆的圆心到直线的距离为，若，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，他证明过这样一个命题：平面内与两个定点距离的比为常数的点的轨还是圆，后人把这个国称为阿波罗尼斯圆，已知定点、，动点满足，则动点的轨迹为一个阿波罗尼斯圆，记此圆为圆，已知点在圆上（点在第一象限），交圆于点，连接并延长交圆于点，连接，当时，直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
7．“曼哈顿距离”是由赫尔曼闵可夫斯基所创的词汇，是一种使用在几何度量空间的几何学用语．例如在平面直角坐标系中，点、的曼哈顿距离为：．若点，点为圆上一动点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知圆：与圆：相交于，两点，且，则下列错误的结论是（ ）
A．是定值 B．四边形的面积是定值
C．的最小值为 D．的最大值为2
二、多选题
9．圆和圆的交点为A，B，则有（ ）
A．公共弦所在直线方程为 B．线段中垂线方程为
C．公共弦的长为 D．P为圆上一动点，则P到直线距离的最大值为
10．已知圆O：x2+y2＝4和圆M：x2+y2－2x+4y+4＝0相交于A、B两点，下列说法正确的是（ ）
A．圆M的圆心为（1，－2），半径为1
B．直线AB的方程为x－2y－4＝0
C．线段AB的长为
D．取圆M上点C（a，b），则2a－b的最大值为
11．瑞士著名数学家欧拉在年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．若满足，顶点、，且其“欧拉线”与圆相切，则下列结论正确的是（ ）
A．圆上的点到原点的最大距离为
B．圆上存在三个点到直线的距离为
C．若点在圆上，则的最小值是
D．若圆与圆有公共点，则
12．瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上．这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作，，点，点，且其“欧拉线”与圆相切，则下列结论正确的是（ ）
A．的“欧拉线”方程为
B．圆上点到直线的最大距离为
C．若点在圆上，则的最小值是
D．圆与圆有公共点，则的取值范围是，
三、填空题
13．设P为直线3x＋4y＋3＝0上的动点，过点P作圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB的面积的最小值为________．
14．在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至多存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆相切，则实数的取值范围为______．
15．在平面直角坐标系内，已知，，动点满足，且在直线上.若满足条件的点是唯一的，则______.
16．在平面直角坐标系中，若圆上存在点，且点关于直线的对称点在圆上，则的取值范围是_________.
四、解答题
17．已知圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且|AB|．
（1）求圆C的标准方程；
（2）过点A任作一条直线与圆O：x2+y2＝1相交于M，N两点．
①求证：为定值，并求出这个定值；
②求△BMN的面积的最大值．
18．已知P、为圆上的动点，A(2，0)，B(1，1)为定点
（1）求线段AP中点M的轨迹方程；
（2）若∠PBQ=90°，求线段PQ中点N的轨迹方程．
19．如图，已知圆，过点的直线与圆相交于，两点．
（1）当时，求直线的方程；
（2）已知在圆上，，且，求四边形面积的最大值．
20．在平面直角坐标系中，已知圆，圆与圆关于点对称．
（1）求圆的方程；
（2）若过平面上一点存在无穷多对互相垂直的直线和，的斜率存在且不为，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点的坐标．
21．已知点与两个定点，之间的距离的比为，记点的轨迹为曲线.
（1）求点的轨迹的方程，并说明轨迹是什么图形；
（2）过点的直线被轨迹所截得的线段的长为8，求直线的方程.
22．已知圆，直线．
（1）求证：对，直线与圆总有两个不同交点；
（2）设与圆交与不同两点，求弦的中点的轨迹方程；
（3）若直线过点，且点分弦为，求此时直线的方程．
参考答案
1．A
【解析】∵点P(a，b)在圆O内部，
∴<|r|.由题意知，
当l1⊥OP时，过点P的弦最短，此时==-.
而l2的斜率=-，
∴l1∥l2.
又∵圆心(0，0)到直线l2的距离d=>=|r|，
∴l2与圆O相离.
故选：A
2．B
【解析】圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为．
，
又，，
所以，．
点关于轴的对称点为，
，
所以，，
故选：B．
3．C
【解析】解：圆，直线，
直线被圆所截的弦长的最小值为2，设弦长为，
则圆心到直线的距离，
当弦长取得最小值2时，则有最大值，
又，因为，则，
故的最大值为，解得．
故选：C．
4．C
【解析】解：由，得圆心，过直线上任意一点作圆的切线，要使切线长最小，即要使圆心到直线的距离最小，根据题意作图，如图所示：
圆的半径为1，切线长为，
圆心到直线的距离等于，
由点到直线的距离公式得，解得，此时直线的斜率为．
故选：C．
5．D
【解析】由题意，知圆心坐标为(1，4)，
圆心到直线的距离为，则，解得或
因为，所以
所以，且，则，当且仅当时取“="，即的最小值为．
故选：D
6．A
【解析】如图所示，设动点，则，
化简可得，化为标准方程可得圆．
因为，，则为等边三角形，
过圆心作于点，则，，
所以，所以，
故选：A．
7．D
【解析】设点，则.
①当时，即当，
，
因为，所以，，
当时，取得最大值；
②当时，即当时，
，
因为，则，
当时，取得最大值.
综上所述，的最大值为.
故选：D.
8．C
【解析】因为圆的半径为，而，所以是正三角形，，为定值，A正确；
，圆半径为，所以到弦的距离为，又到的距离为．所以，而，是的垂直平分线，，B正确；
由上得，
，，当时，，最小值是，C错；
，当且仅当时，，所以最大值是2，D正确．
故选：C．
9．ABD
【解析】对于A，由圆与圆的交点为A，B，
两式作差可得，
即公共弦AB所在直线方程为，故A正确；
对于B，圆的圆心为，，
则线段AB中垂线斜率为，
即线段AB中垂线方程为：，整理可得，故B正确；
对于C，圆，圆心到的距离为
，半径
所以，故C不正确；
对于D，P为圆上一动点，圆心到的距离为，半径，即P到直线AB距离的最大值为，故D正确.
故选：ABD
10．ABD
【解析】由圆M：x2+y2－2x+4y+4＝0，得(x－1)2+(y+2)2＝1，
则圆M的圆心为（1，－2），半径为1，故A正确；
联立圆O：x2+y2＝4和圆M：x2+y2－2x+4y+4＝0，消去二次项，
可得直线AB的方程为x－2y－4＝0，故B正确；
圆心O到直线x－2y－4＝0的距离d，圆O的半径为2，
则线段AB的长为2，故C错误；
令t＝2a－b，即2a－b－t＝0，由M（1，－2）到直线2x－y－t＝0的距离等于圆M的半径，
可得，解得t＝4．
∴2a－b的最大值为，故D正确．
故选：ABD．
11．BD
【解析】由题意，为等腰三角形，的欧拉线即的垂直平分线，
、，的中点坐标为，直线的斜率为，
则的垂直平分线方程为，即．
由“欧拉线”与圆相切，
所以，圆心到直线的距离为，
则圆的方程为，
圆心到原点的距离为，则圆上的点到原点的最大距离为，故A错误；
圆心到直线的距离为，
圆上存在三个点到直线的距离为，故B正确；
的几何意义为圆上的点与定点连线的斜率，
设，即，则直线与圆有公共点，
由，解得，的最小值是，故C错误；
的圆心坐标，半径为，
圆的圆心坐标为，半径为，
要使圆与圆有公共点，则圆心距的范围为，
所以，,解得，故D正确．
故选：BD．
12．ACD
【解析】解：，由题意可得三角形的欧拉线为的中垂线，
由，点可得的中点为，，且，
线段的中垂线方程为：，即，故正确；
三角形的“欧拉线”与圆相切，
圆心到直线的距离，
圆的方程为：，
圆心到直线的距离，
圆上点到直线的距离的最大值为，故错误；
令，，代入圆的方程，
可得，由于在圆上，有根，
则△，整理得：，解得：，
的最小值为，即的最小值为，故正确；
圆心坐标，半径为，
圆的的圆心坐标为，半径为，
要使圆与圆有公共点，则圆心距，，即圆心距，，
，
即：，解得，故正确．
故选：．
13．
【解析】依题意，圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1的圆心是点C(1,1)，半径是1，
易知PC的最小值等于圆心C(1,1)到直线3x＋4y＋3＝0的距离即，且，
由四边形PACB的面积为2S△PAC＝2×(PA·AC)＝PA·AC＝PA＝，
∴四边形PACB的面积的最小值是．
故答案为：
14．
【解析】由于圆的标准方程为，
则圆的圆心坐标为，半径为1．
要使直线上至多存在一点，
使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆相切，
则只需满足圆的圆心到直线的距离，
即，解得．
故答案为：．
15．
【解析】解：设动点的坐标为，由题意得，化简得，
∴动点的轨迹方程为，表示以为圆心，2为半径的圆.
又在直线上，且满足条件的点是唯一的，∴直线与圆相切，且切点为，所以，得，∴.
故答案为：.
16．
【解析】将题意等价为圆关于直线对称圆与圆有交点，
由题意得，圆，圆心为，半径为r，
又，圆心为，半径为2，
所以，
若两圆相交，则满足，
解得.
所以的取值范围是.
故答案为：
17．
（1）
（2）①证明见解析，定值为；②
（1）
（1）过C向y轴作垂线，垂足为P，则|CP|＝1，|BP||AB|，
∴圆C的半径为|BC|，故C（1，），
∴圆C的标准方程为：（x﹣1）2+（y）2．
（2）
①由（1）可知A（0，），B（0，2），
设M（cosα，sinα），则
∴，故为定值．
②设直线MN的方程为，
联立方程组，消元得，
设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，
∴|x1﹣x2|
，令，则
|x1﹣x2|，
当t＝1时，|x1﹣x2|有最大值，
∴△BMN的面积S△BMN |AB| |x1﹣x2||x1﹣x2|，
∴△BMN的面积的最大值为．
18．（1）；（2）.
【解析】（1）设点，圆上一点为，因为为AP中点，故满足，变形得，代入圆的方程得：，化简得；
（2）设点，在中，，设为原点坐标，连接，则，，，
化简得，故线段PQ中点N的轨迹方程为
19．（1）或；（2）．
【解析】（1）圆的半径为，则，
在中，由余弦定理可得，
解得，
设直线的方程为，则点到直线的距离，
于是，解得，
所以直线的方程为或．
（2）当直线与轴弄直时，，
况四边形的面积，
当直线与轴不垂直时，设直线方程为，
即，
则直线方程为，即，
点到直线的距离为，点到直线的距离为，
，
则四边形面积，
令（当时，四边形不存在），
，
四边形面积的最大值为．
20．（1）；（2）所有满足条件的点的坐标为和点．
【解析】解：（1）设圆的圆心的坐标为，
圆与圆关于点对称，与关于点对称，
由中点坐标公式，得，即，，
圆的方程为；
（2）设点满足条件，不妨设直线的方程为，
则直线的方程为．
圆和圆的半径相等，直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，
圆心到直线的距离和圆心到直线的距离相等，
即，
整理，得，
从而或．
的取值有无穷多个，或．
解得或．
这样的点只可能是点或点．
经检验，点和点都满足条件，
所有满足条件的点的坐标为和点．
21．（1）点的轨迹的方程是，轨迹是以为圆心，5为半径的圆；（2）或.
【解析】（1）由题意，得，即，
化简得，即.
点的轨迹的方程是，
轨迹是以为圆心，5为半径的圆.
（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
此时所截得的线段的长为，符合题意.
当直线的斜率存在时，设的方程为，
即，
圆心到直线的距离，
由题意，得，解得，
直线的方程为，即.
综上，直线的方程为或.
22．（1）证明见解析；（2）；（3）或.
【解析】（1）圆的圆心，半径为，所以圆心到直线的距离为，所以直线与圆相交，故对，直线与圆总有两个不同交点；
（2）
因为直线斜率存在，所以点与不重合，连接，则，所以，
设，则，
整理得；
（3）设，由，得，所以，即，又，消去得，所以，，
由得，
将带入得，
所以此时直线的方程为或.