2021-2022学年数学人教B版（2019）选择性必修第一册第二章 第四节 曲线与方程 核心素养提升卷（Word含解析）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年数学人教B版（2019）选择性必修第一册第二章 第四节 曲线与方程 核心素养提升卷（Word含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 963.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-26 09:41:54 | ||
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文档简介
第二章 第四节 曲线与方程 核心素养提升卷
一、单选题
1．若圆与圆关于直线对称，过点的圆与轴相切，则圆心的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知正方体的棱长为2，点，分别是棱，的中点，点在平面内，点在线段上，若，则长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知两平行平面与之间的距离为4，直线，点，则平面内到点的距离为5，且到直线的距离为的点的轨迹是（ ）
A．一组平行线 B．一条抛物线 C．两段圆弧 D．四个点
4．如图，正方体的棱长为1，点M在棱上，且，点P是平面上的动点，且动点P到直线的距离与点P到点M的距离的平方差为1，则动点P的轨迹是（ ）
A．圆 B．抛物线 C．双曲线 D．直线
5．已知曲线：，直线与曲线恰有两个交点，则的取值集合为（ ）.
A． B． C． D．
6．方程（3x-y+1）（y-）=0表示的曲线为（ ）
A．一条线段和半个圆 B．一条线段和一个圆
C．一条线段和半个椭圆 D．两条线段
7．已知动点A在圆上，则点A与定点连线的中点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
8．平面上到两个定点的距离的积为定值的动点轨迹一般称为卡西尼（cassin）卵形线，已知曲线为到定点的距离之积为常数4的点的轨迹，关于曲线的几何性质有下四个结论，其中错误的是（ ）
A．曲线关于原点对称 B．的面积的最大值为2
C．其中的取值范围为 D．其中的取值范围为
二、多选题
9．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，，，点满足．设点的轨迹为，则（ ）．
A．轨迹的方程为
B．在轴上存在异于，的两点，，使得
C．当，，三点不共线时，射线是的角平分线
D．在上存在点，使得
10．已知曲线，则曲线（ ）
A．关于轴对称 B．关于轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线轴对称
11．（多选）在平面直角坐标系中，曲线C上任意一点P与两个定点和连线的斜率之和恒等于2，则关于曲线C的结论正确的是（ ）
A．曲线C是轴对称图形
B．曲线C上所有的点都在圆外
C．曲线C是中心对称图形
D．曲线C上所有点的横坐标的绝对值都大于2
12．（多选题）下列说法正确的是（ ）
A．方程表示两条直线
B．椭圆的焦距为4，则
C．曲线关于坐标原点对称
D．双曲线的渐近线方程为
三、填空题
13．关于曲线，则以下结论正确的序号是____________．
①曲线关于原点对称；
②曲线中；
③曲线不是封闭图形，且它与圆无公共点；
④曲线与曲线有4个交点，这4点构成正方形．
14．笛卡尔 牛顿都研究过方程，关于这个方程的曲线有下列说法：①该曲线关于y轴对称；②该曲线关于原点对称；③该曲线不经过第三象限；④该曲线上有且只有三个点的横 纵坐标都是整数.其中不正确的是___________.
15．已知线段长等于10，两端点A，B分别在x轴，y轴上移动，若点M在线段上，且，则点M的轨迹方程是_____．
16．已知，动点是圆内（含边界）一点． 记直线的倾斜角分别为，且满足，则点的轨迹长度为________．
四、解答题
17．已知点、以及直线，设长为的线段在直线l上移动（如图所示），求直线和的交点M的轨迹方程．
18．求两动直线与的交点的轨迹方程．
19．已知圆与轴正半轴上一定点，是否存在一定点，使得圆上任一点，都有成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
20．已知圆，直线．
（1）求证:对任意的，直线与圆恒有两个交点;
（2）设与圆相交于两点，求线段的中点的轨迹方程．
21．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线之间的阴影部分记为，区域中动点到的距离之积为1.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）动直线穿过区域，分别交直线于两点，若直线与轨迹有且只有一个公共点，求证：的面积恒为定值.
22．在平面直角坐标系，曲线．
（1）如图1，点B为曲线上的动点，，求线段的中点的轨迹方程；
（2）如图2，点B为曲线上的动点，，将绕点A顺时针旋转得到，求线段长度的最大值．
参考答案
1．D
【解析】由条件可知的半径为1，并且圆心连线所在直线的斜率是，
，，圆心，，
所以，解得：，即
设，由条件可知，即，
两边平方后，整理为.
故选：D
2．C
【解析】如图，设中点为，因为为的中点，
所以平面，即，
因为，所以，
所以点在以为圆心，半径为1的位于平面上的半圆上，
作平面图如图所示，
由图像知，的最小值即到的距离减去半径，
，
，所以，
所以的最小值：.
故选：C
3．D
【解析】
设满足条件的点为，
过点做平面的垂线，则.
平面内一点到点的距离为，，
，即为平面上以垂足为圆心，半径的圆上，
过垂足做直线平行于直线，
则直线间距离，
在平面内做直线使得到的距离，
设平面内直线 距离为，
则有，解得，
即平面内直线 距离为，
所以，同时满足到点的距离为5且到直线的距离为的点的轨迹为与圆的四个交点.
故选：D.
4．B
【解析】解：如图所示，在正方体中，作，垂足为，
则平面，过作，则平面，
则为点到直线的距离，
由题意得，
由已知得，
所以，
即到点的距离等于到的距离，
所以根据抛物线的定义可得，点P的轨迹是抛物线，
故选：B
5．D
【解析】
或
化简得：或
因为直线与曲线恰有两个交点，
且直线与直线必有一个交点，
故直线与有且只有一个交点，
因为直线过定点
临界条件为直线刚好过点或
解得
又因直线不过点
故斜率
综上
故选
6．A
【解析】由方程（3x-y+1）（y-）=0得y=（）或3x-y+1=0，且满足-1≤x≤1，
即或3x-y+1=0（-1≤x≤1），
∴方程（3x-y+1）（y-）=0表示一条线段和半个圆．
故选A．
7．A
【解析】设，线段的中点为，则有，因此，
由于点A在圆上，所以，即，
整理得，即线段中点的轨迹方程为．
故选：A.
8．D
【解析】依题意得，
两边平方得，
得，
将代入得，
所以曲线关于原点对称，A正确；
由得，
由得，则，所以，
所以，故C正确；
令，则，
所以，
所以时，取得最大值，
所以，所以，所以D是错误的；
由以上可知的最大值为，
又的面积为，所以的面积的最大值为，所以B是正确的.
故选：D
9．BC
【解析】A：在平面直角坐标系中，，，点满足，
设，则，化简得，
即，所以A错误；
B：假设在轴上存在异于，的两点，，使得，
设，，则，
化简得，
由轨迹的方程为，可得，，
解得，或，（舍去），所以B正确；
C：当，，三点不共线时，，
可得射线是的角平分线，所以C正确；
D：若在上存在点，使得，可设，
则，化简得，
与联立，方程组无解，故不存在点，所以D错误．
故选：BC．
10．ABCD
【解析】，则；；成立
故曲线关于轴对称；关于轴对称；关于原点对称；
取曲线任一点 关于直线轴对称点为
成立.
故选：
11．BC
【解析】设，依题意有，整理，得，于是曲线C的方程为，
所以曲线C不是轴对称图形，而是中心对称图形，原点是它的对称中心，因此A选项错误，C选项正确；
又因为，
所以曲线C上所有的点都在圆外，故B选项正确；
代入点，得，所以点在曲线C上，
但其横坐标的绝对值不大于2，故D选项错误．
故选：BC．
12．ACD
【解析】方程即，表示，两条直线，所以A正确；
椭圆的焦距为4，则或，解得或，所以B选项错误；
曲线上任意点，满足，关于坐标原点对称点也满足，即在上，所以曲线关于坐标原点对称，所以C选项正确；
双曲线即，其渐近线方程为正确，所以D选项正确.
故选：ACD
13．①③
【解析】解：对于①，在曲线中，以代替，以代替，方程不变，所以曲线关于原点对称，所以①正确 ，
对于②，由，得，解得或，同理可得或，所以②错误，
对于③，由②可知曲线不是封闭图形，由，得，因为，所以方程无解，所以曲线与圆无公共点，所以③正确，
对于④，假设曲线与曲线有4个交点，这4点构成正方形，则由对称性可知，第一象限的交点必在直线上，则由，解得此点的坐标为，而此点坐标不满足曲线，所以这样的正方形不存在，所以④错误，
故答案为：①③
14．①②④
【解析】因为满足方程，
则将点代入方程有，原方程不成立，
所以该曲线不关于y轴对称；
将点代入方程有，原方程不成立，
所以该曲线不关于原点对称；
当时，，所以方程不可能成立，所以该曲线不经过第三象限；
令易得即满足题意，同理可得符合题意，
所以该曲线上有且只有三个点的横 纵坐标都是整数是错误的；
故答案为：①②④.
15．
【解析】设，所以，，因为，所以，即．因为，所以，所以解得，代入，可得，即．
故答案为：
16．
【解析】设直线的斜率为,直线的斜率为,
∴,
又因为,知,
即,.
因为动点是圆内一点,故.
即,化简可得,即的轨迹为方程.
又圆心在上,所以的轨迹长度为圆的直径.
故答案为：
17．.
【解析】解：如图所示，∵点A、B在直线上，设点A、B、M的坐标分别为，，，其中．
当时，由、、三点共线，
得，解出a，得①，
由、、三点共线，
得，解出b，得．②
由条件，得．∴．③，
由①、②、③式得．
整理得①．④，
当时，两直线和的交点M与点或点重合，得点P和点Q的坐标都满足方程④．
总之，④式就是点M的轨迹方程．
④式可改写成．
∴轨迹的图形是双曲线，它的中心是点，焦点在直线上．
18．
【解析】令，，
则直线的斜率，直线的斜率，所以．
易知过定点，过定点．
令与的交点为，因为，存在，所以，
所以，，
所以，整理得，
所以交点的轨迹方程为．
故答案为：
19．存在定点满足条件．
【解析】设，假设存在定点满足，
则，
即，
于是，
解得．
故存在定点满足条件．
20．（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）由已知可得直线 ，所以直线恒过定点.
又所以点在圆内，
所以对任意的，直线与圆恒有两个交点.
（2）由（1）知，知直线恒过定点，且直线的斜率存在.
又是的中点，，
所以点在以为直径的圆上.又
所以以为直径的圆的方程为，
又直线的斜率存在，，
所以点 的轨迹方程为.
21．（1）（2）2
【解析】（Ⅰ）由题意得，.
因为点在区域内，所以与同号，得，
即点的轨迹的方程为.
（Ⅱ）设直线与轴相交于点，当直线的斜率不存在时，，，得.
当直线的斜率存在时，设其方程为，显然，则，
把直线的方程与联立得，
由直线与轨迹有且只有一个公共点，知，
得，得或.
设，，由得，同理，得.
所以 .
综上，的面积恒为定值2.
22．（1）；（2）.
【解析】（1）设点B的坐标为，则，设线段的中点为．
因为点B在曲线上，所以①．
因为M为线段的中点，所以，解得，
代入①式得，
化简得，其中．
故线段的中点的轨迹方程为．
（2）如图所示，将绕点A顺时针旋转得到，易得，
结合图形可知，点C在曲线上运动，
则问题转化为求原点O到曲线上一点C的距离的最大值，
连接并延长交曲线于点，
当点C与重合时，取得最大值，且．
一、单选题
1．若圆与圆关于直线对称，过点的圆与轴相切，则圆心的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知正方体的棱长为2，点，分别是棱，的中点，点在平面内，点在线段上，若，则长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知两平行平面与之间的距离为4，直线，点，则平面内到点的距离为5，且到直线的距离为的点的轨迹是（ ）
A．一组平行线 B．一条抛物线 C．两段圆弧 D．四个点
4．如图，正方体的棱长为1，点M在棱上，且，点P是平面上的动点，且动点P到直线的距离与点P到点M的距离的平方差为1，则动点P的轨迹是（ ）
A．圆 B．抛物线 C．双曲线 D．直线
5．已知曲线：，直线与曲线恰有两个交点，则的取值集合为（ ）.
A． B． C． D．
6．方程（3x-y+1）（y-）=0表示的曲线为（ ）
A．一条线段和半个圆 B．一条线段和一个圆
C．一条线段和半个椭圆 D．两条线段
7．已知动点A在圆上，则点A与定点连线的中点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
8．平面上到两个定点的距离的积为定值的动点轨迹一般称为卡西尼（cassin）卵形线，已知曲线为到定点的距离之积为常数4的点的轨迹，关于曲线的几何性质有下四个结论，其中错误的是（ ）
A．曲线关于原点对称 B．的面积的最大值为2
C．其中的取值范围为 D．其中的取值范围为
二、多选题
9．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，，，点满足．设点的轨迹为，则（ ）．
A．轨迹的方程为
B．在轴上存在异于，的两点，，使得
C．当，，三点不共线时，射线是的角平分线
D．在上存在点，使得
10．已知曲线，则曲线（ ）
A．关于轴对称 B．关于轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线轴对称
11．（多选）在平面直角坐标系中，曲线C上任意一点P与两个定点和连线的斜率之和恒等于2，则关于曲线C的结论正确的是（ ）
A．曲线C是轴对称图形
B．曲线C上所有的点都在圆外
C．曲线C是中心对称图形
D．曲线C上所有点的横坐标的绝对值都大于2
12．（多选题）下列说法正确的是（ ）
A．方程表示两条直线
B．椭圆的焦距为4，则
C．曲线关于坐标原点对称
D．双曲线的渐近线方程为
三、填空题
13．关于曲线，则以下结论正确的序号是____________．
①曲线关于原点对称；
②曲线中；
③曲线不是封闭图形，且它与圆无公共点；
④曲线与曲线有4个交点，这4点构成正方形．
14．笛卡尔 牛顿都研究过方程，关于这个方程的曲线有下列说法：①该曲线关于y轴对称；②该曲线关于原点对称；③该曲线不经过第三象限；④该曲线上有且只有三个点的横 纵坐标都是整数.其中不正确的是___________.
15．已知线段长等于10，两端点A，B分别在x轴，y轴上移动，若点M在线段上，且，则点M的轨迹方程是_____．
16．已知，动点是圆内（含边界）一点． 记直线的倾斜角分别为，且满足，则点的轨迹长度为________．
四、解答题
17．已知点、以及直线，设长为的线段在直线l上移动（如图所示），求直线和的交点M的轨迹方程．
18．求两动直线与的交点的轨迹方程．
19．已知圆与轴正半轴上一定点，是否存在一定点，使得圆上任一点，都有成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
20．已知圆，直线．
（1）求证:对任意的，直线与圆恒有两个交点;
（2）设与圆相交于两点，求线段的中点的轨迹方程．
21．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线之间的阴影部分记为，区域中动点到的距离之积为1.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）动直线穿过区域，分别交直线于两点，若直线与轨迹有且只有一个公共点，求证：的面积恒为定值.
22．在平面直角坐标系，曲线．
（1）如图1，点B为曲线上的动点，，求线段的中点的轨迹方程；
（2）如图2，点B为曲线上的动点，，将绕点A顺时针旋转得到，求线段长度的最大值．
参考答案
1．D
【解析】由条件可知的半径为1，并且圆心连线所在直线的斜率是，
，，圆心，，
所以，解得：，即
设，由条件可知，即，
两边平方后，整理为.
故选：D
2．C
【解析】如图，设中点为，因为为的中点，
所以平面，即，
因为，所以，
所以点在以为圆心，半径为1的位于平面上的半圆上，
作平面图如图所示，
由图像知，的最小值即到的距离减去半径，
，
，所以，
所以的最小值：.
故选：C
3．D
【解析】
设满足条件的点为，
过点做平面的垂线，则.
平面内一点到点的距离为，，
，即为平面上以垂足为圆心，半径的圆上，
过垂足做直线平行于直线，
则直线间距离，
在平面内做直线使得到的距离，
设平面内直线 距离为，
则有，解得，
即平面内直线 距离为，
所以，同时满足到点的距离为5且到直线的距离为的点的轨迹为与圆的四个交点.
故选：D.
4．B
【解析】解：如图所示，在正方体中，作，垂足为，
则平面，过作，则平面，
则为点到直线的距离，
由题意得，
由已知得，
所以，
即到点的距离等于到的距离，
所以根据抛物线的定义可得，点P的轨迹是抛物线，
故选：B
5．D
【解析】
或
化简得：或
因为直线与曲线恰有两个交点，
且直线与直线必有一个交点，
故直线与有且只有一个交点，
因为直线过定点
临界条件为直线刚好过点或
解得
又因直线不过点
故斜率
综上
故选
6．A
【解析】由方程（3x-y+1）（y-）=0得y=（）或3x-y+1=0，且满足-1≤x≤1，
即或3x-y+1=0（-1≤x≤1），
∴方程（3x-y+1）（y-）=0表示一条线段和半个圆．
故选A．
7．A
【解析】设，线段的中点为，则有，因此，
由于点A在圆上，所以，即，
整理得，即线段中点的轨迹方程为．
故选：A.
8．D
【解析】依题意得，
两边平方得，
得，
将代入得，
所以曲线关于原点对称，A正确；
由得，
由得，则，所以，
所以，故C正确；
令，则，
所以，
所以时，取得最大值，
所以，所以，所以D是错误的；
由以上可知的最大值为，
又的面积为，所以的面积的最大值为，所以B是正确的.
故选：D
9．BC
【解析】A：在平面直角坐标系中，，，点满足，
设，则，化简得，
即，所以A错误；
B：假设在轴上存在异于，的两点，，使得，
设，，则，
化简得，
由轨迹的方程为，可得，，
解得，或，（舍去），所以B正确；
C：当，，三点不共线时，，
可得射线是的角平分线，所以C正确；
D：若在上存在点，使得，可设，
则，化简得，
与联立，方程组无解，故不存在点，所以D错误．
故选：BC．
10．ABCD
【解析】，则；；成立
故曲线关于轴对称；关于轴对称；关于原点对称；
取曲线任一点 关于直线轴对称点为
成立.
故选：
11．BC
【解析】设，依题意有，整理，得，于是曲线C的方程为，
所以曲线C不是轴对称图形，而是中心对称图形，原点是它的对称中心，因此A选项错误，C选项正确；
又因为，
所以曲线C上所有的点都在圆外，故B选项正确；
代入点，得，所以点在曲线C上，
但其横坐标的绝对值不大于2，故D选项错误．
故选：BC．
12．ACD
【解析】方程即，表示，两条直线，所以A正确；
椭圆的焦距为4，则或，解得或，所以B选项错误；
曲线上任意点，满足，关于坐标原点对称点也满足，即在上，所以曲线关于坐标原点对称，所以C选项正确；
双曲线即，其渐近线方程为正确，所以D选项正确.
故选：ACD
13．①③
【解析】解：对于①，在曲线中，以代替，以代替，方程不变，所以曲线关于原点对称，所以①正确 ，
对于②，由，得，解得或，同理可得或，所以②错误，
对于③，由②可知曲线不是封闭图形，由，得，因为，所以方程无解，所以曲线与圆无公共点，所以③正确，
对于④，假设曲线与曲线有4个交点，这4点构成正方形，则由对称性可知，第一象限的交点必在直线上，则由，解得此点的坐标为，而此点坐标不满足曲线，所以这样的正方形不存在，所以④错误，
故答案为：①③
14．①②④
【解析】因为满足方程，
则将点代入方程有，原方程不成立，
所以该曲线不关于y轴对称；
将点代入方程有，原方程不成立，
所以该曲线不关于原点对称；
当时，，所以方程不可能成立，所以该曲线不经过第三象限；
令易得即满足题意，同理可得符合题意，
所以该曲线上有且只有三个点的横 纵坐标都是整数是错误的；
故答案为：①②④.
15．
【解析】设，所以，，因为，所以，即．因为，所以，所以解得，代入，可得，即．
故答案为：
16．
【解析】设直线的斜率为,直线的斜率为,
∴,
又因为,知,
即,.
因为动点是圆内一点,故.
即,化简可得,即的轨迹为方程.
又圆心在上,所以的轨迹长度为圆的直径.
故答案为：
17．.
【解析】解：如图所示，∵点A、B在直线上，设点A、B、M的坐标分别为，，，其中．
当时，由、、三点共线，
得，解出a，得①，
由、、三点共线，
得，解出b，得．②
由条件，得．∴．③，
由①、②、③式得．
整理得①．④，
当时，两直线和的交点M与点或点重合，得点P和点Q的坐标都满足方程④．
总之，④式就是点M的轨迹方程．
④式可改写成．
∴轨迹的图形是双曲线，它的中心是点，焦点在直线上．
18．
【解析】令，，
则直线的斜率，直线的斜率，所以．
易知过定点，过定点．
令与的交点为，因为，存在，所以，
所以，，
所以，整理得，
所以交点的轨迹方程为．
故答案为：
19．存在定点满足条件．
【解析】设，假设存在定点满足，
则，
即，
于是，
解得．
故存在定点满足条件．
20．（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）由已知可得直线 ，所以直线恒过定点.
又所以点在圆内，
所以对任意的，直线与圆恒有两个交点.
（2）由（1）知，知直线恒过定点，且直线的斜率存在.
又是的中点，，
所以点在以为直径的圆上.又
所以以为直径的圆的方程为，
又直线的斜率存在，，
所以点 的轨迹方程为.
21．（1）（2）2
【解析】（Ⅰ）由题意得，.
因为点在区域内，所以与同号，得，
即点的轨迹的方程为.
（Ⅱ）设直线与轴相交于点，当直线的斜率不存在时，，，得.
当直线的斜率存在时，设其方程为，显然，则，
把直线的方程与联立得，
由直线与轨迹有且只有一个公共点，知，
得，得或.
设，，由得，同理，得.
所以 .
综上，的面积恒为定值2.
22．（1）；（2）.
【解析】（1）设点B的坐标为，则，设线段的中点为．
因为点B在曲线上，所以①．
因为M为线段的中点，所以，解得，
代入①式得，
化简得，其中．
故线段的中点的轨迹方程为．
（2）如图所示，将绕点A顺时针旋转得到，易得，
结合图形可知，点C在曲线上运动，
则问题转化为求原点O到曲线上一点C的距离的最大值，
连接并延长交曲线于点，
当点C与重合时，取得最大值，且．