2021-2022学年数学人教B版（2019）选择性必修第一册第一章 空间向量与立体几何 核心素养提升卷（Word含解析）

第一章 空间向量与立体几何 核心素养提升卷
一、单选题
1．定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．在棱长为1的正方体中，直线与之间的距离是（ ）
A． B． C． D．
2．在棱长为2的正四面体ABCD中，点M满足=x+y-(x+y-1)，点N满足=λ+(1-λ)，当AM、BN最短时，·=（ ）
A．- B． C．- D．
3．如图，在正四棱柱中，，，是侧面内的动点，且，记与平面所成的角为，则的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．
4．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A﹣BD﹣C，有如下四个结论：
①AC⊥BD；
②△ACD是等边三角形；
③AB与平面BCD所成的角为60°；
④AB与CD所成的角为60°．
其中错误的结论是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
5．在所有棱长都相等的直三棱柱中，、分别为棱、的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知正方体的棱长为1，若P点在正方体的内部，且满足，则平面PAB与平面ABCD所成二面角的余弦值为　　
A． B． C． D．
7．如图，在直三棱柱中，已知，为侧棱上任意一点，为棱上任意一点，与所成角为，与平面所成的角为，则与的大小关系为（ ）.
A． B． C． D．不能确定
8．如图在平行六面体中，底面 是边长为1的正方形，侧棱且，则 （ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知分别是三棱锥的棱，的中点，．若异面直线与所成角的大小为60°，则线段的长为（ ）
A．3 B．6 C． D．
10．如图，已知在长方体中，，，，点为上的一个动点，平面与棱交于点，则下列说法正确的是（ ）
A．四棱锥的体积为
B．存在唯一的点，使截面四边形的周长取得最小值
C．当点为的中点时，在直线上存在点，使得
D．存在唯一一点，使得平面，且
11．若将正方形沿对角线折成直二面角，则（ ）
A．与所成的角为
B．与所成的角为
C．与平面所成角的正弦值为
D．平面与平面所成角的正切值是
12．如图，正方体的棱长为1，P是线段上的动点，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．的最小值为
C．平面
D．异面直线与，所成角的取值范围是
三、填空题
13．如图所示，在三棱柱中，已知是边长为的正方形，四边形是矩形，平面平面.若，则直线到面的距离为___________.
14．如图所示，在平行六面体中，，若，则___________.
15．已知球内切于正四面体，且正四面体的棱长为，线段是球的一条动直径（，是直径的两端点），点是正四面体的表面上的一个动点，则的最大值是__．
16．如图，四面体中，、分别是线段、的中点，已知，
（1）；
（2）；
（3）；
（4）存在实数，，使得．
则其中正确的结论是_______．（把你认为是正确的所有结论的序号都填上）．
四、解答题
17．如图，正三棱柱的棱长都为2，D为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的大小；
（3）求点C到平面的距离．
18．如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是等边三角形，平面平面，为棱上一点，为棱的中点，四棱锥的体积为.
（1）若为棱的中点，是的中点，求证：平面平面；
（2）是否存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由.
19．已知、、、、、、、、为空间的个点（如图所示），并且，，，，．求证：
（1）、、、四点共面，、、、四点共面；
（2）．
20．如图，在三棱锥A﹣BCD中，顶点A在底面BCD上的射影O在棱BD上，AB＝AD＝，BC＝BD＝2，∠CBD＝90°，E为CD的中点．
（1）求证：AD⊥平面ABC；
（2）求二面角B﹣AE﹣C的余弦值；
（3）已知P是平面ABD内一点，点Q为AE中点，且PQ⊥平面ABE，求线段PQ的长．
21．在四棱锥中，平面平面，是等腰直角三角形，，，，，是的中点，为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值．
22．如图，四棱锥的底面是边长为的菱形，，，顶点在底面上的投影为，侧棱与底面所成角的正切值为．
（1）证明：平面；
（2）若点为的中点，求二面角的大小．
参考答案
1．B
【解析】
设为直线上任意一点， 过作，垂足为，可知此时到直线距离最短
设，，
则，
，
，，
即，
，即，
，
，
，
当时，取得最小值，
故直线与之间的距离是.
故选：B.
2．A
【解析】由共面向量定理和共线向量定理可知，M∈平面BCD，N∈直线AC，当AM、BN最短时，AM⊥平面BCD，BN⊥AC，
所以M为△BCD的中心，N为AC的中点，
此时，2||==，∴||=，
∵AM⊥平面BCD，MC 平面BCD，
∴AM⊥MC，
∴||=
==.
又=(+)，
∴·=(·+·)
=-||2=-.
故选：A.
3．B
【解析】解：以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，则，，
设，3，，则，3，，，，，
，，
，，
，
连接BP，在正四棱柱中，面，所以 就是与平面所成的角，即 ，
，的最大值为．
故选：B．
4．C
【解析】解：取BD的中点E，则AE⊥BD，CE⊥BD．∴BD⊥面AEC．
∴BD⊥AC，故①正确．
设正方形边长为a，则AD＝DC＝a，AEa＝EC．
∴AC＝a．
∴△ACD为等边三角形，故②正确．
∠ABD为AB与面BCD所成的角为45°，故③不正确．
以E为坐标原点，EC、ED、EA分别为x，y，z轴建立直角坐标系，
则A（0，0，a），B（0，a，0），D（0，a，0），C（ a，0，0）．
（0，a，a），（ a，a，0）．
cos，
∴，60°，故④正确．
故选：C．
5．C
【解析】设正三棱柱的所有边长均为，取的中点，连接，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，
如下图所示：
则点、、、、，
，，，
设平面的法向量为，
由，得，取，则，，，
设直线与平面所成角为，
则，则.
故选：C.
6．B
【解析】过作交于，作平面，垂足为.
则平面，
所以，为所求二面角的平面角，
且，故.
.
故选：B.
7．C
【解析】建立如图所示空间直角坐标系：
设，
则，
所以
所以，
又，，
所以，
所以，
因为 在上递减，
所以，
故选：C
8．B
【解析】解：因为底面是边长为1的正方形，侧棱且，
则 ，，，，，，
则
故选：B.
9．AD
【解析】如图，取的中点，连接，，．
设与的交角为．因为异面直线与所成的角为60°，所以或，
所以
将，，分别代入上式，得或．
故选：AD．
10．ABC
【解析】长方体中，，，，
对于A，，
，平面，平面，故平面，
所以到平面的距离等于到平面的距离，设点到平面的距离为，
过点在平面内作，如图1所示，
平面，平面，则，
，平面，且，
故，同理可得，
所以，A对；
对于B选项，因为平面平面，平面平面，
平面平面，所以，，同理可得，
故四边形为平行四边形，则四边形的周长为，
将长方体的侧面和沿棱展开到同一平面内，如图2所示，
则的最小值为展开面中的长度，此时点为与的交点，
，
所以四边形的周长的最小值为，B对；
对于，，即，所以，，
解得，C对；
对于D选项，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如图1所示的空间直角坐标系，
则、、、，
设，则，，，
因为平面，则，解得，即，D错.
故选：ABC.
11．AD
【解析】由题意，取中点，连接，，若将正方形沿对角线折成直二面角，则，，，则以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 设，则，，，.
由题意易得，，因为，所以，则选项A正确；
，，所以，所以与所成的角为，则选项B错误；
设平面的一个法向量为，则，取，则，所以，且，设与平面所成的角为，所以，则选项C错误；
由题意易知平面的一个法向量，，，设平面的一个法向量为，则，取，则，，所以，设平面与平面所成的角为，则，所以，，所以平面与平面所成角的正切值，则选项D正确.
故选：AD.
12．ABC
【解析】解：如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，所以，，，，所以，所以，故A正确；
因为是线段上一动点，所以，所以，所以，当且仅当时，故B正确；
设平面的法向量为，则，即，令，则，所以，因为，即，因为平面，所以平面，故C正确；
设直线与所成的角为，因为，当在线段的端点处时，，在线段的中点时，，所以，故D错误；
故选：ABC
13．
【解析】如图建立空间坐标系，设，
，设面的法向量为，
则有，得，
直线到面的距离就等于点到面的距离，
也等于向量在面的法向量上的投影的绝对.
故答案为：.
14．2
【解析】解：因为
，
又，
所以，，
则.
故答案为：2.
15．8
【解析】解：由正四面体棱长为，其内切圆的半径为，
由题意，，是直径的两端点，可得，，
则，
当点在正四面体顶点时，最大，且最大值为，
则的最大值为，
故答案为：．
16．（1）（3）
【解析】解：（1）是线段的中点，，正确；
（2）取的中点，连接，．则，因此不正确；
（3），因此正确；
（4）、分别是线段、的中点，，
与平面不平行，
不存在实数，，使得．
综上可得：只有（1）（3）正确．
故答案为：（1）（3）．
17．（1）详见解析；（2）；（3）.
【解析】（1）以BC的中点O为原点，建立如图所示空间直角坐标系：
则，
所以，
因为，且，
所以平面；
（2）由（1）知：是平面的一个法向量，又，
设直线与平面所成角为，
则，
因为，
所以；
（3）因为，
则点C到平面的距离为．
18．（1）证明见解析；（2）存在，点位于上靠近点的三等分点.
【解析】（1）证明：在等边三角形中，为的中点，于是，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，所以是四棱锥的高，
设，则，
所以，
所以，如图，以点为坐标原点，所在直线为轴，过点且与平行的直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，
，设是平面的法向量，
则，即令，则，
同理可得平面的一个法向量，
平面平面.
（2）存在.理由如下：设,
，，
设平面的一个法向量为，则，
令，则，
易知平面的一个法向量，
，
因为，所以，
所以存在点，位于上靠近点的三等分点.
19．（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】（1）因为，所以，、、为共面向量，
因为、、有公共点，故、、、四点共面，
因为，则、、为共面向量，
因为、、有公共点，故、、、四点共面；
（2），，，
，，
因为、无公共点，故.
20．（1）证明见解析；（2）；（3）.
【解析】（1）因为顶点A在底面BCD上的投影O在棱BD上，
所以AO⊥平面BCD，
因为AO 平面ABD，
所以平面ABD⊥平面BCD，
因为∠CBD＝90°，
所以BC⊥BD，
因为平面ABD∩平面BCD＝BD，BC 平面BCD，
所以BC⊥平面ABD，
又AD 平面ABD，
所以BC⊥AD，
由AB＝AD＝，BD＝2，得，
所以AD⊥AB，
因为AB∩BC＝B，AB 平面ABC，BC 平面ABC，
所以AD⊥平面ABC．
（2）连接OE，因为O为BD的中点，E为CD的中点，OE∥BC，所以OE⊥BD，
如图，以O为坐标原点，分别以OE，OD，OA为x轴，y轴，z轴为正方向，建立空间直角坐标系，
则O（0，0，0），A（0，0，1），B（0，﹣1，0），C（2，﹣1，0），D（0，1，0），E
（1，0，0），
，，，
设平面ABE的一个法向量＝（x，y，z），
取x＝1，得＝（1，﹣1，1），
设平面ACE的一个法向量＝（a，b，c），
取c＝1，则，
设二面角B﹣AE﹣C的平面角为θ，由图知二面角为锐角，
则cosθ＝＝．
所以二面角B﹣AE﹣C的余弦值为．
（3）设P（0，y，z），Q（，0，），
因为PQ⊥平面ABE，∴．
∴，＝λ（1，﹣1，1）．
∴ y＝，z＝0，∴ P（0，，0）
∴ PQ＝
21．（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）证明：取的中点为，连接、、，
因为，，故四边形为等腰梯形，
如图，过作的垂线，垂足分别为，则，
因为，所以，故，同理，
所以，所以.
所以四边形与四边形都是菱形，且为的中点，
所以为的中点，，又因为平面，平面，
所以平面.
（2）解：因为，为的中点，所以；
又因为平面平面，平面平面，
平面，所以平面；
取的中点为，因为为等腰梯形，所以.
以为坐标原点，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示：
则,
所以，，.
设平面的一个法向量为，由，得，
取，则，故.
设平面的一个法向量为，由，得，,
取，则，故.
所以，
因为二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为．
22．（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）证明：因为四棱锥的底面是边长为的菱形，且，
所以是边长为的等边三角形；
因为，所以三棱锥是正三棱锥，
所以顶点在底面上的投影为为正的中心，故，
又，所以.
因为平面，平面，所以，
而，所以平面.
（2）解：由（1）知，是侧棱与底面所成的角，所以，
而，所以.
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
故，所以，，，
设平面的法向量为，
则，令，得.
设平面的法向量为，
则，令，得；
，
因为二面角是锐角，所以二面角的大小为．