2021-2022学年数学人教B版（2019）选择性必修第一册第二章 第五节 椭圆及其方程 核心素养提升卷册（Word含解析）

第二章 第五节 椭圆及其方程 核心素养提升卷
一、单选题
1．已知椭圆与圆，若在椭圆上存在点，使得过点所作的圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．已知F是椭圆的一个焦点，AB为过椭圆中心的一条弦，则△ABF面积的最大值为（ ）
A．6 B．15 C．20 D．12
3．如图所示，椭圆的离心率，左焦点为，，，分别为左顶点、上顶点和下顶点，直线与交于点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，椭圆的长轴为，椭圆的短轴为，且与的离心率相同，直线与，相交于四点，这四点按纵坐标从大到小依次为，，，，若，为坐标原点，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
5．若，分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上的任意一点，且的内切圆的周长为，则满足条件的点的个数为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．0
6．已知，是圆上一动点，线段的垂直平分线交于点，则动点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．设椭圆＝1（a＞b＞0）的焦点为F1，F2，P是椭圆上一点，且∠F1PF2＝，若△F1PF2的外接圆和内切圆的半径分别为R，r，当R＝4r时，椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．“天问一号”推开了我国行星探测的大门，通过一次发射，将实现火星环绕 着陆 巡视，是世界首创，也是我国真正意义上的首次深空探测．2021年2月10日，天问一号探测器顺利进入火星的椭圆环火轨道(将火星近似看成一个球体，球心为椭圆的一个焦点).2月15日17时，天问一号探测器成功实施捕获轨道“远火点(椭圆轨迹上距离火星表面最远的一点)平面机动”，同时将近火点高度调整至约265公里．若此时远火点距离约为11945公里，火星半径约为3395公里，则调整后“天问一号”的运行轨迹(环火轨道曲线)的离心率约为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．中国的嫦娥四号探测器，简称“四号星”，是世界首个在月球背面软着陆和巡视探测的航天器.2019年9月25日，中国科研人员利用嫦娥四号数据精确定位了嫦娥四号的着陆位置，并再现了嫦娥四号的落月过程，该成果由国际科学期刊《自然·通讯》在线发表.如图所示，现假设“四号星”沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则下列式子正确的是（ ）
A．a1+c1=a2+c2 B．a1-c1=a2-c2 C． D．
10．已知，是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，则（ ）
A．当时，满足的点有2个
B．当时，满足的点有4个
C．的周长小于
D．的面积大于等于
11．已知椭圆的左、右焦点分别为、，为坐标原点，是椭圆上一点，延长与椭圆交于点，若，的面积为，则的值可以为（ ）
A． B． C． D．
12．如图所示，“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行．若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，下列式子正确的是（ ）
A． B．
C． < D．
三、填空题
13．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：，点是椭圆内一点，，若椭圆上存在一点P，使得，当m取得最大值时，椭圆的离心率为______．
14．若分别过椭圆的左、右焦点，，所作的两条互相垂直的直线，的交点在椭圆上，则此椭圆的离心率的取值范围是______．
15．已知椭圆的左、右焦点分别为，，斜率为的直线过，且与椭圆的交点为，，与轴的交点为，为线段的中点．若，则椭圆的离心率的取值范围为______．
16．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的焦距为4，直线l：y＝2x与椭圆C相交于点A、B，点P是椭圆C上异于点A、B的动点，直线PA、PB的斜率分别为k1、k2，且k1 k2＝，则椭圆C的标准方程是__．
四、解答题
17．设F1，F2分别是椭圆E： (a＞b＞0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|F1B|.
（1）若|AB|＝4，△ABF2的周长为16，求|AF2|；
（2）若cos∠AF2B＝，求椭圆E的离心率．
18．椭圆：的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆相交于，两点（如图所示），，的面积是的面积的2倍．若，求椭圆的方程．
19．根据下列条件，求椭圆的标准方程：
（1）长轴长是短轴长的两倍，且过点；
（2）x轴上的一个焦点与短轴的两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴较近的端点距离是．
20．已知椭圆C：过点，为椭圆的左右顶点，且直线的斜率的乘积为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过右焦点F的直线与椭圆C交于M，N两点，线段MN的垂直平分线交直线于点P，交直线于点Q，求的最小值.
21．已知椭圆的方程为，椭圆的中心在原点，焦点在轴上，且与有相同的离心率，过的右顶点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与两椭圆，交于四点（依次为，，，），如图所示，试证明．
22．某海面上有，两个观测点，点在点正东方向处．经多年观察研究，发现某种鱼群（将鱼群视为点）洄游的路线是以，为焦点的椭圆．现有渔船发现该鱼群在与点，点距离之和为处．在点，，所在的平面内，以，所在的直线为轴，线段的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系．
（1）求椭圆的方程；
（2）某日，研究人员在，两点同时用声呐探测仪发出信号探测该鱼群（探测过程中，信号传播速度相同且鱼群移动的路程忽略不计），，两点收到鱼群的反射信号所用的时间之比为，试确定此时鱼群的位置（即点的坐标）．
参考答案
1．C
【解析】在椭圆的长轴端点处向圆引两条切线，，
若椭圆上存在点，使过的两条切线互相垂直，则只需，即，
∴，得，
∴，又，
∴，即．
故选：C
2．D
【解析】显然直线AB不垂直y轴，椭圆中心为原点O，设直线AB的方程为：x=my，
由消去y得：，设，
由椭圆对称性，不妨令，焦点，
△ABF的面积，当且仅当时取“=”，
所以△ABF面积的最大值为12.
故选：D
3．A
【解析】，，．
由题图可知，，
，，
．
故选：A．
4．D
【分析】
求出椭圆方程，根据，得出和的斜率相等，即可建立关系求解.
【解析】在椭圆中，，所以，得，则椭圆的标准方程为．
由题意知，将与和的方程分别联立，得，，
又，，所以和的斜率相同，
所以，解得．
故选：D.
5．A
【分析】
设的内切圆的半径等于，，根据椭圆定义和三角形面积公式， 可得，即可得解.
【解析】设的内切圆的半径等于，，
则由题意可得，∴．
由椭圆的定义可得，又，
∴的面积等于．
又的面积等于，∴，
易知满足的点有2个，
故选：A．
6．A
【分析】
根据垂直平分线的性质得，再由椭圆的定义可得出点的轨迹是以，为焦点的椭圆，由椭圆的方程可求得动点的轨迹方程.
【解析】解：由题意，可知圆的标准方程为，圆心为，半径为6．
∵线段的垂直平分线交于点，∴，∴，
∴点的轨迹是以，为焦点的椭圆，∴，，，∴其轨迹方程为．
故选：A．
7．B
【分析】
由正弦定理把用表示，也用表示，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，由余弦定理结合椭圆定义可得．然后把面积用两种方法表示，得出的关系式，求得离心率．
【解析】解：椭圆的焦点为F1（﹣c，0），F2（c，0），|F1F2|＝2c，
根据正弦定理可得2R＝＝＝，
∴R＝，r＝R＝．
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m+n＝2a，
由余弦定理得，4c2＝m2+n2﹣2mncos＝(m+n)2﹣3mn＝4a2﹣3mn，
∴mn＝，
∴＝mnsin＝，
又＝(m+n+2c) r＝，
∴＝，即2a2﹣3c2﹣ac＝0，故3e2+e﹣2＝0，
解得：e＝或e＝﹣1（舍）．
故选：B．
8．A
【分析】
根据题中的信息列出关于的方程，然后解方程并求离心率即可．
【解析】设椭圆的方程为()，
由椭圆的性质可得椭圆上的点到焦点的距离的最小值为，最大值为，
根据题意可得近火点满足，，
解得，，
所以椭圆的离心率为，
故选：A．
9．BD
【分析】
由题设信息可得a1>a2，c1>c2和a1-c1=a2-c2，再结合椭圆长半轴长a，短半轴长b，半焦距c的关系即可计算判断作答.
【解析】依题意，椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ有共同的一个顶点P和一个焦点F，则它们的中心都在直线PF上，而椭圆轨道Ⅱ在椭圆轨道Ⅰ内，
于是可得a1>a2，c1>c2，即a1+c1>a2+c2，A不正确；
在椭圆轨道Ⅰ中，|PF|=a1-c1，在椭圆轨道Ⅱ中，|PF|=a2-c2，则有a1-c1=a2-c2，B正确；
由a1-c1=a2-c2得a1+c2=a2+c1，则，，即，
令，，其中分别为椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的短半轴长，并且有，
于是有，即，，则，C错误，D正确.
故选：BD
10．ABC
【分析】
根据题意，结合椭圆的图象性质，一一判断即可.
【解析】对于选项A和选项B，当点的坐标为或时，
最大，且当时，，易知选项A和B正确；
对于选项C，的周长为，故选项C正确；
对于选项D，的面积为，故选项D错误．
故选：ABC.
11．BD
【分析】
连接，分析得出，记，，利用三角形的面积公式以及椭圆的定义可得出关于、，解出的值，即为所求.
【解析】连接，因为，则，，
因为，，
记，，则，由椭圆的定义可得，
所以，，解得或，所以或
故选：BD.
12．BD
【分析】
根据题意得，再结合不等式的性质即可得答案.
【解析】观察图形可知，即A不正确；，即B正确；
由， 知，，即，从而,即： ,即D正确，C不正确．
故选：BD
【点睛】
本题考查知识的迁移与应用，考查分析问题与处理问题的能力，是中档题.本题解题的关键在于由图知，进而根据不等式性质讨论求解.
13．##
【分析】
先根据在椭圆内部得到的取值范围，再求出的取值范围，根据得到关于的不等式组，两者结合可求的取值范围，当取得最大值时，可根据公式计算其离心率.
【解析】因为点是椭圆内一点，故，
由，可得．
为椭圆的下焦点，设椭圆的上焦点为F，
则，
而，当且仅当P，A，F三点共线时等号成立，
故，所以，
所以，故．
m的最大值为25，此时椭圆方程为，其离心率为．
故答案为：
14．
【分析】
利用椭圆定义以及均值不等式即可求解.
【解析】设两直线的交点为，，，坐标原点为O，
由椭圆的定义，可得，
，
∴，
由均值不等式可得，，
即，当且仅当时，等号成立，
从而，又，∴．
故答案为：.
15．
【分析】
设直线为结合已知，求坐标，将其代入椭圆方程整理得，再由题设k的范围求椭圆的离心率的取值范围.
【解析】设直线的方程为，则，．又在椭圆上，
∴，即，变形得，于是，
∴，解得．又，
∴，从而得，故椭圆的离心率的取值范围为．
故答案为：
16．＝1
【分析】
设P（x0，y0），A（x1，y1），B（﹣x1，﹣y1），代入作差法表示出k1 k2＝，与联立，即可求出椭圆的标准方程.
【解析】设P（x0，y0），A（x1，y1），B（﹣x1，﹣y1），则，，
两式作差得．
因为直线PA，PB的斜率都存在，所以≠0．
所以＝﹣＝﹣＝﹣k1 k2＝，则，
又因为焦距为4，则，联立两式可得
所以该椭圆的方程为：＝1
故答案为：＝1
17．
（1）5
（2）
【分析】
（1）先求出的周长，再利用椭圆的定义进行求解；
（2）利用椭圆的定义和余弦定理得到关于、的方程组，判定△AF1F2为等腰直角三角形，进而利用离心率的定义进行求解.
（1）
解：由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4，
得|AF1|＝3，|F1B|＝1.
因为△ABF2的周长为16，
所以由椭圆定义可得4a＝16，
|AF1|＋|AF2|＝2a＝8.
故|AF2|＝8－3＝5.
（2）
解：设|F1B|＝k，
则k＞0且|AF1|＝3k，|AB|＝4k.
由椭圆定义可得，|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k.
在△ABF2中，由余弦定理可得：
|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2|·|BF2|·cos∠AF2B，
即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－(2a－3k)·(2a－k)．
化简可得(a＋k)(a－3k)＝0，
而a＋k＞0，故a＝3k.
于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k.
因此|BF2|2＝|F2A|2＋|AB|2，
可得F1A⊥F2A，
故△AF1F2为等腰直角三角形．
从而，
所以椭圆E的离心率.
18．
【分析】
利用面积关系得到，设，结合椭圆定义，在中，由余弦定理得求得．在中，同理可得，解得，可得，进而根据的值，求得，进而求得方程.
【解析】由题意可得，
∴，
由椭圆的定义得，
设，
在中，由余弦定理得
，
∴．
在中，同理可得，
∴，解得，可得，，．
由，得，则，
∴椭圆的方程为．
19．(1)或；(2).
【分析】
(1)设出椭圆方程标准方程，并将点代入，再按焦点位置确定长短半轴长即可计算得解；
(2)由给定条件结合椭圆对称性可得短半轴长与半焦距相等，再结合给定距离列式计算即得.
【解析】(1)设椭圆的标准方程为，因椭圆过点，则，
当椭圆焦点在x轴上时，，解得，此时椭圆方程为，
当椭圆焦点在y轴上时，，解得，此时椭圆方程为，
所以，椭圆的标准方程为或；
(2)设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，
因x轴上的一个焦点与短轴的两端点的连线互相垂直，由椭圆对称知椭圆的一个焦点与短轴两个端点围成以短轴为底边的等腰直角三角形，
于是得，b=c，而，则，
又焦点与长轴较近的端点距离是，则有，即，解得，因此，，
所以所求椭圆的标准方程为.
20．（1）；（2）.
【分析】
(1)写出椭圆C的左右顶点坐标，利用给定斜率积求出，再由椭圆过的点即可计算得解；
(2)根据条件设的方程为，将与C的方程联立求出弦MN长，再求出点P的横坐标并计算PQ长，最后借助均值不等式即可得解.
【解析】(1)依题意，，则，解得，
又，于是得，
所以椭圆C的方程为；
(2)由(1)可得，显然直线不垂直于y轴，设其方程为，
设点，
由消去y并整理得，
则，
于是得，
显然点P的坐标有：，，
而直线PQ方程为：y-yP=-m(x-xP)，
则，
，
当且仅当，即时取“=”，
所以的得最小值.
21．（1）；（2）证明见解析．
【分析】
（1）由题设得椭圆离心率为且过求出椭圆参数，进而写出椭圆的标准方程；
（2）设，，，的坐标，将代入，，应用韦达定理求、，即可证结论.
【解析】（1）由椭圆方程知：的离心率为．
设椭圆的方程为，则，故，
∴椭圆的方程为．
由题意，椭圆过点，将其代入上式，可得，得．
∴椭圆的标准方程为．
（2）设点，，，的坐标依次为，，，．
将代入椭圆的方程，得，
∴；
将代入椭圆的方程，得，
∴．
故，可得线段，的中点相同，
∴．
22．（1）；（2）或．
【分析】
（1）由题意易知，，即可写出椭圆方程.
（2）根据椭圆焦点处声波的反射性质知：，结合已知即可求坐标.
【解析】（1）设椭圆的标准方程为，
由，，则，，，
∴椭圆的方程为．
（2）易知，，由，，
∴，．
设，则，解得，
∴点的坐标为或．