2021-2022学年数学人教B版（2019）选择性必修第一册第二章 第七节 双曲线及其方程 核心素养提升卷（Word含解析）

第二章 第七节 双曲线及其方程 核心素养提升卷
一、单选题
1．如图，在抛物线的准线上任取一点（异于准线与x轴的交点），连接并延长交抛物线于点，过点作平行于轴的直线交抛物线于点，则直线与轴的交点坐标为（ ）
A．与点位置有关 B．
C． D．
2．直线交抛物线于、两点，为抛物线的顶点，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．在抛物线型内壁光滑的容器内放一个球，其通过中心轴的纵剖面图如图所示，圆心在轴上，抛物线顶点在坐标原点，已知抛物线方程是，圆的半径为，若圆的大小变化时，圆上的点无法触及抛物线的顶点，则圆的半径的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．从抛物线y2＝4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|＝5，设抛物线的焦点为F，则△PMF的面积为(　　)
A．5 B．10 C．20 D．
5．已知点在抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则直线一定过点（ ）
A． B． C． D．
6．如图，过抛物线的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C．若，且，则此抛物线的方程为（ ）
A． B． C． D．
7．过抛物线y2＝4x焦点F的直线交抛物线于A、B两点，交其准线于点C，且A、C位于x轴同侧，若|AC|＝2|AF|，则|BF|等于（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．已知过抛物线的焦点，且垂直抛物线对称轴的直线交抛物线于，两点，抛物线的准线交抛物线的对称轴于点，则一定是（ ）
A．锐角 B．直角
C．钝角 D．锐角或钝角
二、多选题
9．已知抛物线E：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过F点的直线与抛物线E交于A，B两点，C，D分别为A，B在l上的射影，且|AF|＝3|BF|，M为AB的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．∠CFD＝90° B．直线AB的斜率为
C．△CMD为等腰直角三角形 D．线段AB的长为
10．已知抛物线：的焦点为、准线为，过点的直线与抛物线交于两点，，点在上的射影为，则（ ）
A．若，则 B．以为直径的圆与准线相切
C．设，则 D．过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线至多有2条
11．已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于、两点，以线段为直径的圆交轴于、两点，则（ ）
A．若抛物线上存在一点到焦点的距离等于，则抛物线的方程为
B．若，则直线的斜率为
C．若直线的斜率为，则
D．设线段的中点为，若点到抛物线准线的距离为，则的最小值为
12．已知抛物线C：y2＝2px (p＞0)的焦点F到准线的距离为2，过点F的直线与抛物线交于P，Q两点，M为线段PQ的中点，O为坐标原点，则（ ）
A．C的准线方程为y＝1 B．线段PQ长度的最小值为4
C．M的坐标可能为(3，2) D．＝－3
三、填空题
13．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，M为C上的动点，直线MF与C的另一交点为A，M关于点P（12，4）的对称点为B，当|MA|+|AB|的值最小时，直线AM的方程为 __．
14．已知抛物线的焦点为F，准线与x轴的交点为M，若P为抛物线上任意一点，的中点为Q，则直线的斜率的最大值等于______.
15．已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，过坐标原点作两条互相垂直的射线，与分别交于，则直线过定点______．
16．已知抛物线C：的焦点为F，直线l：与C交于P、Q(P在x轴上方)两点，若，则实数λ的值为_______
四、解答题
17．已知抛物线，拋物线C上横坐标为1的点到焦点F的距离为3．
（1）求抛物线C的方程及其准线方程；
（2）过的直线l交抛物线C于不同的两点A，B，交直线于点E，直线BF交直线于点D，是否存在这样的直线l，使得？若不存在，请说明理由；若存在，求出直线l的方程．
18．已知抛物线：()的焦点与双曲线：右顶点重合.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）设过点的直线与抛物线交于不同的两点，，是抛物线的焦点，且，求直线的方程.
19．已知椭圆C1：(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=|AB|.
（1）求C1的离心率；
（2）设M是C1与C2的公共点，若|MF|=5，求C1与C2的标准方程.
20．已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，且．
（1）求抛物线的方程；
（2）不过原点的直线与抛物线交于不同两点，若，求的值．
21．若抛物线y2＝2px(p>0)上一点M到准线及对称轴的距离分别为10和6，求M点的横坐标及抛物线方程．
22．已知直线与抛物线交于两点.
（1）若，求的值
（2）若，求的值
参考答案
1．D
【分析】
根据抛物线的标准方程求出准线方程，设出点坐标，可得直线的方程，与抛物线方程联立可得交点点坐标，然后求出坐标，再求出直线的方程，令即可求出答案.
【详解】
抛物线的准线方程为，设，，则直线的方程为，
由 得，令，可得，
所以直线的斜率为．所以直线的方程为，
令，解得，所以直线与轴的交点坐标为．
故选：D
2．A
【分析】
设点、，将直线与抛物线的方程联立，列出韦达定理，由已知条件可得出，利用平面向量的数量积结合韦达定理可求得实数的值.
【详解】
设点、，联立，可得，
，可得，由韦达定理可得，由题意可知，
因为，则，解得.
故选：A.
3．A
【分析】
设圆心为，（），半径为，是抛物线上任一点，求出，当的最小值在原点处取得时，圆过原点，可得此时圆半径的范围，半径不在这个范围内的圆不过原点．
【详解】
设圆心为，（），半径为，是抛物线上任一点，
，
若的最小值不在处取得，则圆不过原点，
所以，即，此时圆半径为．
因此当时，圆无法触及抛物线的顶点．
故选：A．
【点睛】
关键点点睛：本题考查圆与抛物线的位置关系，题中圆不过原点，说明抛物线上的点到圆心距离的最小值不是在原点处取得，由此得到解法，即设圆心为，抛物线上点的坐标为，求出，然后确定其最小值，由最小值点不是原点可得结论．
4．B
【分析】
设，根据得到，再计算，代入面积公式得到答案.
【详解】
设，则，解得，
则，，
故，
故选B.
【点睛】
本题考查了抛物线中面积的计算，利用抛物线的性质得到是解题的关键.
5．A
【分析】
设直线方程为，与抛物线方程联立，消去后得的方程，由韦达定理可求得，得到直线方程，根据方程特点可得答案.
【详解】
当直线的斜率为0时，直线与抛物线只有1个交点，不符合题意，
所以直线的斜率不为0，设其方程为，因为点在抛物线上，
所以设，所以，
解得或．又因为两点位于轴的两侧，所以．
联立得，所以，
即，所以直线的方程为，所以直线一定过点．
故选：A．
【点睛】
本题考查直线与抛物线相交问题，考查抛物线中的定值，方法是设而不求法，在直线与圆锥曲线相交问题常常采用此法，注意体会．
6．C
【分析】
分别过点，作准线的垂线，分别交准线于点，，设，根据抛物线定义可知，进而推断出的值，在直角三角形中求得，进而根据，利用比例线段的性质可求得，则抛物线方程可得．
【详解】
如图分别过点，作准线的垂线，分别交准线于点，，设，则由已知得：，由定义得：，故，
在直角三角形中，，，
，
从而得，
，
求得，
所以抛物线的方程为．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了抛物线的标准方程．考查了学生对抛物线的定义和基本知识的综合把握，属于中档题．
7．C
【分析】
由题意可知：|AC|＝2|AF|，则∠ACD，利用三角形相似关系可知丨AF丨＝丨AD丨，直线AB的切斜角，设直线l方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及抛物线弦长公式求得丨AB丨，即可求得|BF|．
【详解】
抛物线y2＝4x焦点F（1，0），准线方程l：x＝﹣1，准线l与x轴交于H点，
过A和B做AD⊥l，BE⊥l，
由抛物线的定义可知：丨AF丨＝丨AD丨，丨BF丨＝丨BE丨，
|AC|＝2|AF|，即|AC|＝2|AD|，
则∠ACD，由丨HF丨＝p＝2，
∴，
则丨AF丨＝丨AD丨，
设直线AB的方程y（x﹣1），
，整理得：3x2﹣10x+3＝0，
则x1+x2，
由抛物线的性质可知：丨AB丨＝x1+x2+p，
∴丨AF丨+丨BF丨，解得：丨BF丨＝4，
故选C．
【点睛】
本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查相似三角形的性质，考查计算能力，数形结合思想，属于中档题．
8．B
【分析】
根据题意及抛物线的定义知，，即三角形中一边上的中线长等于边长的一半，可知为等腰直角三角形，即可得出结果.
【详解】
∵轴，由抛物线的定义及对称性可知，，
∴为等腰直角三角形,一定是直角.故选B.
【点睛】
本题主要考查了抛物线的焦点弦及抛物线的定义，属于中档题
9．ABD
【分析】
先求出抛物线的焦点坐标以及准线方程，再设出点A，B的坐标进而得到点C，D的坐标，设出直线AB的方程并与抛物线方程联立，利用韦达定理以及向量的线性运算求出对应的各个选项的问题，即可求解．
【详解】
由抛物线的方程可得：F（1，0），准线方程为：x＝﹣1，
设直线AB的方程为：x＝my+1，A（x1，y1），B（x2，y2），
则C（﹣1，y1），D（﹣1，y2），联立方程
消去x整理可得：y2﹣4my﹣4＝0，所以y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，
所以
所以FC⊥FD，即∠CFD＝90°，所以A正确，
选项B：因为|AF|＝3|BF|，所以，即y1＝﹣3y2，且y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，
解得，所以直线AB的斜率为，故B正确，
选项C：由A正确，则CM⊥DM不可能，且角C和角D不可能为直角，故C错误，
选项D：
故D正确，
故选：ABD．
【点睛】
方法点睛：利用韦达定理以及向量的线性运算来化简转化是常用的方法.本题考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于一般题目.
10．ABC
【分析】
根据抛物线的定义以及焦点弦的性质可判断选项ABC，显然直线，与抛物线只有一个公共点，设设过的直线为与抛物线方程联立消去得到关于的一元二次方程，令可得的值，即可判断选项D，进而可得正确选项.
【详解】
对于选项A：由可得，根据抛物线的定义可得，故选项A正确；
对于选项B：设为中点，设点在上的射影为，点在上的射影为，则由梯形性质可得，故选项B正确；
对于选项C：因为，所以，故选项C正确；
对于选项D：显然直线，与抛物线只有一个公共点，设过 的直线为，联立可得，令，解得：，所以直线与抛物线也只有一个公共点，此时有三条直线符合题意，
故选项D错误；
故选：ABC
【点睛】
结论点睛：抛物线焦点弦的几个常用结论
设是过抛物线的焦点的弦，若，，则：
（1），；
（2）若点在第一象限，点在第四象限，则，，
弦长，（为直线的倾斜角）；
（3）；
（4）以为直径的圆与准线相切；
（5）以或为直径的圆与轴相切.
11．AD
【分析】
由抛物线的定义求得的值，可判断A选项的正误；设直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，结合韦达定理可求得的值，可判断B选项的正误；利用韦达定理结合抛物线的焦点弦长公式可判断C选项的正误；设直线的方程为，设点、，联立直线与抛物线的方程，求得点到轴的距离和，可得出关于的表达式，可判断D选项的正误.
【详解】
对于A选项，由抛物线的定义可得，解得，
所以，抛物线的标准方程为，A选项正确；
对于B选项，如下图所示：
抛物线的焦点为，设点、，设直线的方程为，
联立，消去并整理得，恒成立，
由韦达定理可得，，
由于，由图象可得，即，
所以，，可得，解得，
所以，直线的斜率为，B选项错误；
对于C选项，当直线的斜率为时，由B选项可知，，，
由抛物线的焦点弦长公式可得，C选项错误；
对于D选项，抛物线的焦点到准线的距离为，则该抛物线的方程为.
设直线的方程为，设点、，
联立，消去可得，，
则，，
，点到轴的距离为，
所以，，
当且仅当时，等号成立，D选项正确.
故选：AD.
【点睛】
本题考查直线与抛物线的综合问题，考查了抛物线焦点弦的几何性质以及焦点弦长、焦半径的计算.本题中将直线方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理得出点、的纵坐标所满足的关系，并结合了抛物线的焦点弦长公式进行计算，考查学生的运算求解能力，属于中等题.
12．BCD
【分析】
根据条件可得出，易得A、B的正误，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线PQ的方程为x=my+1，联立x=my+1，y2＝2px ，算出即可得出C、D的正误.
【详解】
焦点F到准线的距离为p=2，所以抛物线C的焦点为(1，0)，准线方程为x=－1，则选项A错误；
当PQ垂直于x轴时长度最小，此时P(1，2)，Q(1，－2)，所以|PQ|=4，则选项B正确；
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线PQ的方程为x=my+1，联立x=my+1，y2＝2px ，
消去y可得x2－(4m2+2)x+1=0，消去x可得y2－4my－4=0，所以x1+x2=4m2+2，y1+y2=4m，
当m=1时，可得M(3，2)，则选项C正确；
又x1x2=1，y1y2=－4，所以＝x1x2+y1y2=－3，则选项D正确；
故选：BCD
【点睛】
本题考查的是直线与抛物线的位置关系，考查了学生的分析能力，属于中档题.
13．
【分析】
根据抛物线的定义|MA|+|AB|＝2|NG|+2|NP|＝2（|NG|+|NP|），由于点P到准线的距离为13，所以|NG|+|NP|≥13，当且仅当G，N，P三点共线，且N在G，P之间时，等号成立，进而可得点N的纵坐标为yN＝4，，设出直线MA的方程为x＝my+1，与抛物线联立即可求出参数m，进而得到结果.
【详解】
解：设N为MA的中点，连接NP，分别过点M，N，A作抛物线准线的垂线，垂足分别为D，G，E，
则|AB|＝2|NP|，
由抛物线的定义知，|MA|＝|MF|+|AF|＝|MD|+|AE|＝2|NG|，
∴|MA|+|AB|＝2|NG|+2|NP|＝2（|NG|+|NP|），
∵点P到准线的距离为13，
∴|NG|+|NP|≥13，当且仅当G，N，P三点共线，且N在G，P之间时，等号成立，
此时，点N的纵坐标为yN＝4，
∵直线MA过点F（1，0），
∴设直线MA的方程为x＝my+1，
设M（x1，y1），A（x2，y2），
联立，得y2﹣4my﹣4＝0，
∴y1+y2＝4m＝2yN＝8，∴m＝2，
∴直线MA的方程为x＝2y+1，即．
故答案为：．
14．
【分析】
先设抛物线上的点，写直线斜率，利用重要不等式求最值即可.
【详解】
依题意.设，则，，
所以直线的斜率，
当且仅当，即时取等号，
故直线的斜率的最大值等于.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了抛物线的综合应用，属于中档题.
15．
【分析】
先利用交点求抛物线方程，设直线方程，并与抛物线联立求得点M，N， 再利用两点坐标求斜率，利用点斜式写直线方程，整理即得定点.
【详解】
因为抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，
所以所以抛物线的方程为.
设的方程为与抛物线的方程联立得，
同理，的方程为与抛物线的方程联立得点，
故直线的斜率，
故直线的方程为
整理得，
故直线过定点；
当时，直线的方程为也过点，
综上可知，直线过定点.
故答案为：.
【点睛】
思路点睛：
圆锥曲线中求直线过定点的问题，通常需要联立方程，得到二次方程后利用韦达定理，或者直接求得交点坐标，结合题中条件（比如斜率关系，向量关系，距离关系，面积等）直接计算直线方程，即可求出定点，运算量较大.
16．
【分析】
先求出、、，再求出和，最后建立方程求即可.
【详解】
解：由题意联立方程组，解得或
因为P在x轴上方，所以、,
因为抛物线C的方程为，所以，
所以，
因为，所以，
解得：，
故答案为：
【点睛】
本题考查直线与抛物线的位置关系、抛物线的几何性质、利用共线向量求参数，是中档题
17．（1）抛物线C的方程为，准线方程为；（2）存在直线或．
【分析】
（1）根据抛物线的定义即可求得抛物线的标准方程以及准线飞航程.
（2）设出直线的方程，联立直线的方程和抛物线的方程，消去后根据判别式大于零求得的取值范围，写出韦达定理.结合得到直线与直线的斜率相等，由此列方程，解方程求得的值，也即求得直线的方程.
【详解】
（1）因为横坐标为的点到焦点的距离为,所以,解得, 所以，
即准线方程为.
（2）显然直线的斜率存在,设直线的方程为,.
联立得，消去得.
由,解得. 所以且.
由韦达定理得,.
直线的方程为,
又,所以,所以,
因为,所以直线与直线的斜率相等
又,所以.
整理得,即,
化简得,,即.
所以,整理得,
解得. 经检验,符合题意.
所以存在这样的直线,直线的方程为或．
18．（1）；（2）或.
【分析】
（1）由双曲线和抛物线的几何性质，即可求解；
（2）设，及直线的方程，与抛物线的方程联立，由判别式 韦达定理得出，，结合已知条件求出的值，即可求得直线的方程.
【详解】
（1）由题设知，双曲线的右顶点为，
∴，解得，
∴抛物线的标准方程为.
（2）设，，
显然直线的斜率存在，故设直线的方程为，
联立，消去得，
由得，即，
∴，.
又∵，，
∴，
∴，
即，
解得或，
∴直线的方程为或.
19．（1）；（2），.
【分析】
（1）求出、，利用可得出关于、的齐次等式，可解得椭圆的离心率的值；
（2）由（1）可得出的方程为，联立曲线与的方程，求出点的坐标，利用抛物线的定义结合可求得的值，进而可得出与的标准方程.
【详解】
（1），轴且与椭圆相交于、两点，
则直线的方程为，
联立，解得，则，
抛物线的方程为，联立，
解得，，
，即，，
即，即，
，解得，因此，椭圆的离心率为；
（2）由（1）知，，椭圆的方程为，
联立，消去并整理得，
解得或（舍去），
由抛物线的定义可得，解得.
因此，曲线的标准方程为，
曲线的标准方程为.
【点睛】
本题考查椭圆离心率的求解，同时也考查了利用抛物线的定义求抛物线和椭圆的标准方程，考查计算能力，属于中等题.
20．（1）（2）
【分析】
（1）由抛物线的定义可得，即可求出，进而可得抛物线的方程；
（2）由题意易知：直线的方程为，与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系和向量数量积的坐标运算代入即可解出．
【详解】
解：（1）已知抛物线过点，且
则，
∴，
故抛物线的方程为；
（2）设，，
联立，得，
，得，
，，
又，则，
，
或，
经检验，当时，直线过坐标原点，不合题意，
又，
综上：的值为-8．
【点睛】
本题重点考查了利用一元二次方程的根与系数的关系研究直线与抛物线相交问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
21．当点的横坐标为时，抛物线方程为.
当点的横坐标为时，抛物线方程为.
【分析】
设点的坐标为,抛物线的准线方程为,则由在抛物线上以及到准线的距离为可求解.
【详解】
点到对称轴的距离为，设点的坐标为．
又点到准线的距离为，解得或.
故当点的横坐标为时，抛物线方程为.
当点的横坐标为时，抛物线方程为.
【点睛】
本题考查抛物线的定义、标准方程以及其性质的简单运用.
22．（1）；（2）.
【详解】
试题分析：（1）设 由可得，利用韦达定理及弦长公式根据，列方程求解即可；（2）由 ，可得，即，利用韦达定理列方程求解即可.
试题解析：设
（1）
，解得：
由韦达定理得
∴
代入解得
（2）∵ ∴
∴
由（1）知
∴
∴或
经检验，时不符合题意，∴.