4.3 等比数列 同步学案
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等比数列讲义
知识点1 等比数列的概念
1．等比数列的概念
(1)文字语言：
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)．
(2)符号语言：
＝q(q为常数，q≠0，n∈N*)．
知识点2 等比数列的性质
1．等比中项
(1)前提：三个数a，G，b成等比数列．
(2)结论：G叫做a，b的等比中项．
(3)满足的关系式：G2＝ab.
2．等比数列项的运算性质
在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝ap·aq.
①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am·an＝a.
②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝….
3．两等比数列合成数列的性质
若数列{an}，{bn}均为等比数列，c为不等于0的常数，则数列{can}，{a}{an·bn}，也为等比数列.
知识点3 等比数列的前n项和
1．等比数列前n项和公式
等比数列的前n项和公式
2．等比数列前n项和的变式
当公比q≠1时，等比数列的前n项和公式是Sn＝，它可以变形为Sn＝－·qn＋，设A＝，上式可写成Sn＝－Aqn＋A.由此可见，非常数列的等比数列的前n项和Sn是由关于n的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数．当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1是n的正比例函数(常数项为0的一次函数)．
例题1．等比数列中，，，为的前项和．若，则的值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A【详解】等比数列中，，，则，则．
当时，若，则有，解得；
当时，若，则有，整理可得，无整数解．故．
故选：A．
例题2．递增的等比数列的每一项都是正数，设其前项的和为，若 则_______.
【答案】364【详解】设等比数列的公比为，由得，
由，解得或，
因为数列为递增数列，所以，所以，得，
因为等比数列的每一项都是正数，所以，
所以，所以，
例题3．已知等比数列中，，且是和的等差中项.数列满足，且..
（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）设等比数列的公比为
因为，所以.
因为是和的等差中项，所以，
即，解得所以.
（2）因为，所以为等差数列.
因为，所以公差.
故.所以
例题4．已知数列的前项和，且
（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【详解】（Ⅰ）由 得
所以当时，当时，
所以
检验符合
（Ⅱ） 由（1）可知所以.设数列的前项和为，则：
所以数列的前项和为.
例题5．已知数列的前项和,且.
（1）求函数的通项公式；（2）求数列的前项和.
【答案】(1)；(2).
试题解析：（1）当时,.
当时,, 综上所述,.
（2）由（1）知则 ①
②
①-②得：,
.
练习
1．已知等比数列中，，，则的公比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【详解】由题意得：
设公比为，则，
，故．
2．若是各项均为正数的等比数列，且，，则（ ）
A． B． C． D．或
【答案】C【详解】
设数列的公比为，则，所以（舍去），因此.
故选：C.
3．等比数列{an}中，a1a2a3＝1，a4＝4，则a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝（ ）
A．2n－1 B．
C． D．
【答案】B【详解】由a1a2a3＝1得a2＝1，又a4＝4，故q2＝4，
所以a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝＝.
4．等比数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．10 B．70 C．30 D．90
【答案】B【详解】
由等比数列的性质可得，，，成等比数列
∴（S20－S10）2＝S10·（S30－S20）
∴400＝10·（S30－30）∴S30＝70
5．已知等比数列的公比为正数，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【详解】
设等比数列的公比为，，因为，所以，而，所以，
6．数列1，，，…，，…的前项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【详解】设此数列的第项为，
则，
所以数列的前项和为．
7．已知，，则，的等比中项为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】D【详解】
根据题意，设，的等比中项为．
由，，可得，解得．
8．已知等比数列{}，，且，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【详解】
，得，
.
9．等比数列的公比，则等于___________.
【答案】【详解】
因为等比数列的公比，
所以，
10．设等比数列{}中，a1＋a2＋a3＝3，a4＋a5＋a6＝81，则数列{an}的公比为________.
【答案】3【详解】
易得a4＋a5＋a6＝q3(a1＋a2＋a3)，故q3＝27，则q＝3.
11．已知等比数列的前项和，则实数___________.
【答案】【详解】
由题设，易知等比数列的公比为，
根据等比数列前n项和公式，
∴.
12．已知数列是公差为2的等差数列，它的前n项和为Sn，且成等比数列.
（1）求的通项公式；（2）求数列的前n项和.
【答案】（1），（2）
【详解】（1）因为数列是公差为2的等差数列，且成等比数列，
所以即，解得，
所以；
（2）由（1）得，
所以.
13．在正项数列中，，，且.
（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）因为，所以，
即.
因为，，所以数列是首项为1，公差为3的等差数列，
从而.
因为，所以；
（2）因为，
所以，
故.
14．已知数列，，且．
（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前和．
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）由已知，数列，，所以，所以数列是以1为公差的等差数列，又，所以，
所以数列的通项公式为；
（2）由（1）得，
所以——①，
——②，
由①-②得，所以得
15．已知数列的前项和，且．
（1）求，，；
（2）求证：数列是等比数列．
【答案】解：（1），，； （2）见解析
【详解】（1）解：∵数列{an}的前n项和Sn（an﹣1），（n∈N*），
∴，解得a1，
S2（a2﹣1），解得a2．同理可得
（2）证明：∵Sn（an﹣1），（n∈N*），①
∴当n≥2时，Sn﹣1（an﹣1﹣1），②
①﹣②，得，
整理，得an，
∴数列{an}是首项为，公比为的等比数列．
16．数列前项和为且，
（1）求的通项公式；（2）求值.
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）由得.
两式相减得即
，所以
当时为等比数列，且.
所以的通项公式为.
（2）由（1）知
设，则.
所以是首项为，公比的等比数列.
所以.
17．等比数列的各项均为正数，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）设数列的公比为，
则，由得：，所以.
由，得到
所以数列的通项公式为.
（2）由条件知，
又
将以上两式相减得
所以.
18．已知数列{an}的前n项和为 (n∈N*)．
（1）求数列{an}的通项公式；（2）设，求{bn}的前n项和.
【答案】（1），（2）
【详解】（1）当时，，
当时， ，满足上式，所以，
（2）由（1）可得，则{bn}的前n项和为
19．求满足下列条件的数：
（1）在9与243中间插入2个数，使这4个数成等比数列；
（2）在160与中间插入4个数，使这6个数成等比数列．
【答案】（1）、；（2）、、、.
【详解】（1）在9与243中间插入2个数，使这4个数成等比数列，
设等比数列的公比为，
则，解得，
所以在9与243中间插入2个数为、.
（2）在160与中间插入4个数，使这6个数成等比数列，
设等比数列的公比为，
则，解得.
所以在160与中间插入4个数为、、、.
20．已知等差数列中，，.
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和.
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）设等差数列的公差为，因为，，
所以，解得，所以；
（2）由（1）可得，，即数列为等比数列，
所以数列的前n项和.
21．在正项等比数列中，，且，的等差中项为．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和为．
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）设正项等比数列的公比为，
由题意可得，解得．
数列的通项公式为；
（2）.
22．已知正项等比数列的前项和为，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）设等比数列的公比为，则，所以或（舍），
所以，.
（2）由（1）得，所以.
23．已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
【答案】（1），（2）
【详解】（1）设等差数列的公差为（），
因为，且成等比数列，所以，即，
解得（舍去）或，所以，
（2）由（1）可得，
所以
24．记等差数列的前项和为，设，且成等比数列. 求
（1） a1和d.
（2）求数列的前项和.
【答案】（1），，或，，（2）或
【详解】（1）设等差数列的公差为，
因为成等比数列，所以，
即，
因为，所以，即，
所以，，解得或，
当时，，当时，，
所以，，或，，
（2）当，时，，
当，时，
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等比数列讲义
知识点1 等比数列的概念
1．等比数列的概念
(1)文字语言：
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)．
(2)符号语言：
＝q(q为常数，q≠0，n∈N*)．
知识点2 等比数列的性质
1．等比中项
(1)前提：三个数a，G，b成等比数列．
(2)结论：G叫做a，b的等比中项．
(3)满足的关系式：G2＝ab.
2．等比数列项的运算性质
在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝ap·aq.
①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am·an＝a.
②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝….
3．两等比数列合成数列的性质
若数列{an}，{bn}均为等比数列，c为不等于0的常数，则数列{can}，{a}{an·bn}，也为等比数列.
知识点3 等比数列的前n项和
1．等比数列前n项和公式
等比数列的前n项和公式
2．等比数列前n项和的变式
当公比q≠1时，等比数列的前n项和公式是Sn＝，它可以变形为Sn＝－·qn＋，设A＝，上式可写成Sn＝－Aqn＋A.由此可见，非常数列的等比数列的前n项和Sn是由关于n的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数．当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1是n的正比例函数(常数项为0的一次函数)．
例题1．等比数列中，，，为的前项和．若，则的值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A【详解】等比数列中，，，则，则．
当时，若，则有，解得；
当时，若，则有，整理可得，无整数解．故．
故选：A．
例题2．递增的等比数列的每一项都是正数，设其前项的和为，若 则_______.
【答案】364【详解】设等比数列的公比为，由得，
由，解得或，
因为数列为递增数列，所以，所以，得，
因为等比数列的每一项都是正数，所以，
所以，所以，
例题3．已知等比数列中，，且是和的等差中项.数列满足，且..
（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）设等比数列的公比为
因为，所以.
因为是和的等差中项，所以，
即，解得所以.
（2）因为，所以为等差数列.
因为，所以公差.
故.所以
例题4．已知数列的前项和，且
（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【详解】（Ⅰ）由 得
所以当时，当时，
所以
检验符合
（Ⅱ） 由（1）可知所以.设数列的前项和为，则：
所以数列的前项和为.
例题5．已知数列的前项和,且.
（1）求函数的通项公式；（2）求数列的前项和.
【答案】(1)；(2).
试题解析：（1）当时,.
当时,, 综上所述,.
（2）由（1）知则 ①
②
①-②得：,
.
练习
1．已知等比数列中，，，则的公比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【详解】由题意得：
设公比为，则，
，故．
2．若是各项均为正数的等比数列，且，，则（ ）
A． B． C． D．或
【答案】C【详解】
设数列的公比为，则，所以（舍去），因此.
故选：C.
3．等比数列{an}中，a1a2a3＝1，a4＝4，则a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝（ ）
A．2n－1 B．
C． D．
【答案】B【详解】由a1a2a3＝1得a2＝1，又a4＝4，故q2＝4，
所以a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝＝.
4．等比数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．10 B．70 C．30 D．90
【答案】B【详解】
由等比数列的性质可得，，，成等比数列
∴（S20－S10）2＝S10·（S30－S20）
∴400＝10·（S30－30）∴S30＝70
5．已知等比数列的公比为正数，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【详解】
设等比数列的公比为，，因为，所以，而，所以，
6．数列1，，，…，，…的前项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【详解】设此数列的第项为，
则，
所以数列的前项和为．
7．已知，，则，的等比中项为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】D【详解】
根据题意，设，的等比中项为．
由，，可得，解得．
8．已知等比数列{}，，且，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【详解】
，得，
.
9．等比数列的公比，则等于___________.
【答案】【详解】
因为等比数列的公比，
所以，
10．设等比数列{}中，a1＋a2＋a3＝3，a4＋a5＋a6＝81，则数列{an}的公比为________.
【答案】3【详解】
易得a4＋a5＋a6＝q3(a1＋a2＋a3)，故q3＝27，则q＝3.
11．已知等比数列的前项和，则实数___________.
【答案】【详解】
由题设，易知等比数列的公比为，
根据等比数列前n项和公式，
∴.
12．已知数列是公差为2的等差数列，它的前n项和为Sn，且成等比数列.
（1）求的通项公式；（2）求数列的前n项和.
【答案】（1），（2）
【详解】（1）因为数列是公差为2的等差数列，且成等比数列，
所以即，解得，
所以；
（2）由（1）得，
所以.
13．在正项数列中，，，且.
（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）因为，所以，
即.
因为，，所以数列是首项为1，公差为3的等差数列，
从而.
因为，所以；
（2）因为，
所以，
故.
14．已知数列，，且．
（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前和．
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）由已知，数列，，所以，所以数列是以1为公差的等差数列，又，所以，
所以数列的通项公式为；
（2）由（1）得，
所以——①，
——②，
由①-②得，所以得
15．已知数列的前项和，且．
（1）求，，；
（2）求证：数列是等比数列．
【答案】解：（1），，； （2）见解析
【详解】（1）解：∵数列{an}的前n项和Sn（an﹣1），（n∈N*），
∴，解得a1，
S2（a2﹣1），解得a2．同理可得
（2）证明：∵Sn（an﹣1），（n∈N*），①
∴当n≥2时，Sn﹣1（an﹣1﹣1），②
①﹣②，得，
整理，得an，
∴数列{an}是首项为，公比为的等比数列．
16．数列前项和为且，
（1）求的通项公式；（2）求值.
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）由得.
两式相减得即
，所以
当时为等比数列，且.
所以的通项公式为.
（2）由（1）知
设，则.
所以是首项为，公比的等比数列.
所以.
17．等比数列的各项均为正数，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）设数列的公比为，
则，由得：，所以.
由，得到
所以数列的通项公式为.
（2）由条件知，
又
将以上两式相减得
所以.
18．已知数列{an}的前n项和为 (n∈N*)．
（1）求数列{an}的通项公式；（2）设，求{bn}的前n项和.
【答案】（1），（2）
【详解】（1）当时，，
当时， ，满足上式，所以，
（2）由（1）可得，则{bn}的前n项和为
19．求满足下列条件的数：
（1）在9与243中间插入2个数，使这4个数成等比数列；
（2）在160与中间插入4个数，使这6个数成等比数列．
【答案】（1）、；（2）、、、.
【详解】（1）在9与243中间插入2个数，使这4个数成等比数列，
设等比数列的公比为，
则，解得，
所以在9与243中间插入2个数为、.
（2）在160与中间插入4个数，使这6个数成等比数列，
设等比数列的公比为，
则，解得.
所以在160与中间插入4个数为、、、.
20．已知等差数列中，，.
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和.
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）设等差数列的公差为，因为，，
所以，解得，所以；
（2）由（1）可得，，即数列为等比数列，
所以数列的前n项和.
21．在正项等比数列中，，且，的等差中项为．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和为．
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）设正项等比数列的公比为，
由题意可得，解得．
数列的通项公式为；
（2）.
22．已知正项等比数列的前项和为，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）设等比数列的公比为，则，所以或（舍），
所以，.
（2）由（1）得，所以.
23．已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
【答案】（1），（2）
【详解】（1）设等差数列的公差为（），
因为，且成等比数列，所以，即，
解得（舍去）或，所以，
（2）由（1）可得，
所以
24．记等差数列的前项和为，设，且成等比数列. 求
（1） a1和d.
（2）求数列的前项和.
【答案】（1），，或，，（2）或
【详解】（1）设等差数列的公差为，
因为成等比数列，所以，
即，
因为，所以，即，
所以，，解得或，
当时，，当时，，
所以，，或，，
（2）当，时，，
当，时，
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